3 jednoduché spôsoby, ako zistiť plochu päťuholníka

Päťuholník je mnohouholník s piatimi rovnými stranami. Takmer všetky úlohy, ktoré nájdete na hodinách matematiky, sa týkajú pravidelných päťuholníkov s piatimi rovnakými stranami. Existujú dva bežné spôsoby, ako nájsť oblasť, v závislosti od toho, koľko informácií máte.

Metóda 1 z 3:Zistenie plochy z dĺžky strany a apotémy


Začnite s dĺžkou strany a apotémou. Táto metóda funguje pre pravidelné päťuholníky s piatimi rovnakými stranami. Okrem dĺžky strany budete potrebovať aj „apotémiu“ päťuholníka. Apotéma je priamka zo stredu päťuholníka na stranu, ktorá pretína stranu pod pravým uhlom 90º.

  • Nezamieňajte si apotémiu s polomerom, ktorý sa dotýka rohu (vrcholu) namiesto stredového bodu. Ak poznáte len dĺžku strany a polomer, prejdite radšej na ďalšiu metódu.
  • Použijeme príklad päťuholníka s dĺžkou strany 3 Jednotky a apotémy 2 jednotky.


Rozdeľte päťuholník na päť trojuholníkov. Nakreslite päť čiar zo stredu päťuholníka, ktoré vedú ku každému vrcholu (rohu). Teraz máte päť trojuholníkov.


Vypočítajte plochu trojuholníka. Každý trojuholník má základňa rovnajúcej sa strane päťuholníka. Má tiež výška rovná sa apotéme päťuholníka. (Nezabudnite, že výška trojuholníka prebieha od vrcholu k protiľahlej strane pod pravým uhlom.) Ak chcete zistiť plochu ľubovoľného trojuholníka, stačí vypočítať ½ x základňa x výška.

  • V našom príklade je plocha trojuholníka = ½ x 3 x 2 = 3 štvorcové jednotky.


Vynásobením piatimi zistíte celkovú plochu. Päťuholník sme rozdelili na päť rovnakých trojuholníkov. Ak chcete zistiť celkovú plochu, stačí plochu jedného trojuholníka vynásobiť piatimi.

  • V našom príklade je A(celkový päťuholník) = 5 x A(trojuholník) = 5 x 3 = 15 štvorcové jednotky.

Metóda 2 z 3:Zistenie plochy z dĺžky strany


Začnite len s dĺžkou strany. Táto metóda funguje len pre pravidelné päťuholníky, ktoré majú päť strán rovnakej dĺžky.

  • V tomto príklade použijeme päťuholník s dĺžkou strany 7 jednotky.


Rozdeľte päťuholník na päť trojuholníkov. Nakreslite čiaru zo stredu päťuholníka k ľubovoľnému vrcholu. Tento postup zopakujte pre každý vrchol. Teraz máte päť trojuholníkov, každý rovnako veľký.


Rozdeľte trojuholník na polovicu. Nakreslite čiaru zo stredu päťuholníka k základni jedného trojuholníka. Táto priamka by mala zvierať so základňou pravý uhol 90º, čím sa trojuholník rozdelí na dva rovnaké menšie trojuholníky.


Jeden z menších trojuholníkov označte. Už môžeme označiť jednu stranu a jeden uhol menšieho trojuholníka:

  • základňa trojuholníka je ½ strany päťuholníka. V našom príklade je to ½ x 7 = 3.5 jednotiek.
  • Uhol v strede päťuholníka je vždy 36º. (Vychádzajúc z plného stredu 360º, mohli by ste ho rozdeliť na 10 takýchto menších trojuholníkov. 360 ÷ 10 = 36, takže uhol pri jednom trojuholníku je 36º.)


Vypočítajte výšku trojuholníka. výška tohto trojuholníka je strana, ktorá zviera pravý uhol s hranou päťuholníka a vedie do stredu. Na zistenie dĺžky tejto strany môžeme použiť začiatočnú trigonometriu:[1]

  • V pravouhlom trojuholníku je tangens uhla sa rovná dĺžke protiľahlej strany delenej dĺžkou susednej strany.
  • Strana oproti uhlu 36º je základňa trojuholníka (polovica strany päťuholníka). Strana susediaca s uhlom 36º je výškou trojuholníka.
  • tan(36º) = protiľahlý / susedný
  • V našom príklade je tan(36º) = 3.5 / výška
  • výška x tan(36º) = 3.5
  • výška = 3.5 / tan(36º)
  • výška = (asi) 4.8 jednotky.


Nájdite plochu trojuholníka. Plocha trojuholníka sa rovná ½ základne x výška. (A = ½bh.) Teraz, keď poznáte výšku, dosaďte tieto hodnoty, aby ste zistili plochu vášho malého trojuholníka.

  • V našom príklade je plocha malého trojuholníka = ½bh = ½(3.5)(4.8) = 8.4 štvorcové jednotky.


Vynásobte a zistite plochu päťuholníka. Jeden z týchto menších trojuholníkov pokrýva 1/10 plochy päťuholníka. Ak chcete zistiť celkovú plochu, vynásobte plochu menšieho trojuholníka číslom 10.

  • V našom príklade je plocha celého päťuholníka = 8.4 x 10 = 84 štvorcové jednotky.

Metóda 3 z 3:Použitie vzorca


Použite obvod a apotémiu. Apotéma je priamka vychádzajúca zo stredu päťuholníka, ktorá zviera so stranou pravý uhol. Ak máte danú jeho dĺžku, môžete použiť tento jednoduchý vzorec

  • Plocha pravidelného päťuholníka = pa/2, kde p = obvod a a = apotéma.[2]
  • Ak nepoznáte obvod, vypočítajte ho z dĺžky strany: p = 5s, kde s je dĺžka strany.


Použite dĺžku strany. Ak poznáte len dĺžku strany, použite nasledujúci vzorec: [3]

  • Plocha pravidelného päťuholníka = (5s2) / (4tan(36º)), kde s = dĺžka strany.
  • tan(36º) = √(5-2√5).[4]
    Ak teda vaša kalkulačka nemá funkciu „tan“, použite vzorec Plocha = (5s2) / (4√(5-2√5)).

  • Vyberte si vzorec, ktorý používa iba polomer. Plochu môžete zistiť aj vtedy, ak poznáte len polomer. Použite tento vzorec: [5]

    • Plocha pravidelného päťuholníka = (5/2)r2sin(72º), kde r je polomer.
  • Odkazy