3 spôsoby, ako ľahko nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu kvadratickej funkcie

od autora:

Z rôznych dôvodov môžete potrebovať vedieť definovať maximálnu alebo minimálnu hodnotu vybranej kvadratickej funkcie. Maximum alebo minimum môžete nájsť, ak je vaša pôvodná funkcia zapísaná vo všeobecnom tvare,

f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

, alebo v štandardnom tvare,

f(x)=a(x–h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}

. Nakoniec môžete použiť aj niektoré základné výpočty na definovanie maxima alebo minima akejkoľvek kvadratickej funkcie.

Metóda 1 z 3:Začíname všeobecným tvarom funkcie


Nastavte funkciu vo všeobecnom tvare. Kvadratická funkcia je funkcia, ktorá má

x2{\displaystyle x^{2}}

termín. Môže, ale nemusí obsahovať

x{\displaystyle x}

člen bez exponentu. Nebudú tam žiadne exponenty väčšie ako 2. Všeobecný tvar je

f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

. Ak je to potrebné, spojte podobné výrazy a usporiadajte ich tak, aby ste funkciu dostali v tomto všeobecnom tvare.[1]

  • Predpokladajme napríklad, že začnete s
    f(x)=3x+2x–x2+3x2+4{\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}

    . Kombinujte

    x2{\displaystyle x^{2}}

    termíny a

    x{\displaystyle x}

    výrazov, aby sme dostali nasledujúci vzorec vo všeobecnom tvare:

    • f(x)=2x2+5x+4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}


Určite smer grafu. Výsledkom kvadratickej funkcie je graf paraboly. Parabola sa otvára buď smerom nahor, alebo nadol. Ak

a{\displaystyle a}

, koeficient

x2{\displaystyle x^{2}}

je kladný, potom sa parabola otvára smerom nahor. Ak

a{\displaystyle a}

je záporná, potom sa parabola otvára smerom nadol.[2]
Odborný zdroj
Jake Adams
Akademický tútor & Špecialista na prípravu testov
Rozhovor s expertom. 20. mája 2020.
Pozrite sa na nasledujúce príklady: [3]

  • Pre
    f(x)=2x2+4x–6{\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6}

    ,

    a=2{\displaystyle a=2}

    takže parabola sa otvára smerom nahor.

  • Pre
    f(x)=–3x2+2x+8{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}

    ,

    a=–3{\displaystyle a=-3}

    takže parabola sa otvára smerom nadol.

  • Pre
    f(x)=x2+6{\displaystyle f(x)=x^{2}+6}

    ,

    a=1{\displaystyle a=1}

    takže parabola sa otvára smerom nahor.

  • Ak sa parabola otvára smerom nahor, nájdete jej minimálnu hodnotu. Ak sa parabola otvára smerom nadol, nájdete jej maximálnu hodnotu.


Vypočítajte -b/2a. Hodnota

–b2a{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}

vám povie

x{\displaystyle x}

hodnota vrcholu paraboly. Keď sa kvadratická funkcia zapíše vo všeobecnom tvare

ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}

, použite koeficienty

x{\displaystyle x}

a

x2{\displaystyle x^{2}}

takto:

  • Pre funkciu
    f(x)=x2+10x–1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}

    ,

    a=1{\displaystyle a=1}

    a

    b=10{\displaystyle b=10}

    . Preto nájdite hodnotu x vrcholu ako:

    • x=–b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
    • x=–10(2)(1){\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
    • x=–102{\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}
    • x=–5{\displaystyle x=-5}
  • Ako druhý príklad uvažujme funkciu
    f(x)=–3x2+6x–4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}

    . V tomto príklade,

    a=–3{\displaystyle a=-3}

    a

    b=6{\displaystyle b=6}

    . Preto nájdite hodnotu x vrcholu ako:

    • x=–b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
    • x=–6(2)(–3){\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
    • x=–6–6{\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
    • x=–(–1){\displaystyle x=-(-1)}
    • x=1{\displaystyle x=1}


Nájdite zodpovedajúcu hodnotu f(x). Vložte hodnotu x, ktorú ste práve vypočítali, do funkcie, aby ste našli zodpovedajúcu hodnotu f(x). Toto bude minimum alebo maximum funkcie.

  • Pre prvý uvedený príklad,
    f(x)=x2+10x–1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}

    , vypočítali ste hodnotu x pre vrchol, ktorá je

    x=–5{\displaystyle x=-5}

    . Zadajte

    –5{\displaystyle -5}

    na mieste

    x{\displaystyle x}

    vo funkcii nájsť maximálnu hodnotu:

    • f(x)=x2+10x–1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
    • f(–5)=(–5)2+10(–5)–1{\displaystyle f(-5)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
    • f(–5)=25–50–1{\displaystyle f(-5)=25-50-1}
    • f(–5)=–26{\displaystyle f(-5)=-26}
  • Pre druhý príklad uvedený vyššie,
    f(x)=–3x2+6x–4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}

    , ste zistili, že vrchol sa nachádza na

    x=1{\displaystyle x=1}

    . Vložte

    1{\displaystyle 1}

    namiesto

    x{\displaystyle x}

    vo funkcii, aby sme našli maximálnu hodnotu:

    • f(x)=–3x2+6x–4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
    • f(1)=–3(1)2+6(1)–4{\displaystyle f(1)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
    • f(1)=–3+6–4{\displaystyle f(1)=-3+6-4}
    • f(1)=–1{\displaystyle f(1)=-1}


Nahláste svoje výsledky. Preskúmajte otázku, ktorá vám bola položená. Ak ste požiadaní o súradnice vrcholu, musíte uviesť obidve

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

(alebo

f(x){\displaystyle f(x)}

) hodnoty. Ak ste požiadaní len o maximum alebo minimum, stačí, ak oznámite

y{\displaystyle y}

(alebo

f(x){\displaystyle f(x)}

) hodnota. Vráťte sa k hodnote

a{\displaystyle a}

koeficient, aby ste si boli istí, či máte maximálnu alebo minimálnu hodnotu.

  • Pre prvý príklad,
    f(x)=x2+10x–1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}

    , hodnota

    a{\displaystyle a}

    je kladná, takže budete vykazovať minimálnu hodnotu. Vrchol je na

    (–5,–26){\displaystyle (-5,-26)}

    , a minimálna hodnota je

    –26{\displaystyle -26}

    .

  • Pre druhý príklad,
    f(x)=–3x2+6x–4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}

    , hodnota

    a{\displaystyle a}

    je záporná, takže budete uvádzať maximálnu hodnotu. Vrchol je v bode

    (1,–1){\displaystyle (1,-1)}

    , a maximálna hodnota je

    –1{\displaystyle -1}

    .

Metóda 2 z 3: Použitie štandardného alebo vrcholového tvaru


Napíšte svoju kvadratickú funkciu v štandardnom alebo vrcholovom tvare. Štandardný tvar všeobecnej kvadratickej funkcie, ktorý sa môže nazývať aj vrcholový tvar, vyzerá takto: [4]

  • f(x)=a(x–h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}
  • Ak je vaša funkcia už daná v tomto tvare, stačí rozpoznať premenné
    a{\displaystyle a}

    ,

    h{\displaystyle h}

    a

    k{\displaystyle k}

    . Ak vaša funkcia začína vo všeobecnom tvare

    f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

    , budete musieť doplniť štvorec, aby ste ho prepísali do vrcholového tvaru.

  • Ak si chcete pozrieť, ako dokončiť štvorec, pozrite si časť Dokončiť štvorec.


Určte smer grafu. Rovnako ako pri kvadratickej funkcii zapísanej v jej všeobecnom tvare, aj pri parabole môžete určiť jej smer podľa koeficientu

a{\displaystyle a}

. Ak

a{\displaystyle a}

v tomto štandardnom tvare je kladná, potom sa parabola otvára smerom nahor. Ak

a{\displaystyle a}

je záporná, potom sa parabola otvára smerom nadol.[5]
Expert Zdroj
Jake Adams
akademického lektora & Špecialista na prípravu testov
Rozhovor s expertom. 20. mája 2020.
Pozrite sa na nasledujúce príklady: [6]

  • Pre
    f(x)=2(x+1)2–4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}

    ,

    a=2{\displaystyle a=2}

    , ktorá je kladná, takže parabola sa otvára smerom nahor.

  • Pre
    f(x)=–3(x–2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}

    ,

    a=–3{\displaystyle a=-3}

    , ktorý je záporný, takže parabola sa otvára smerom nadol.

  • Ak sa parabola otvára smerom nahor, nájdete jej minimálnu hodnotu. Ak sa parabola otvára smerom nadol, nájdete jej maximálnu hodnotu.


Určite minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Ak je funkcia zapísaná v štandardnom tvare, nájdenie minimálnej alebo maximálnej hodnoty je rovnako jednoduché ako uvedenie hodnoty premennej

k{\displaystyle k}

. Pre dva uvedené príklady funkcií sú tieto hodnoty:

  • Pre
    f(x)=2(x+1)2–4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}

    ,

    k=–4{\displaystyle k=-4}

    . Toto je minimálna hodnota funkcie, pretože táto parabola sa otvára smerom nahor.

  • Pre
    f(x)=–3(x–2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}

    ,

    k=2{\displaystyle k=2}

    . To je maximálna hodnota funkcie, pretože táto parabola sa otvára smerom nadol.


Nájdite vrchol. Ak sa vás opýtame na súradnice minimálnej alebo maximálnej hodnoty, bod bude

(h,k){\displaystyle (h,k)}

. Všimnite si však, že v štandardnom tvare rovnice je člen v zátvorkách

(x–h){\displaystyle (x-h)}

, takže potrebujete opačné znamienko čísla, ktoré nasleduje za

x{\displaystyle x}

.

  • Pre
    f(x)=2(x+1)2–4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}

    , člen v zátvorkách je (x+1), ktorý možno prepísať ako (x-(-1)). Teda,

    h=–1{\displaystyle h=-1}

    . Súradnice vrcholu tejto funkcie sú teda

    (–1,–4){\displaystyle (-1,-4)}

    .

  • Pre
    f(x)=–3(x–2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}

    , člen v zátvorkách je (x-2). Preto,

    h=2{\displaystyle h=2}

    . Súradnice vrcholu sú (2, 2).

Metóda 3 z 3:Použitie výpočtu na odvodenie minima alebo maxima


Začnite so všeobecným tvarom. Napíšte svoju kvadratickú funkciu vo všeobecnom tvare,

f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

. Ak je to potrebné, možno budete musieť spojiť podobné členy a usporiadať ich tak, aby ste získali správny tvar.[7]

  • Začnite so vzorovou funkciou
    f(x)=2x2–4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}

    .


Na nájdenie prvej derivácie použite mocninové pravidlo. Pomocou základných výpočtov prvého ročníka môžete zistiť, že prvá derivácia všeobecnej kvadratickej funkcie je

f′(x)=2ax+b{\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b}

.[8]

  • Pre vzorovú funkciu
    f(x)=2x2–4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}

    , nájdite deriváciu ako:

    • f′(x)=4x–4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}


Nastavte deriváciu rovnú nule. Pripomeňme si, že derivácia funkcie hovorí o sklone funkcie v danom zvolenom bode. Minimum alebo maximum funkcie nastáva vtedy, keď je sklon nulový. Preto, aby sme zistili, kde sa vyskytuje minimum alebo maximum, nastavíme deriváciu rovnú nule. Pokračujte v riešení vzorového problému z predchádzajúcej kapitoly: [9]

  • f′(x)=4x–4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}
  • 0=4x–4{\displaystyle 0=4x-4}


Riešenie pre x. Použite základné pravidlá algebry na zmenu usporiadania funkcie a vyriešte hodnotu pre x, keď sa derivácia rovná nule. Toto riešenie vám povie x-ovú súradnicu vrcholu funkcie, teda miesto, kde nastane maximum alebo minimum.[10]

  • 0=4x–4{\displaystyle 0=4x-4}
  • 4=4x{\displaystyle 4=4x}
  • 1=x{\displaystyle 1=x}


Vložte vyriešenú hodnotu x do pôvodnej funkcie. Minimálna alebo maximálna hodnota funkcie bude hodnota pre

f(x){\displaystyle f(x)}

pri vybranom

x{\displaystyle x}

pozícia. Vložte svoju hodnotu

x{\displaystyle x}

do pôvodnej funkcie a vyriešte, aby ste našli minimum alebo maximum.[11]

  • Pre funkciu
    f(x)=2x2–4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}

    na

    x=1{\displaystyle x=1}

    ,

    • f(1)=2(1)2–4(1)+1{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1}
    • f(1)=2–4+1{\displaystyle f(1)=2-4+1}
    • f(1)=–1{\displaystyle f(1)=-1}

  • Uveďte svoje riešenie. Riešenie vám dá vrchol maximálneho alebo minimálneho bodu. Pre túto vzorovú funkciu,

    f(x)=2x2–4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}

    , vrchol sa vyskytuje v bode

    (1,–1){\displaystyle (1,-1)}

    . Koeficient

    a{\displaystyle a}

    je kladná, takže funkcia sa otvára smerom nahor. Minimálna hodnota funkcie je teda y-ová súradnica vrcholu, ktorá je

    –1{\displaystyle -1}

    .[12]

    • Odkazy

      http://www.analyzemath.com/quadraticg/quadraticg.htm

      Jake Adams. Akademický tútor & Špecialista na prípravu testov. Rozhovor s odborníkom. 20. mája 2020.

      http://www.osobné.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-extval.pdf

      http://www.osobné.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-extval.pdf

      Jake Adams. Akademický tútor & Špecialista na prípravu testov. Rozhovor s odborníkom. 20. mája 2020.

      http://www.osobné.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-extval.pdf

      http://www.ichstránka.com/acalc/max.htm

      http://www.ichstránka.com/acalc/max.htm

      http://www.ichstránka.com/acalc/max.htm

    Súvisiace články:

    1. 3 spôsoby, ako si zapamätať časové tabuľky
    2. Ako osláviť Medzinárodný deň žien (s obrázkami)
    3. Ako si vybrať tému práce: 15 krokov (s obrázkami)
    4. Ako napísať právnickú esej (s obrázkami)