3 spôsoby, ako používať dokonalú štvorcovú identitu ako skratku pri rozširovaní

Pri násobení dvojčlenov pravdepodobne použijete metódu FOIL. Hoci je metóda FOIL užitočná, môže byť časovo náročná a mätúca. Je teda dobré vedieť, že pri kvadratizácii binómu môžete na rýchle rozšírenie trinómu použiť identitu dokonalého štvorca. Základný vzorec je

(a+b)2=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

. Tento vzorec môžete použiť aj na určenie, či je trojčlen dokonalým štvorcom, a na rýchle vynásobenie týchto trojčlenov.

Spôsob 1 z 3:Rozšírenie dokonalého štvorca


Určite, či máte dokonalý štvorcový binóm. Binomický vzorec je dvojčlenný výraz. Ak je binomický výraz dokonalý štvorec, vyjadrí sa buď ako

(a+b)2{\displaystyle (a+b)^{2}}

alebo

(a+b)(a+b){\displaystyle (a+b)(a+b)}

. Všimnite si, že dvojčleny môžu mať aj symbol odčítania.

  • Napríklad,
    (5y+3)2{\displaystyle (5y+3)^{2}}

    je dokonalý štvorcový binóm.


Nastavte vzorec pre dokonalý štvorcový trinomikál. Vzorec je

(a+b)2=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

. Ak binómy vykazujú odčítanie, vzorec je

(ab)2=a22ab+b2{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}

[1]
. Všimnite si, že

a{\displaystyle a}

je prvý člen binómu a

b{\displaystyle b}

je druhý člen binómu.


Odmocnite prvý člen binómu. Toto sa stane prvým členom trojčlenu. Pamätajte si, že vynásobiť člen štvorcom znamená vynásobiť ho samým sebou.

  • Ak napríklad rozširujete
    (5y+3)2{\displaystyle (5y+3)^{2}}

    , by ste najprv vypočítali

    (5y)2=25y2{\displaystyle (5y)^{2}=25y^{2}}

    . Takže,

    25y2{\displaystyle 25y^{2}}

    je prvý člen trinómu.


Vynásobte prvý a posledný člen. Uistite sa, že používate pôvodný

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

členy z binomického výrazu.

  • Ak napríklad rozširujete
    (5y+3)2{\displaystyle (5y+3)^{2}}

    , by ste vypočítali

    (5y)(3)=15y{\displaystyle (5y)(3)=15y}

    .


Vynásobte súčin číslom 2. Ak dvojčleny vykazujú odčítanie, mali by ste ich vynásobiť číslom -2. Výsledkom bude stredný člen trojčlenu.

  • Napríklad,
    (2)(15y)=30y{\displaystyle (2)(15y)=30y}

    . Takže váš trinomikál teraz vyzerá takto:

    25y2+30y+b2{\displaystyle 25y^{2}+30y+b^{2}}

    .


Odpočítajte posledný člen do štvorca. Opäť sa uistite, že používate originál

b{\displaystyle b}

výraz z dvojčlenného výrazu. Štvorec vám dá posledný člen trinómu.[2]

  • Napríklad,
    32=9{\displaystyle 3^{2}=9}

    . Takže ,

    (5y+3)2=25y2+30y+9{\displaystyle (5y+3)^{2}=25y^{2}+30y+9}

Metóda 2 z 3:Identifikácia dokonalého štvorcového trinómu


Spomeňte si na vzorec pre dokonalý štvorcový trinom. Vzorec je

(a+b)2=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

. Ak binómy vykazujú odčítanie, vzorec je

(ab)2=a22ab+b2{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}

[3]


Určte, či prvý člen trojčlenu je dokonalý štvorec. Dokonalý štvorec je číslo, ktorého odmocnina je celé číslo.[4]
Keďže prvý člen vo vzorci pre dokonalý štvorec je

a2{\displaystyle a^{2}}

, Prvý člen vášho trinómu musí byť dokonalý štvorec.[5]
Všimnite si, že odmocnina z prvého člena sa rovná

a{\displaystyle a}

v štvorcovom binóme.

  • Napríklad v trojčlenke
    36x248x+16{\displaystyle 36x^{2}-48x+16}

    , Prvý termín je

    36x2{\displaystyle 36x^{2}}

    . Druhá odmocnina z

    36x2{\displaystyle 36x^{2}}

    je

    6x{\displaystyle 6x}

    . Takže prvý člen tohto trinómu je dokonalý štvorec. Aj v binóme so štvorcom,

    a=6x{\displaystyle a=6x}

    .


Určte, či posledný člen trojčlenu je dokonalý štvorec. Keďže posledný člen vo vzorci dokonalého štvorca je

b2{\displaystyle b^{2}}

, posledný člen vášho trinómu musí byť dokonalý štvorec.[6]
Všimnite si, že odmocnina z posledného člena sa rovná

b{\displaystyle b}

v štvorcovom binóme.

  • Napríklad v trojčlenke
    36x248x+16{\displaystyle 36x^{2}-48x+16}

    , posledný člen je

    16{\displaystyle 16}

    . Druhá odmocnina z

    16{\displaystyle 16}

    je

    4{\displaystyle 4}

    . Takže posledný člen tohto trojčlenu je dokonalý štvorec. Aj v binóme so štvorcom,

    b=4{\displaystyle b=4}


Určte, či sa stredný člen riadi vzorcom

2ab{\displaystyle 2ab}

alebo

2ab{\displaystyle -2ab}

. To znamená, že ak vynásobíte odmocniny prvého a posledného člena trojčlenu a potom tento súčin vynásobíte číslom 2 alebo -2, výsledok sa bude rovnať prostrednému členu trojčlenu, ak je trojčlen dokonalý štvorec.[7]

  • Napríklad, ak
    a=6x{\displaystyle a=6x}

    a

    b=4{\displaystyle b=4}

    , potom by mal stredný člen trojčlenky zodpovedať vzorcu

    (2)(6x)(4){\displaystyle (-2)(6x)(4)}

    . Keďže

    (2)(6x)(4)=48x{\displaystyle (-2)(6x)(4)=-48x}

    stredný člen trojčlenu sa riadi vzorcom pre dokonalý štvorec. Keďže prvý a posledný člen trinómu tiež postupovali podľa vzorca, viete, že váš trinom je dokonalý štvorec.

Metóda 3 z 3:Riešenie vzorových úloh


Rozbaľte nasledujúci výraz. Použite identitu dokonalého štvorca namiesto metódy FOIL:

(3y+7)2{\displaystyle (3y+7)^{2}}

.

  • Nastavte vzorec
    (a+b)2=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

    a pripojte

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    hodnoty:

    (3y+7)2=(3y)2+2(3y)(7)+72{\displaystyle (3y+7)^{2}=(3y)^{2}+2(3y)(7)+7^{2}}

    .

  • Prvý člen odmocnite:
    9y2+2(3y)(7)+72{\displaystyle 9y^{2}+2(3y)(7)+7^{2}}

    .

  • Vynásobte prvý a posledný člen a súčin vynásobte číslom 2:
    9y2+42y+72{\displaystyle 9y^{2}+42y+7^{2}}

    .

  • Námestie posledného termínu:
    9y2+42y+49{\displaystyle 9y^{2}+42y+49}

    .


Zvážte nasledujúce trinásťročné obdobie. Určte, či ide o dokonalý štvorec:

9y2+36y+4{\displaystyle 9y^{2}+36y+4}

.

  • Pripomeňte si vzorec pre dokonalý štvorcový trinom:
    (a+b)2=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

    .

  • Určte, či prvý člen trojčlenu je dokonalý štvorec:
    9y2=3y{\displaystyle {\sqrt {9y^{2}}=3y}

    . Takže,

    a=3y{\displaystyle a=3y}

    .

  • Určte, či posledný člen trojčlenu je dokonalý štvorec:
    4=2{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}

    . Takže,

    b=2{\displaystyle b=2}

    .

  • Určite, či sa prostredný člen trojčlenu riadi vzorcom
    2ab{\displaystyle 2ab}

    :

    36y=(2)(3y)(2){\displaystyle 36y=(2)(3y)(2)}

    36y=12y{\displaystyle 36y=12y}

    Keďže to nie je pravda, stredný člen sa neriadi vzorcom, a preto trojčlen nie je dokonalý štvorec.


  • Vypočítajte nasledujúci trinom. Je faktorom štvorcového binómu:

    4x220x+25{\displaystyle 4x^{2}-20x+25}

    .

    • Keďže viete, že tento člen sa delí na štvorcový binomický člen (
      (ab)2{\displaystyle (a-b)^{2}}

      ), viete, že sa riadi vzorcom dokonalého štvorca.

    • Nájdite
      a{\displaystyle a}

      člen binómu, ktorý sa rovná druhej odmocnine prvého člena trinómu:

      4x2=2x{\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x}

      .

    • Nájdite
      b{\displaystyle b}

      binómu, ktorý sa rovná druhej odmocnine z posledného člena trinómu:

      25=5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5}

      .

    • Napíšte binomický štvorček. Keďže druhý člen trinómu je záporný, viete, že aj druhý člen binómu bude záporný:
      4x220x+25=(2x5)2{\displaystyle 4x^{2}-20x+25=(2x-5)^{2}}
  • Odkazy