3 spôsoby, ako nájsť inverznú hodnotu kvadratickej funkcie

Inverzné funkcie môžu byť veľmi užitočné pri riešení mnohých matematických problémov. Schopnosť vziať funkciu a nájsť jej inverznú funkciu je mocný nástroj. Pri kvadratických rovniciach to však môže byť pomerne komplikovaný proces. Najprv musíte rovnicu starostlivo definovať, nastaviť vhodnú oblasť a rozsah. Potom máte na výber z troch metód výpočtu inverznej funkcie. Výber metódy je väčšinou na vašich osobných preferenciách.

Metóda 1 z 3:Nájdenie inverznej funkcie jednoduchej funkcie


Vyhľadajte funkciu v tvare

y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}

. Ak máte na začiatok „správny“ druh funkcie, môžete pomocou jednoduchej algebry nájsť jej inverznú hodnotu. Tento tvar je akousi obmenou

y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}

. Porovnanie so štandardným tvarom kvadratickej funkcie,

y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}

, by ste si mali všimnúť, že centrálny člen,

bx{\displaystyle bx}

, chýba. Iný spôsob, ako to povedať, je, že hodnota b je 0. Ak je vaša funkcia v tomto tvare, nájdenie inverznej funkcie je pomerne jednoduché.

  • Vaša počiatočná funkcia nemusí vyzerať presne takto
    y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}

    . Pokiaľ sa na to dokážete pozrieť a vidíte, že funkcia pozostáva len z

    x2{\displaystyle x^{2}}

    členov a konštantných čísel, budete môcť použiť túto metódu.

  • Predpokladajme napríklad, že začnete s rovnicou,
    2y6+x2=y+3x24{\displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}

    . Rýchle preskúmanie tejto rovnice ukazuje, že v nej nie sú žiadne členy

    x{\displaystyle x}

    k prvej mocnine. Táto rovnica je kandidátom na túto metódu hľadania inverznej funkcie.


Zjednodušte kombináciou podobných členov. Počiatočná rovnica môže mať viacero členov v kombinácii sčítania a odčítania. Vaším prvým krokom je spojiť podobné členy, aby ste rovnicu zjednodušili a prepísali ju do štandardného formátu

y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}

.

  • Ak vezmeme vzorovú rovnicu,
    2y6+x2=y+3x24{\displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}

    , y-ové členy sa dajú konsolidovať na ľavej strane odčítaním a y od oboch strán. Ostatné výrazy sa dajú zjednotiť vpravo tak, že k obom stranám pripočítame 6 a od oboch strán odčítame x^2. Výsledná rovnica bude mať tvar

    y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}

    .


Určte oblasť a rozsah zjednodušenej funkcie. Pripomeňme si, že oblasť funkcie pozostáva z možných hodnôt x, ktoré možno použiť na poskytnutie reálneho riešenia. Rozsah funkcie pozostáva z hodnôt y, ktoré budú výsledkom. Ak chcete určiť oblasť funkcie, hľadajte hodnoty, ktoré vytvárajú matematicky nemožný výsledok. Potom oznámite doménu ako všetky ostatné hodnoty x. Ak chcete nájsť rozsah, uvažujte hodnoty y v ľubovoľných hraničných bodoch a pozrite sa na správanie funkcie.[1]

  • Uvažujme vzorovú rovnicu
    y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}

    . Pre túto rovnicu neexistuje žiadne obmedzenie prípustných hodnôt x. Mali by ste si však uvedomiť, že toto je rovnica paraboly so stredom v bode x=0, a parabola nie je funkcia, pretože sa neskladá z jednosmerného zobrazenia hodnôt x a y. Aby sme túto rovnicu obmedzili a urobili z nej funkciu, pre ktorú môžeme nájsť inverznú funkciu, musíme definovať oblasť ako x≥0.

  • Rozsah je podobne obmedzený. Všimnite si, že prvý člen,
    2x2{\displaystyle 2x^{2}}

    , bude vždy kladná alebo 0 pre akúkoľvek hodnotu x. Keď sa potom rovnica sčíta s +2, rozsahom budú všetky hodnoty y≥2.

  • V tejto počiatočnej fáze je potrebné definovať doménu a rozsah. Tieto definície použijete neskôr pri definovaní oblasti a rozsahu inverznej funkcie. Oblasť pôvodnej funkcie sa v skutočnosti stane oblasťou inverznej funkcie a oblasť pôvodnej funkcie sa stane oblasťou inverznej funkcie.[2]


Prehoďte úlohy členov x a y. Bez toho, aby ste rovnicu zmenili akýmkoľvek iným spôsobom, musíte nahradiť všetky výskyty y znakom x a všetky výskyty x znakom y. Toto je krok, ktorý vlastne „obráti“ rovnicu.[3]

  • Práca so vzorovou rovnicou
    y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}

    , výsledkom tohto kroku inverzie bude nová rovnica

    x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}

    .

  • Alternatívny formát je nahradiť výrazy y výrazom x, ale výrazy x nahradiť buď
    y1{\displaystyle y^{-}1}

    alebo

    f(x)1{\displaystyle f(x)^{-}1}

    na označenie inverznej funkcie.


Prepíšte prevrátenú rovnicu v tvare y. Pomocou kombinácie algebrických krokov a dbajúc na to, aby ste rovnakú operáciu vykonali rovnomerne na oboch stranách rovnice, budete musieť izolovať premennú y. Pre pracovnú rovnicu

x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}

, táto revízia bude vyzerať nasledovne: [4]

  • x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}

    (pôvodný východiskový bod)

  • x2=2y2{\displaystyle x-2=2y^{2}}

    (odčítanie 2 od oboch strán)

  • x22=y2{\displaystyle {\frac {x-2}{2}}=y^{2}}

    (vydeľte obe strany číslom 2)

  • ±
    x22=y{\displaystyle {\sqrt {\frac {x-2}{2}}}=y}

    (odmocnina z oboch strán; nezabudnite, že odmocnina vedie ku kladným aj záporným možným odpovediam)


Určte obor a rozsah inverznej funkcie. Tak ako na začiatku, preskúmajte invertovanú rovnicu, aby ste definovali jej doménu a rozsah. Pri dvoch možných riešeniach vyberiete to, ktoré má doménu a rozsah, ktoré sú inverzné k pôvodnej doméne a rozsahu.[5]

  • Preskúmajte vzorové riešenie rovnice ±
    x22=y{\displaystyle {\sqrt {\frac {x-2}{2}}}=y}

    . Keďže funkcia odmocniny nie je definovaná pre žiadne záporné hodnoty, výraz

    x22{\displaystyle {\frac {x-2}{2}}}

    musí byť vždy kladná. Prípustné hodnoty x (doména) teda musia byť x≥2. Ak to použijeme ako oblasť, výsledné hodnoty y (rozsah) sú buď všetky hodnoty y≥0, ak vyberieme kladné riešenie odmocniny, alebo y≤0, ak vyberieme záporné riešenie odmocniny. Pripomeňme si, že pôvodne ste definovali doménu ako x≥0, aby ste mohli nájsť inverznú funkciu. Preto je správnym riešením inverznej funkcie kladná možnosť.

  • Porovnajte obor a rozsah inverznej funkcie s oborom a rozsahom pôvodnej funkcie. Pripomeňme si, že pre pôvodnú funkciu,
    y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}

    , oblasť bola definovaná ako všetky hodnoty x≥0 a rozsah bol definovaný ako všetky hodnoty y≥2. Pre inverznú funkciu sa teraz tieto hodnoty vymenia a oblasťou sú všetky hodnoty x≥2 a rozsahom sú všetky hodnoty y≥0.


Skontrolujte, či vaša inverzná funkcia funguje. Aby ste sa uistili, že vaša práca je správna a vaša inverzná rovnica je správna, vyberte ľubovoľnú hodnotu pre x a dosaďte ju do pôvodnej rovnice, aby ste našli y. Potom dosaďte túto hodnotu y na miesto x v inverznej rovnici a zistite, či sa vám podarí vygenerovať číslo, s ktorým ste začínali. Ak áno, vaša inverzná funkcia je správna.[6]

  • Ako príklad vyberte hodnotu x=1, ktorú dosadíte do pôvodnej rovnice
    y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}

    . Tým získame výsledok y=4.

  • Potom dosaďte túto hodnotu 4 do inverznej funkcie
    x22=y{\displaystyle {\sqrt {\frac {x-2}{2}}}=y}

    . To dáva výsledok y=1. Môžete konštatovať, že vaša inverzná funkcia je správna.

Metóda 2 z 3:Dokončenie štvorca na určenie inverznej funkcie


Stanovte kvadratickú rovnicu v správnom tvare. Aby ste mohli začať hľadať inverznú funkciu, musíte začať s rovnicou vo formáte

f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

. Ak je to potrebné, možno budete musieť skombinovať podobné členy, aby ste dostali rovnicu do tohto formátu. S takto zapísanou rovnicou môžete o nej začať hovoriť niektoré informácie.[7]

  • Prvá vec, ktorú si treba všimnúť, je hodnota koeficientu a. Ak a>0, potom rovnica definuje parabolu, ktorej konce smerujú nahor. Ak a<0, rovnica definuje parabolu, ktorej konce smerujú nadol. Všimnite si, že a≠0. Ak by to tak bolo, potom by to bola lineárna funkcia a nie kvadratická.


Rozpoznať štandardný formát štvorca. Predtým, ako budete môcť nájsť inverznú funkciu, budete musieť prepísať vašu rovnicu do štandardného formátu. Štandardný formát pre akúkoľvek kvadratickú funkciu je

f(x)=a(xh)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}

. Číselné členy a, h a k sa vyvinú pri transformácii rovnice prostredníctvom procesu známeho ako dokončenie štvorca.[8]

  • Všimnite si, že tento štandardný formát pozostáva z dokonalého štvorcového člena,
    (xh)2{\displaystyle (x-h)^{2}}

    , ktorá sa potom upraví o ďalšie dva prvky a a k. Aby ste sa dostali k tomuto dokonalému štvorcovému tvaru, budete musieť vytvoriť určité podmienky vo vašej kvadratickej rovnici.


Pripomeňme si tvar dokonalej kvadratickej funkcie. Pamätajte si, že kvadratická funkcia, ktorá je dokonalým štvorcom, vzniká pomocou dvoch dvojčlenov

(x+b)(x+b){\displaystyle (x+b)(x+b)}

, alebo

(x+b)2{\displaystyle (x+b)^{2}}

. Keď vykonáte toto násobenie, dostanete výsledok

x2+2bx+b2{\displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}

. Prvý člen štvorca je teda prvým členom binómu vo štvorci a posledný člen štvorca je štvorcom druhého člena binómu. Stredný člen sa skladá z dvojnásobku súčinu dvoch členov, v tomto prípade

2xb{\displaystyle 2*x*b}

.[9]

  • Ak chcete dokončiť štvorec, budete pracovať v opačnom poradí. Začnete s
    x2{\displaystyle x^{2}}

    a nejaký druhý člen x. Z koeficientu tohto člena, ktorý môžete definovať ako „2b“, budete musieť nájsť

    b2{\displaystyle b^{2}}

    . To si vyžiada kombináciu delenia dvoma a následného odmocnenia tohto výsledku.


Uistite sa, že koeficient na

x2{\displaystyle x^{2}}

je 1. Pripomeňme si pôvodný tvar kvadratickej funkcie

ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}

. Ak je prvý koeficient iný ako 1, potom musíte všetky členy vydeliť touto hodnotou, aby ste nastavili a=1.[10]

  • Uvažujme napríklad kvadratickú funkciu
    f(x)=2x2+6x4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x-4}

    . Túto funkciu je potrebné zjednodušiť vydelením všetkých členov číslom 2, čím získame výslednú funkciu

    f(x)=2(x2+3x2){\displaystyle f(x)=2(x^{2}+3x-2)}

    . Koeficient 2 zostane mimo zátvoriek a bude súčasťou vášho konečného riešenia.

  • Ak všetky členy nie sú násobkami a, dostaneme zlomkové koeficienty. Napríklad funkcia
    f(x)=3x22x+6{\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+6}

    sa zjednoduší na

    f(x)=3(x22x3+2){\displaystyle f(x)=3(x^{2}-{\frac {2x}{3}}+2)}

    . Podľa potreby pozorne pracujte so zlomkami.


Nájdite polovicu stredného koeficientu a odmocnite ho. Prvé dva členy dokonalého štvorcového štvorca už máte. Toto sú

x2{\displaystyle x^{2}}

člen a akýkoľvek koeficient, ktorý sa objaví pred členom x. Tým, že tento koeficient bude mať akúkoľvek hodnotu, pripočítate alebo odčítate akékoľvek číslo potrebné na vytvorenie dokonalého štvorca kvadratickej funkcie. Pripomeňme si z vyššie uvedeného, že požadovaný tretí člen štvorca je tento druhý koeficient vydelený dvoma a potom vynásobený štvorcom.[11]

  • Napríklad, ak prvé dva členy vašej kvadratickej funkcie sú
    x2+3x{\displaystyle x^{2}+3x}

    , nájdete potrebný tretí člen tak, že vydelíte 3 číslom 2, čím získate výsledok 3/2, a potom ho odmocníte, čím získate 9/4. Kvadratický

    x2+3x+9/4{\displaystyle x^{2}+3x+9/4}

    je dokonalý štvorec.

  • Ako ďalší príklad predpokladajme, že vaše prvé dva členy sú
    x24x{\displaystyle x^{2}-4x}

    . Polovica stredného člena je -2 a potom ho odmocníte, aby ste dostali 4. Výsledná kvadratická kvadratická rovnica je

    x24x+4{\displaystyle x^{2}-4x+4}

    .


Pridajte A zároveň odčítajte potrebný tretí člen. Je to zložitý koncept, ale funguje. Pripočítaním aj odčítaním toho istého čísla na rôznych miestach vašej funkcie v skutočnosti nevykonáte žiadnu zmenu hodnoty funkcie. Tento postup vám však umožní dostať vašu funkciu do správneho formátu.[12]

  • Predpokladajme, že máte funkciu
    f(x)=x24x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}

    . Ako je uvedené vyššie, prvé dva členy použijete na dokončenie štvorca. Pomocou stredného člena -4x získate tretí člen +4. K rovnici pridajte a odčítajte 4 v tvare

    f(x)=(x24x+4)+94{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4}

    . Zátvorky sú umiestnené len preto, aby definovali dokonalý štvorcový kvadratik, ktorý vytvárate. Všimnite si +4 vo vnútri zátvoriek a -4 mimo nich. Zjednodušte čísla, aby ste dostali výsledok

    f(x)=(x24x+4)+5{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}

    .


Faktor dokonalého štvorcového štvorca. Polynóm vo vnútri zátvoriek by mal byť kvadratickým polynómom s dokonalým štvorcom, ktorý môžete prepísať v tvare

(x+b)2{\displaystyle (x+b)^{2}}

. V príklade z predchádzajúceho kroku,

f(x)=(x24x+4)+5{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}

, kvadratický faktor do

(x2)2{\displaystyle (x-2)^{2}}

. Preneste zvyšok rovnice, takže vaše riešenie bude

f(x)=(x2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}

. Toto je rovnaká funkcia ako vaša pôvodná kvadratická,

f(x)=x24x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}

, jednoducho prepracovať do štandardného

f(x)=a(xh)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}

tvorí.[13]

  • Všimnite si, že pre túto funkciu platí a=1, h=2 a k=5. Hodnota zápisu rovnice v tomto tvare spočíva v tom, že a, ktoré je kladné, vám hovorí, že parabola smeruje nahor. Hodnoty (h,k) vám hovoria o vrcholovom bode v dolnej časti paraboly, ak by ste ju chceli znázorniť graficky.


Definujte doménu a rozsah funkcie. Oblasť je množina hodnôt x, ktoré možno použiť ako vstup do funkcie. Oblasť je množina hodnôt y, ktoré môžu byť výsledkom. Pripomeňme si, že parabola nie je funkcia s definovateľnou inverziou, pretože v dôsledku symetrie paraboly neexistuje priradenie hodnôt x k hodnotám y jedna k jednej. Na vyriešenie tohto problému je potrebné definovať oblasť ako všetky hodnoty x, ktoré sú väčšie ako x=h, vrcholový bod paraboly.[14]

  • Pokračujte v práci so vzorovou funkciou
    f(x)=(x2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}

    . Keďže je to v štandardnom formáte, môžete vrcholový bod určiť ako x=2, y=5. Aby ste sa vyhli symetrii, budete teda pracovať len s pravou stranou grafu a ako oblasť nastavíte všetky hodnoty x≥2. Vložením hodnoty x=2 do funkcie dostaneme výsledok y=5. Vidíte, že hodnoty y sa budú zväčšovať s rastúcim x. Preto je rozsah tejto rovnice y≥5.


Prehoďte hodnoty x a y. Toto je krok, v ktorom začnete hľadať prevrátený tvar rovnice. Ponechajte rovnicu v plnom znení, okrem zámeny týchto premenných.[15]

  • Pokračujte v práci s funkciou
    f(x)=(x2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}

    . Na miesto f(x) vložte x a na miesto x vložte y (alebo f(x), ak chcete). Takto získame novú funkciu

    x=(y2)2+5{\displaystyle x=(y-2)^{2}+5}

    .


Prepíšte obrátenú rovnicu v tvare y. Pomocou kombinácie algebrických krokov a s prihliadnutím na to, aby ste rovnakú operáciu vykonali rovnomerne na oboch stranách rovnice, budete musieť izolovať premennú y. Pre pracovnú rovnicu

x=(y2)2+5{\displaystyle x=(y-2)^{2}+5}

, táto revízia bude vyzerať takto:[16]

  • x=(y2)2+5{\displaystyle x=(y-2)^{2}+5}

    (pôvodný východiskový bod)

  • x5=(y2)2{\displaystyle x-5=(y-2)^{2}}

    (od oboch strán odpočítajte 5)

  • ±
    x5=y2{\displaystyle {\sqrt {x-5}}=y-2}

    (odmocnina z oboch strán; nezabudnite, že odmocnina vedie ku kladným aj záporným možným odpovediam)

  • ±
    x5+2=y{\displaystyle {\sqrt {x-5}}+2=y}

    (k obom stranám pridajte 2)


Určte oblasť a rozsah inverznej funkcie. Rovnako ako na začiatku preskúmajte invertovanú rovnicu, aby ste určili jej oblasť a rozsah. Pri dvoch možných riešeniach vyberiete to, ktoré má doménu a rozsah, ktoré sú inverzné k pôvodnej doméne a rozsahu.[17]

  • Preskúmajte vzorové riešenie rovnice ±
    x5+2=y{\displaystyle {\sqrt {x-5}}+2=y}

    . Keďže funkcia odmocniny nie je definovaná pre žiadne záporné hodnoty, výraz

    x5{\displaystyle {x-5}}

    musí byť vždy kladná. Preto prípustné hodnoty x (doména) musia byť x≥5. Ak to použijeme ako oblasť, výsledné hodnoty y (rozsah) sú buď všetky hodnoty y≥2, ak vyberieme kladné riešenie odmocniny, alebo y≤2, ak vyberieme záporné riešenie odmocniny. Pripomeňte si, že pôvodne ste definovali doménu ako x≥2, aby ste mohli nájsť inverznú funkciu. Preto je správnym riešením inverznej funkcie kladná možnosť.

  • Porovnajte oblasť a rozsah inverzie s oblasťou a rozsahom originálu. Pripomeňte si, že pre pôvodnú funkciu bol obor definovaný ako všetky hodnoty x≥2 a rozsah bol definovaný ako všetky hodnoty y≥5. Pre inverznú funkciu sa teraz tieto hodnoty vymenia a oblasťou sú všetky hodnoty x≥5 a rozsahom sú všetky hodnoty y≥2.


Skontrolujte, či vaša inverzná funkcia funguje. Aby ste sa uistili, že vaša práca je správna a vaša inverzná rovnica je správna, vyberte ľubovoľnú hodnotu x a dosaďte ju do pôvodnej rovnice, aby ste zistili y. Potom dosaďte túto hodnotu y na miesto x v inverznej rovnici a zistite, či sa vám podarí vygenerovať číslo, s ktorým ste začínali. Ak áno, vaša inverzná funkcia je správna.[18]

  • Ako príklad si vyberte hodnotu x=3, ktorú dosadíte do pôvodnej rovnice
    f(x)=x24x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}

    . Výsledkom je y=6.

  • Potom vložte túto hodnotu 6 do inverznej funkcie
    x5+2=y{\displaystyle {\sqrt {x-5}}+2=y}

    . Výsledkom je y=3, čo je číslo, s ktorým ste začali. Môžete konštatovať, že vaša inverzná funkcia je správna.

Metóda 3 z 3:Použitie kvadratického vzorca


Zapamätajte si kvadratický vzorec na riešenie x. Pripomeňte si, že pri riešení kvadratických rovníc bolo jednou z metód ich vynásobenie, ak to bolo možné. Ak by faktorizácia nefungovala, potom by ste sa mohli uchýliť ku kvadratickému vzorcu, ktorý by poskytol skutočné riešenia pre akýkoľvek kvadratický vzorec. Kvadratický vzorec môžete použiť ako ďalšiu metódu na hľadanie inverzných funkcií.[19]

  • Kvadratický vzorec je x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
  • Všimnite si, že výsledkom kvadratického vzorca budú dve možné riešenia, jedno kladné a jedno záporné. Tento výber vykonáte na základe definovania domény a rozsahu funkcie.


Začnite s kvadratickou rovnicou, aby ste našli jej inverziu. Vaša kvadratická rovnica musí začínať vo formáte

f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}

. Urobte všetky algebraické kroky, ktoré musíte urobiť, aby ste dostali rovnicu do tohto tvaru.[20]

  • V tejto časti článku použite vzorovú rovnicu
    f(x)=x2+2x3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}

    .


Graf rovnice na určenie oblasti a rozsahu. Určte graf funkcie, buď pomocou grafickej kalkulačky, alebo jednoducho vykresľujte rôzne body, kým sa neobjaví parabola. Zistíte, že táto rovnica definuje parabolu s vrcholom v bode (-1,-4). Ak teda chceme definovať túto funkciu ako funkciu, ktorá bude mať inverznú hodnotu, definujeme doménu ako všetky hodnoty x≤-1. Rozsah potom bude všetky y≥-4.[21]


Zameňte premenné x a y. Ak chcete začať hľadať inverznú hodnotu, prehoďte premenné x a y. Ponechajte rovnicu nezmenenú, okrem obrátenia premenných. V tejto fáze nahradíte x za f(x).[22]

  • Pomocou pracovnej rovnice
    f(x)=x2+2x3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}

    , Tým sa získa výsledok

    x=y2+2y3{\displaystyle x=y^{2}+2y-3}

    .


Nastavte ľavú stranu rovnice na hodnotu 0. Pripomeňte si, že ak chcete použiť kvadratický vzorec, musíte svoju rovnicu nastaviť na hodnotu 0 a potom použiť koeficienty vo vzorci. Podobne aj táto metóda hľadania inverznej funkcie začína nastavením rovnice rovnej 0.

  • V prípade vzorovej rovnice, aby sa ľavá strana rovnala 0, musíte od oboch strán rovnice odčítať x. Výsledkom bude
    0=y2+2y3x{\displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}

    .


Znovu definujte premenné tak, aby zodpovedali kvadratickému vzorcu. Tento krok je trochu zložitý. Pripomeňme si, že kvadratický vzorec rieši x v rovnici

0=ax2+bx+c{\displaystyle 0=ax^{2}+bx+c}

. Takže na získanie rovnice máte v súčasnosti,

0=y2+2y3x{\displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}

, aby to zodpovedalo tomuto formátu, je potrebné nadefinovať výrazy takto: [23]

  • Nech
    y2=ax2{\displaystyle y^{2}=ax^{2}}

    . Preto x=1

  • Nech
    2y=bx{\displaystyle 2y=bx}

    . Preto b=2

  • Nech
    (3x)=c{\displaystyle (-3-x)=c}

    . Preto c=(-3-x)


Vyriešte kvadratický vzorec pomocou týchto nadefinovaných hodnôt. Za normálnych okolností by ste do kvadratického vzorca dosadili hodnoty a, b a c, aby ste vyriešili x. Pripomeňme si však, že predtým ste pri hľadaní inverznej funkcie vymenili x a y. Keď teda použijete kvadratický vzorec na riešenie x, v skutočnosti riešite y alebo f-inverziu. Kroky riešenia kvadratického vzorca budú prebiehať takto: [24]

  • x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
  • x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1)
  • x=((-2)±√(4+12+4x))/2
  • x=(-2±√(16+4x))/2
  • x=(-2±√(4)(4+x))/2
  • x=-2±2√(4+x))/2
  • x=-1±√(4+x)
  • f-inverzný = -1±√(4+x) (Tento posledný krok je možný, pretože ste predtým vložili x na miesto premennej f(x).)


Vypíšte dve možné riešenia. Všimnite si, že kvadratický vzorec dáva dva možné výsledky s použitím symbolu ±. Vypíšte dve samostatné riešenia, aby ste mohli ľahšie definovať oblasť a rozsah a urobiť správne konečné riešenie. Tieto dve riešenia sú: [25]

  • f1=1+4+x{\displaystyle f^{-1}=-1+{\sqrt {4+x}}}
  • f1=14+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt {4+x}}}


Definujte obor a rozsah inverznej funkcie. Všimnite si, že na to, aby bola definovaná odmocnina, musí byť oblasťou x≥-4. Pripomeňme si, že doménou pôvodnej funkcie bolo x≤-1 a rozsah bol y≥-4. Ak chcete vybrať inverznú funkciu, ktorá vyhovuje, budete musieť vybrať druhé riešenie,

f1=14+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt {4+x}}}

ako správna inverzná funkcia.[26]


  • Skontrolujte, či vaša inverzná funkcia funguje. Ak sa chcete uistiť, že vaša práca je správna a vaša inverzná rovnica je správna, vyberte ľubovoľnú hodnotu x a dosaďte ju do pôvodnej rovnice, aby ste zistili y. Potom dosaďte túto hodnotu y na miesto x vo vašej inverznej rovnici a zistite, či vám vznikne číslo, s ktorým ste začínali. Ak áno, vaša inverzná funkcia je správna.[27]

    • Použitie pôvodnej funkcie
      f(x)=x2+2x3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}

      , vyberte x=-2. Takto dostaneme výsledok y=-3. Teraz vložte hodnotu x=-3 do inverznej funkcie,

      f1=14+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt {4+x}}}

      . Výsledkom je -2, čo je skutočne hodnota, s ktorou ste začali. Preto je vaša definícia inverznej funkcie správna.

  • Odkazy