3 spôsoby, ako robiť matematické dôkazy

Matematické dôkazy môžu byť náročné, ale dajú sa zdolať so správnymi základnými znalosťami matematiky aj formátu dôkazu. Bohužiaľ, neexistuje žiadny rýchly a jednoduchý spôsob, ako sa naučiť zostavovať dôkazy. Musíte mať základné základy v danej téme, aby ste mohli prísť so správnymi tvrdeniami a definíciami a logicky vymyslieť svoj dôkaz. Čítaním príkladov dôkazov a samostatným precvičovaním si budete môcť vypestovať zručnosť písania matematických dôkazov.

Metóda 1 z 3:Pochopenie problému


Identifikujte otázku. Najprv musíte presne určiť, čo sa snažíte dokázať. Táto otázka bude zároveň slúžiť ako záverečné tvrdenie v dôkaze. V tomto kroku chcete tiež definovať predpoklady, za ktorých budete pracovať. Identifikácia otázky a potrebných predpokladov vám poskytne východiskový bod pre pochopenie problému a vypracovanie dôkazu.


Kreslenie diagramov. Keď sa snažíte pochopiť vnútorné fungovanie matematického problému, niekedy je najjednoduchšie nakresliť si schému toho, čo sa deje. Diagramy sú dôležité najmä pri geometrických dôkazoch, pretože pomáhajú vizualizovať, čo sa vlastne snažíte dokázať.

  • Použite informácie uvedené v probléme a nakreslite nákres dôkazu. Označte známe a neznáme.
  • Počas práce na dôkaze zakresľujte potrebné informácie, ktoré poskytujú dôkazy pre dôkaz.


Naštudujte si dôkazy súvisiacich tvrdení. Dôkazy je ťažké naučiť sa písať, ale jedným z výborných spôsobov, ako sa naučiť dôkazy, je študovať súvisiace tvrdenia a to, ako boli tieto dokázané.

  • Uvedomiť si, že dôkaz je len dobrý argument, ktorého každý krok je zdôvodnený. Na internete alebo v učebnici nájdete množstvo dôkazov, ktoré si môžete preštudovať.[1]


Položte otázky. Je úplne v poriadku zaseknúť sa na dôkaze. Ak máte otázky, spýtajte sa učiteľa alebo spolužiakov. Môžu mať podobné otázky a môžete spoločne pracovať na problémoch. Je lepšie sa opýtať a získať vysvetlenie, ako sa slepo potácať v dôkaze.

  • Stretávajte sa s učiteľom mimo vyučovania, aby ste získali dodatočné inštrukcie.

Metóda 2 z 3:Formátovanie dôkazu


Definujte matematické dôkazy. Matematický dôkaz je séria logických tvrdení podporených tvrdeniami a definíciami, ktoré dokazujú pravdivosť iného matematického tvrdenia.[2]
Dôkazy sú jediným spôsobom, ako zistiť, že tvrdenie je matematicky platné.

  • Schopnosť napísať matematický dôkaz svedčí o základnom pochopení samotného problému a všetkých pojmov použitých v probléme.
  • Dôkazy vás tiež nútia pozerať sa na matematiku novým a vzrušujúcim spôsobom. Už len tým, že sa snažíte niečo dokázať, získavate vedomosti a porozumenie, aj keď váš dôkaz nakoniec nefunguje.


Poznajte svoje publikum. Pred písaním dôkazu sa musíte zamyslieť nad publikom, pre ktoré píšete, a nad tým, aké informácie už vie. Ak píšete dôkaz pre publikáciu, napíšete ho inak ako dôkaz pre stredoškolskú hodinu matematiky.[3]

  • Poznanie publika vám umožní napísať dôkaz spôsobom, ktorému porozumie vzhľadom na množstvo základných vedomostí, ktoré má.


Určite typ dôkazu, ktorý píšete. Existuje niekoľko rôznych typov dôkazov a ten, ktorý si vyberiete, závisí od publika a zadania. Ak si nie ste istí, ktorú verziu použiť, požiadajte svojho učiteľa o radu. Na strednej škole sa od vás môže očakávať, že svoj dôkaz napíšete v určitom formáte, napríklad vo formálnom dvojstĺpcovom dôkaze.[4]

  • Dôkaz v dvoch stĺpcoch je usporiadanie, pri ktorom sú dané skutočnosti a tvrdenia v jednom stĺpci a podporné dôkazy vedľa nich v druhom stĺpci. Veľmi často sa používajú v geometrii.
  • Neformálny dôkaz odseku používa gramaticky správne výroky a menej symbolov. Na vyšších stupňoch by ste mali vždy používať neformálny dôkaz.


Napíšte dvojstĺpcový dôkaz ako osnovu. Dôkaz v dvoch stĺpcoch je jednoduchý spôsob, ako si usporiadať myšlienky a premyslieť problém. Nakreslite čiaru do stredu strany a na ľavú stranu napíšte všetky danosti a tvrdenia. Napíšte príslušné definície/tvrdenia na pravú stranu vedľa daností, ktoré podporujú.

  • Napríklad: [5]
  • Uhol A a uhol B tvoria lineárnu dvojicu. Dané.
  • Uhol ABC je priamy. Definícia priameho uhla.
  • Uhol ABC meria 180°. Definícia priamky.
  • Uhol A + Uhol B = Uhol ABC. Postulát o sčítaní uhlov.
  • Uhol A + Uhol B = 180°. Náhrada.
  • Uhol A doplnkový k uhlu B. Definícia doplnkových uhlov.
  • Q.E.D.


Preveďte dvojstĺpcový dôkaz na neformálny písomný dôkaz. Použite dvojstĺpcový dôkaz ako základ, napíšte neformálnu formu odseku vášho dôkazu bez prílišného množstva symbolov a skratiek.

  • Napríklad: Nech uhol A a uhol B sú lineárne dvojice. Podľa hypotézy sú uhol A a uhol B doplnkové. Uhol A a uhol B tvoria priamku, pretože sú to lineárne dvojice. Priamka je definovaná ako priamka s uhlom 180°. Vzhľadom na postulát o sčítaní uhlov platí, že uhly A a B sa sčítajú a tvoria priamku ABC. Substitúciou sa uhly A a B sčítajú do 180°, preto sú to doplnkové uhly. Q.E.D.

Metóda 3 z 3:Písanie dôkazu


Naučte sa slovnú zásobu dôkazu. Existujú určité výroky a frázy, s ktorými sa budete v matematických dôkazoch stretávať stále dokola. Toto sú výrazy, ktoré musíte poznať a vedieť ich správne používať pri písaní vlastného dôkazu.[6]

  • Tvrdenia „Ak A, potom B“ znamenajú, že musíte dokázať, že vždy, keď je pravda A, musí byť pravda aj B.[7]
  • „A ak a len ak B“ znamená, že musíte dokázať, že A a B sú logicky ekvivalentné. Dokážte „ak A, tak B“ aj „ak B, tak A“.
  • „A len ak B“ je ekvivalentné k „ak B, tak A“. (To, čo je uvedené vyššie na obrázku, je nesprávne.)
  • Pri zostavovaní dôkazu sa vyhnite používaniu slova „ja“, ale namiesto toho používajte slovo „my“.


Napíšte všetky danosti. Pri zostavovaní dôkazu je prvým krokom identifikácia a zapísanie všetkých daností. Toto je najlepšie miesto, kde začať, pretože vám pomôže premyslieť si, čo je známe a aké informácie budete potrebovať na dokončenie dôkazu. Prečítajte si problém a zapíšte si každý daný.

  • Napríklad: Dokážte, že dva uhly (uhol A a uhol B) tvoriace lineárnu dvojicu sú doplnkové.[8]
  • Givens: uhol A a uhol B sú lineárna dvojica
  • Dokážte: uhol A je doplnkový k uhlu B


Definujte všetky premenné. Okrem zápisu daností je užitočné definovať všetky premenné. Definície napíšte na začiatok dôkazu, aby ste predišli zmätku u čitateľa. Ak nie sú definované premenné, čitateľ sa pri snahe pochopiť váš dôkaz môže ľahko stratiť.

  • V dôkaze nepoužívajte žiadne premenné, ktoré neboli definované.
  • Napríklad: Premennými sú miera uhla A a miera uhla B.


Postupujte pri dôkaze smerom dozadu. Často je najjednoduchšie premýšľať o probléme odzadu. Začnite záverom, teda tým, čo sa snažíte dokázať, a premýšľajte o krokoch, ktoré vás môžu dostať na začiatok.[9]

  • Manipulujte s krokmi zo začiatku a z konca, aby ste zistili, či sa môžu navzájom podobať. Používajte dané, definície, ktoré ste sa naučili, a dôkazy, ktoré sú podobné tomu, na ktorom pracujete.
  • Kladiete si otázky v priebehu práce. „Prečo je to tak?“ a „Existuje nejaký spôsob, ako to môže byť nepravdivé?“ sú dobré otázky pre každé tvrdenie alebo tvrdenie.
  • Nezabudnite prepísať kroky v správnom poradí pre konečný dôkaz.
  • Napríklad: Ak sa uhly A a B dopĺňajú, ich súčet musí byť 180°. Dva uhly sa spájajú a tvoria priamku ABC. Vieš, že tvoria čiaru, pretože definícia lineárnych dvojíc. Keďže priamka má 180°, môžete pomocou substitúcie dokázať, že uhol A a uhol B sa sčítajú do 180°.


Zoraďte svoje kroky logicky. Začnite dôkaz na začiatku a dopracujte sa k záveru. Hoci je užitočné uvažovať o dôkaze tak, že začnete záverom a budete postupovať smerom dozadu, keď dôkaz skutočne napíšete, záver uveďte na konci. Musí prechádzať od jedného tvrdenia k druhému, pričom každé tvrdenie musí byť podložené, aby nebol dôvod pochybovať o platnosti vášho dôkazu.

  • Začnite uvedením predpokladov, s ktorými pracujete.
  • Uvádzajte jednoduché a zrejmé kroky, aby čitateľ nemusel premýšľať, ako ste sa dostali od jedného kroku k druhému.
  • Písanie viacerých návrhov vašich korektúr nie je ničím nezvyčajným. Pokračujte v preskupovaní, kým nebudú všetky kroky v najlogickejšom poradí.
  • Napríklad: Začnite od začiatku.
    • Uhol A a uhol B tvoria lineárnu dvojicu.
    • Uhol ABC je rovný.
    • Uhol ABC meria 180°.
    • Uhol A + uhol B = uhol ABC.
    • Uhol A + Uhol B = Uhol 180°.
    • Uhol A je doplnkový k uhlu B.


V písomnom dôkaze sa vyhnite používaniu šípok a skratiek. Keď načrtávate plán svojho dôkazu, môžete používať skratky a symboly, ale pri písaní konečného dôkazu môžu symboly, ako sú šípky, čitateľa zmiasť. Namiesto toho používajte slová ako „potom“ alebo „preto“.

  • Medzi výnimky z používania skratiek patrí napr.g. (napríklad) a i.e. (teda), ale uistite sa, že ich používate správne.[10]


Všetky tvrdenia podporte tvrdením, zákonom alebo definíciou. Dôkaz je taký dobrý, aký dobrý je použitý dôkaz. Nemôžete vysloviť tvrdenie bez toho, aby ste ho nepodporili definíciou. Odkazujte na iné dôkazy, ktoré sú podobné tomu, na ktorom pracujete, napríklad na dôkazy.

  • Pokúste sa aplikovať svoj dôkaz na prípad, keď by mal fail, a zistite, či to tak skutočne je. Ak sa to nepodarí, prepracujte dôkaz tak, aby sa to podarilo.
  • Mnohé geometrické dôkazy sa píšu ako dvojstĺpcový dôkaz s tvrdením a dôkazom. Formálny matematický dôkaz na zverejnenie napíšete ako odsek so správnou gramatikou.

  • Ukončite záverom alebo Q.E.D. Posledným tvrdením dôkazu by mal byť koncept, ktorý ste sa snažili dokázať. Po tomto výroku ukončite dôkaz záverečným záverečným symbolom, napríklad Q.E.D. alebo vyplnený štvorček znamená, že dôkaz je úplne hotový.

    • Q.E.D. (quod erat demonstrandum, čo v latinčine znamená „čo sa malo ukázať“).
    • Ak si nie ste istí, či je váš dôkaz správny, stačí napísať niekoľko viet, v ktorých uvediete, aký bol váš záver a prečo je dôležitý.
  • Odkazy