3 spôsoby, ako vydeliť trojčlenku

Trojčlenka je algebraický výraz zložený z troch členov. S najväčšou pravdepodobnosťou sa začneš učiť násobiť kvadratický trojčlenky, teda trojčlenky zapísané v tvare ax2 + bx + c. Existuje niekoľko trikov, ktoré sa treba naučiť a ktoré sa vzťahujú na rôzne typy kvadratických trojčleniek, ale ich používanie sa vám bude s praxou lepšie a rýchlejšie dariť. Polynómy vyšších stupňov, s členmi ako x3 alebo x4, nie sú vždy riešiteľné rovnakými metódami, ale často môžete použiť jednoduchý faktoring alebo substitúciu, aby ste ich zmenili na úlohy, ktoré sa dajú riešiť ako akýkoľvek kvadratický vzorec.

Metóda 1 z 3:Faktorovanie x2 + bx + c


Naučte sa násobenie metódou FOIL. Možno ste sa už naučili metódu FOIL alebo „First, Outside, Inside, Last“ na násobenie výrazov ako (x+2)(x+4). Je užitočné vedieť, ako táto stratégia funguje, skôr než sa dostaneme k faktorizácii:

  • Vynásobte Prvý členov: (x+2)(x+4) = x2 + __
  • Vynásobte Mimo členov: (x+2)(x+4) = x2+4x + __
  • Vynásobte Vnútri členov: (x+2)(x+4) = x2+4x+2x + __
  • Vynásobte Posledný členov: (x+2)(x+4) = x2+4x+2x+8
  • Zjednodušte: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8


Pochopte faktorizáciu. Keď metódou FOIL vynásobíte dva binómy, dostanete trinóm (výraz s tromi členmi) v tvare ax2+bx+c, kde a, b a c sú obyčajné čísla. Ak začnete s rovnicou v rovnakom tvare, môžete ju vynásobiť späť na dva dvojmocniny.

  • Ak rovnica nie je zapísaná v tomto poradí, premiestnite výrazy tak, aby boli. Napríklad prepíšte 3x – 10 + x2 ako x2 + 3x – 10.
  • Keďže najvyšší exponent je 2 (x2, tento typ výrazu je „kvadratický.“


Napíšte priestor pre odpoveď v tvare FOIL. Zatiaľ stačí napísať (__ __)(__ __) na mieste, kde napíšete odpoveď. Doplníme to za pochodu.

  • Medzi prázdne členy zatiaľ nepíšte + alebo -, pretože nevieme, ktorý to bude.


Vyplňte prvé členy. Pri jednoduchých úlohách, kde prvým členom vášho trinómu je práve x2, budú členy na prvej pozícii vždy x a x. Toto sú činitele člena x2, pretože x krát x = x2.

  • Náš príklad x2 + 3x – 10 začína práve x2, takže môžeme napísať:
  • (x __)(x __)
  • V ďalšej časti sa budeme zaoberať zložitejšími úlohami, vrátane trojčleniek, ktoré začínajú členom ako 6×2 alebo -x2. Zatiaľ postupujte podľa vzorovej úlohy.


Použite faktoring na odhadnutie posledných členov. Ak sa vrátite späť a znovu si prečítate krok metódy FOIL, zistíte, že vynásobením Posledných členov získate posledný člen polynómu (ten bez x). Aby sme teda mohli vynásobiť, musíme nájsť dve čísla, ktoré vynásobte na vytvorenie posledného člena.

  • V našom príklade x2 + 3x – 10 je posledný člen -10.
  • Aké sú činitele čísla -10? Ktoré dve čísla vynásobené spolu sa rovnajú -10?
  • Existuje niekoľko možností: -1 krát 10, 1 krát -10, -2 krát 5 alebo 2 krát -5. Tieto dvojice si niekam zapíšte, aby ste si ich zapamätali.
  • Zatiaľ nemeňte našu odpoveď. Stále to vyzerá takto: (x __)(x __).


Vyskúšajte, ktoré možnosti fungujú pri násobení zvonka a zvnútra. Posledné členy sme zúžili na niekoľko možností. Pomocou pokusu a omylu otestujte každú možnosť, vynásobte členy Outside a Inside a porovnajte výsledok s naším trinomiom. Napríklad:

  • Náš pôvodný problém má člen „x“ 3x, takže to je to, čo chceme v tomto teste skončiť.
  • Test -1 a 10: (x-1)(x+10). Vonkajší + Vnútorný = 10x – x = 9x. Nie.
  • Test 1 a -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. To nie je správne. V skutočnosti, keď otestujete -1 a 10, viete, že 1 a -10 bude práve opačná odpoveď ako vyššie: -9x namiesto 9x.
  • Test -2 a 5: (x-2)(x+5). 5x – 2x = 3x. To zodpovedá pôvodnému polynómu, takže je to správna odpoveď: (x-2)(x+5).
  • V jednoduchých prípadoch, ako je tento, keď nemáte pred členom x2 konštantu, môžete použiť skratku: jednoducho sčítajte dva činitele a za ne vložte „x“ (-2+5 → 3x). Tento postup však nebude fungovať pri zložitejších úlohách, preto je dobré si zapamätať vyššie popísaný „dlhý spôsob“.

Metóda 2 z 3:Faktorovanie zložitejších trinomiálov


Používajte jednoduché delenie, aby ste si uľahčili riešenie zložitejších problémov. Povedzme, že potrebujete vynásobiť 3×2 + 9x – 30. Hľadajte niečo, čo je násobiteľom každého z troch členov („najväčší spoločný násobiteľ“ alebo GCF).[1]
V tomto prípade je to 3:

  • 3×2 = (3)(x2)
  • 9x = (3)(3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • Preto 3×2 + 9x – 30 = (3)(x2+3x-10). Nový trojčlen môžeme vynásobiť pomocou krokov uvedených v predchádzajúcej časti. Naša konečná odpoveď bude (3)(x-2)(x+5).


Hľadajte zložitejšie činitele. Niekedy môže faktor zahŕňať premenné alebo môže byť potrebné faktor niekoľkokrát zopakovať, aby ste našli najjednoduchší možný výraz. Tu je niekoľko príkladov:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2y)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11×3 – 26×2 = (x2)(x2 + 11x – 26)
  • -x2 + 6x – 9 = (-1)(x2 – 6x + 9)
  • Nezabudnite nový trinomický člen ďalej vynásobiť pomocou krokov uvedených v metóde 1. Skontrolujte si svoju prácu a nájdite podobné príklady úloh v príkladoch úloh v dolnej časti tejto stránky.


Riešenie úloh s číslom pred x2. Niektoré kvadratické trojčlenky sa nedajú zjednodušiť na najjednoduchší typ úlohy. Naučte sa riešiť úlohy typu 3×2 + 10x + 8 a potom si to precvičte sami na príkladoch úloh v dolnej časti stránky:

  • Nastavte našu odpoveď: (__ __)(__ __)
  • Naše „prvé“ členy budú mať každý x a vynásobia sa spolu, aby vytvorili 3×2. Tu je len jedna možná možnosť: (3x __)(x __).
  • Vypíšte činitele čísla 8. Naše možnosti sú 1 krát 8 alebo 2 krát 4.
  • Otestujte ich pomocou Vonkajších a Vnútorných členov. Všimnite si, že na poradí činiteľov záleží, pretože Vonkajší člen sa násobí 3x namiesto x. Vyskúšajte všetky možnosti, kým nedostanete výsledok Outside+Inside rovný 10x (z pôvodného problému):
  • (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x nie
  • (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x nie
  • (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x žiadne
  • (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x áno Toto je správny činiteľ.


Použite substitúciu pre trojčlenky vyšších stupňov. Matematická učebnica vás môže prekvapiť rovnicou s vysokým exponentom, napríklad x4, aj po tom, čo ste použili jednoduchý faktoring na uľahčenie úlohy. Skúste nahradiť novú premennú, ktorá sa zmení na problém, ktorý viete vyriešiť. Napríklad:

  • x5+13×3+36x
  • =(x)(x4+13×2+36)
  • Vymyslime si novú premennú. Povieme y = x2 a zapojíme ho:
  • (x)(y2+13y+36)
  • =(x)(y+9)(y+4). Teraz sa vráťte k používaniu pôvodnej premennej:
  • =(x)(x2+9)(x2+4)
  • =(x)(x±3)(x±2)

Metóda 3 z 3:Faktorovanie špeciálnych prípadov


Kontrola prvočísiel. Skontrolujte, či konštanta v prvom alebo treťom člene trinómu je prvočíslo. Prvočíslo sa dá rovnomerne deliť len samým sebou a 1, takže existuje len jedna možná dvojica dvojmocníkov.

  • Napríklad v x2 + 6x + 5 je „5 je prvočíslo, takže binóm musí mať tvar (__ 5)(__ 1).
  • V úlohe 3×2+10x+8, 3 je prvočíslo, takže dvojčlen musí mať tvar (3x __)(x __).
  • Pre úlohu 3×2+4x+1 je jediným možným riešením (3x+1)(x+1). (Na kontrolu práce by ste si to mali ešte vynásobiť, pretože niektoré výrazy sa vôbec nedajú vynásobiť – napríklad 3×2+100x+1 nemá žiadne činitele.)


Skontrolujte, či je trojčlenka dokonalý štvorec. Dokonalý štvorcový trojčlen sa dá rozložiť na dva rovnaké dvojčleny, pričom činiteľ sa zvyčajne píše (x+1)2 namiesto (x+1)(x+1). Tu je niekoľko bežných, ktoré sa zvyčajne objavujú v problémoch:

  • x2+2x+1=(x+1)2 a x2-2x+1=(x-1)2
  • x2+4x+4=(x+2)2 a x2-4x+4=(x-2)2
  • x2+6x+9=(x+3)2 a x2-6x+9=(x-3)2
  • Dokonalý štvorcový trinom v tvare ax2 + bx + c má vždy a a c členov, ktoré sú kladnými dokonalými štvorcami (napríklad 1, 4, 9, 16 alebo 25), a b člen (kladný alebo záporný), ktorý sa rovná 2(√a * √c).[2]

  • Skontrolujte, či neexistuje žiadne riešenie. Nie všetky trojčlenky sa dajú vydeliť. Ak ste sa zasekli na kvadratickom trojčlene (ax2+bx+c), na nájdenie odpovede použite kvadratický vzorec. Ak jedinou odpoveďou je odmocnina zo záporného čísla, neexistujú žiadne skutočné riešenia, takže neexistujú žiadne činitele.

    • Pre nekvadratické trojčlenky použite Eisensteinovo kritérium, ktoré je opísané v časti Tipy.
  • Odkazy