3 spôsoby, ako nájsť inverznú hodnotu matice 3×3

Inverzné operácie sa v algebre bežne používajú na zjednodušenie toho, čo by inak mohlo byť zložité. Ak napríklad úloha vyžaduje, aby ste delili zlomkom, môžete ľahšie vynásobiť jeho recipročnou hodnotou. Toto je inverzná operácia. Podobne, keďže pre matice neexistuje operátor delenia, musíte vynásobiť inverznou maticou. Ručný výpočet inverznej matice 3×3 je zdĺhavá práca, ktorá však stojí za preskúmanie. Inverznú maticu môžete nájsť aj pomocou pokročilého grafického kalkulátora.

Metóda 1 z 3:Vytvorenie adjungovanej matice na nájdenie inverznej matice


Skontrolujte determinant matice. Ako úvodný krok musíte vypočítať determinant matice. Ak je determinant rovný 0, vaša práca skončila, pretože matica nemá inverznú hodnotu. Determinant matice M možno symbolicky znázorniť ako det(M).[1]

  • Pre maticu 3×3 nájdite determinant tak, že najprv
  • Prehľad hľadania determinantu matice nájdete v časti Hľadanie determinantu matice 3×3.


Transponujte pôvodnú maticu. Transpozícia znamená odrazenie matice okolo hlavnej diagonály alebo ekvivalentne zámenu (i,j)-teho a (j,i)-teho prvku. Keď transponujete členy matice, mali by ste vidieť, že hlavná diagonála (z ľavého horného rohu do pravého dolného) sa nezmenila.[2]

  • Iný spôsob, ako si predstaviť transpozíciu, je, že prvý riadok prepíšete ako prvý stĺpec, stredný riadok sa stane stredným stĺpcom a tretí riadok sa stane tretím stĺpcom. Všimnite si farebné prvky vo vyššie uvedenom diagrame a pozrite sa, kde čísla zmenili svoju pozíciu.


Nájdite determinant každej z menších matíc 2×2. Každý prvok novej transponovanej matice 3×3 je spojený s príslušnou „vedľajšou“ maticou 2×2. Ak chcete nájsť správnu menšiu maticu pre každý člen, najprv zvýraznite riadok a stĺpec člena, ktorým začínate. To by malo zahŕňať päť členov matice. Zvyšné štyri členy tvoria vedľajšiu maticu.[3]

  • V uvedenom príklade, ak chcete získať minoritnú maticu člena v druhom riadku, prvom stĺpci, označíte päť členov, ktoré sa nachádzajú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zvyšné štyri výrazy sú príslušnou menšou maticou.
  • Nájdite determinant každej menšej matice krížovým násobením uhlopriečok a odčítaním, ako je znázornené na obrázku.
  • Viac informácií o menších maticiach a ich použití nájdete v časti Pochopenie základov matíc.


Vytvorte maticu kofaktorov. Umiestnite výsledky predchádzajúceho kroku do novej matice kofaktorov tak, že zarovnáte každý menší determinant matice s príslušnou pozíciou v pôvodnej matici. Determinant, ktorý ste vypočítali z položky (1,1) pôvodnej matice, sa teda dostane na pozíciu (1,1). Potom musíte obrátiť znamienka striedajúcich sa členov tejto novej matice podľa znázorneného „šachovnicového“ vzoru.[4]

  • Pri priraďovaní znamienok si prvý prvok prvého riadku zachováva svoje pôvodné znamienko. Druhý prvok je obrátený. Tretí prvok si zachováva svoje pôvodné znamienko. Pokračujte so zvyškom matice týmto spôsobom. Všimnite si, že znamienka (+) alebo (-) v šachovnicovom diagrame nenaznačujú, že posledný člen by mal byť kladný alebo záporný. Sú to indikátory zachovania (+) alebo obrátenia (-) akéhokoľvek znamienka, ktoré číslo pôvodne malo.
  • Prehľad kofaktorov nájdete v časti Pochopiť základy matíc.
  • Konečný výsledok tohto kroku sa nazýva adjugovaná matica pôvodnej matice. To sa niekedy označuje ako adjungovaná matica. Adjugovaná matica sa označuje ako Adj(M).


Každý člen adjungovanej matice vydeľte determinantom. Pripomeňte si determinant čísla M, ktorý ste vypočítali v prvom kroku (aby ste si overili, či je možná inverzia). Teraz delíte každý člen matice touto hodnotou. Výsledok každého výpočtu umiestnite na miesto pôvodného člena. Výsledkom je inverzná hodnota pôvodnej matice.[5]

  • Pre vzorovú maticu znázornenú na obrázku je determinant 1. Preto delením každého člena adjungovanej matice vznikne samotná adjungovaná matica. (Nie vždy budete mať také šťastie.)
  • Niektoré zdroje namiesto delenia predstavujú tento krok ako násobenie každého člena M číslom 1/det(M). Z matematického hľadiska sú tieto údaje ekvivalentné.

Metóda 2 z 3:Použitie lineárnej redukcie riadkov na nájdenie inverznej matice


Pripojte maticu identity k pôvodnej matici. Vypíšte pôvodnú maticu M, napravo od nej nakreslite zvislú čiaru a potom napravo od nej napíšte maticu identity.[6]
Odborný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Odborný asistent matematiky
Rozhovor s odborníkom. 19. januára 2021.
Teraz by ste mali mať niečo, čo sa javí ako matica s tromi riadkami po šiestich stĺpcoch.[7]

  • Pripomeňme si, že matica identity je špeciálna matica s jednotkami na každej pozícii hlavnej diagonály od ľavého horného po pravý dolný roh a s 0 na všetkých ostatných pozíciách. Prehľad matice identity a jej vlastností nájdete v časti Pochopiť základy matíc.


Vykonajte operácie lineárnej redukcie riadkov. Vaším cieľom je vytvoriť maticu identity na ľavej strane tejto novej rozšírenej matice. Pri vykonávaní krokov redukcie riadkov na ľavej strane musíte dôsledne vykonávať rovnaké operácie na pravej strane, ktorá začala ako vaša matica identity.[8]
Odborný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Odborný asistent matematiky
Rozhovor s odborníkom. 19. januára 2021.

  • Nezabudnite, že riadkové redukcie sa vykonávajú ako kombinácia skalárneho násobenia a riadkového sčítania alebo odčítania s cieľom izolovať jednotlivé členy matice. Úplnejší prehľad nájdete v časti Riadkové redukcie matíc.


Pokračujte, kým nevytvoríte maticu identity. Opakujte operácie lineárnej redukcie riadkov, kým sa na ľavej strane vašej rozšírenej matice nezobrazí matica identity (diagonála 1s, s ostatnými členmi 0). Keď ste dosiahli tento bod, pravá strana vertikálneho deliteľa bude inverzná k vašej pôvodnej matici.[9]


Vypíšte inverznú maticu. Skopírujte prvky, ktoré sa teraz objavujú na pravej strane zvislého deliteľa ako inverzná matica.[10]
Expertný zdroj
Mario Banuelos, PhD
Odborný asistent matematiky
Rozhovor s odborníkom. 19. januára 2021.

Metóda 3 z 3:Použitie kalkulačky na nájdenie inverznej matice


Vyberte kalkulačku s maticovými funkciami. Jednoduché kalkulačky so 4 funkciami vám nebudú schopné pomôcť priamo nájsť inverznú hodnotu. Vzhľadom na opakujúci sa charakter výpočtov však môže pokročilý grafický kalkulátor, napríklad Texas Instruments TI-83 alebo TI-86, výrazne znížiť prácu.[11]


Zadajte svoju maticu do kalkulačky. Najskôr zadajte funkciu Matrix vašej kalkulačky stlačením tlačidla Matrix, ak ho máte. Na kalkulačkách Texas Instruments možno budete musieť stlačiť tlačidlo 2. Matica.


Vyberte podponuku Upraviť. Aby ste sa dostali do podmenu, možno budete musieť použiť tlačidlá so šípkami alebo zvoliť príslušné funkčné tlačidlo v hornej časti klávesnice kalkulačky, v závislosti od rozloženia vašej kalkulačky.[12]


Vyberte názov matice. Väčšina kalkulačiek je vybavená na prácu s 3 až 10 maticami označenými písmenami A až J. Zvyčajne stačí zvoliť [A], s ktorým sa pracuje. Po vykonaní výberu stlačte tlačidlo Enter.[13]


Zadajte rozmery vašej matice. Tento článok je zameraný na matice 3×3. Kalkulačka si však poradí aj s väčšími rozmermi. Zadajte počet riadkov, potom stlačte Enter a potom počet stĺpcov a Enter.[14]


Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak ste predtým pracovali s funkciou matice, na obrazovke sa zobrazí predchádzajúca matica. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu matice, ktorú chcete vyriešiť, a potom zadajte Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice, pričom prepíše všetky predchádzajúce čísla.[15]

  • Ak chcete zadať záporné číslo, použite na kalkulačke tlačidlo zápor (-), a nie tlačidlo mínus. Maticová funkcia neprečíta číslo správne.
  • Ak je to potrebné, môžete použiť klávesy so šípkami na kalkulačke na prechádzanie po matici.


Ukončenie funkcie Matrix. Po zadaní všetkých hodnôt matice stlačte tlačidlo Quit (prípadne 2. Quit). Tým sa ukončí funkcia Matica a vrátite sa na hlavnú obrazovku displeja kalkulačky.[16]


Použite inverzný kľúč na nájdenie inverznej matice. Najprv znovu otvorte funkciu Matrix a pomocou tlačidla Names vyberte označenie matice, ktoré ste použili na definovanie matice (pravdepodobne [A]). Potom stlačte inverzné tlačidlo kalkulačky,

x1{\displaystyle x^{-1}}

. V závislosti od vašej kalkulačky to môže vyžadovať použitie 2. tlačidla. Na displeji by sa malo zobraziť

A1{\displaystyle A^{-1}}

. Stlačte Enter a na obrazovke by sa mala objaviť inverzná matica.[17]

  • Nepoužívajte tlačidlo ^ na kalkulačke a pokúste sa zadať A^-1 ako samostatné stlačenie kláves. Kalkulačka tejto operácii nerozumie.
  • Ak sa vám pri zadávaní kľúča inverzie zobrazí chybové hlásenie, je pravdepodobné, že vaša pôvodná matica nemá inverziu. Možno sa budete chcieť vrátiť a vypočítať determinant, aby ste zistili.


Preveďte inverznú maticu na presné odpovede. Prvý výpočet, ktorý vám kalkulačka ponúkne, je v desatinnom tvare. Na väčšinu účelov sa to nepovažuje za „presné“. Desatinné odpovede by ste mali podľa potreby previesť na zlomkový tvar. (Ak budete mať veľké šťastie, všetky vaše výsledky budú celé čísla, ale to je zriedkavé.)[18]

  • Vaša kalkulačka má pravdepodobne funkciu, ktorá automaticky prevedie desatinné čísla na zlomky. Napríklad pri použití TI-86 zadajte funkciu Math, potom vyberte položku Misc a potom Frac a Enter. Desatinné čísla sa automaticky zobrazia ako zlomky.

  • Väčšina grafických kalkulačiek má aj tlačidlá hranatých zátvoriek (na TI-84 je to 2. + x a 2. + -), ktoré možno použiť na zadanie matice bez použitia funkcie matice. Poznámka: Kalkulačka naformátuje maticu až po použití klávesu enter/rovná sa (i.e. všetko bude na jednom riadku a nebude to pekné).
  • Odkazy