3 spôsoby, ako zistiť dĺžku hypotezy

Všetky pravouhlé trojuholníky majú jeden pravý (90-stupňový) uhol a prepona je strana, ktorá je protiľahlá pravému uhlu alebo najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka.[1]
Hypotenzia je najdlhšia strana trojuholníka a je tiež veľmi jednoduché ju nájsť pomocou niekoľkých rôznych metód. V tomto článku sa dozviete, ako nájsť dĺžku hypotezy pomocou Pytagorovej vety, keď poznáte dĺžky ostatných dvoch strán trojuholníka. Potom vás naučí rozpoznať hypotenziu niektorých špeciálnych pravouhlých trojuholníkov, ktoré sa často objavujú v testoch. Nakoniec vás naučí nájsť dĺžku hypotezy pomocou sínusového zákona, keď poznáte iba dĺžku jednej strany a mieru jedného ďalšieho uhla.

Metóda 1 z 3:Použitie Pytagorovej vety


Naučte sa Pytagorovu vetu. Pytagorova veta opisuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka.[2]
V nej sa uvádza, že pre ľubovoľný pravouhlý trojuholník so stranami dĺžky a a b a s preponou dĺžky c, a2 + b2 = c2.[3]


Uistite sa, že váš trojuholník je pravouhlý trojuholník. Pytagorova veta funguje len pre pravouhlé trojuholníky a podľa definície len pravouhlé trojuholníky môžu mať preponou. Ak váš trojuholník obsahuje jeden uhol, ktorý má presne 90 stupňov, je to pravouhlý trojuholník a môžete pokračovať.

  • Pravé uhly sa v učebniciach a v testoch často zapisujú malým štvorcom v rohu uhla. Táto špeciálna značka znamená „90 stupňov.“


Priraďte stranám trojuholníka premenné a, b a c. Premenná „c“ bude vždy priradená hypotenuse alebo najdlhšej strane. Vyberte si jednu z ďalších strán, ktorá bude a, a druhú stranu nazvite b (nezáleží na tom, ktorý je ktorý, matematika vyjde rovnako). Potom do vzorca opíšte dĺžky a a b podľa nasledujúceho príkladu:

  • Ak má váš trojuholník strany 3 a 4 a vy ste týmto stranám priradili písmená tak, že a = 3 a b = 4, potom by ste mali svoju rovnicu zapísať takto: 32 + 42 = c2.


Nájdite štvorce a a b. Ak chcete nájsť druhú odmocninu čísla, jednoducho číslo vynásobte samým sebou, takže a2 = a x a. Nájdite štvorce a aj b a zapíšte ich do vzorca.

  • Ak a = 3, a2 = 3 x 3 alebo 9. Ak b = 4, potom b2 = 4 x 4 alebo 16.
  • Keď tieto hodnoty dosadíte do rovnice, mala by teraz vyzerať takto: 9 + 16 = c2.


Súčet hodnôt a2 a b2. Zapíšte ju do rovnice, čím získate hodnotu c2. Zostáva už len jeden krok a hypotenziu budete mať vyriešenú!

  • V našom príklade, 9 + 16 = 25, takže by ste mali zapísať 25 = c2.


Nájdite druhú odmocninu z c2. Použite funkciu odmocniny na kalkulačke (alebo svoju pamäťovú tabuľku násobenia) a nájdite druhú odmocninu z c2. Odpoveďou je dĺžka vašej hypotezy!

  • V našom príklade, c2 = 25. Odmocnina z čísla 25 je 5 (5 x 5 = 25, Takže Sqrt(25) = 5). To znamená c = 5, dĺžka našej hypotenzy!

Metóda 2 z 3:Hľadanie hypotextu špeciálnych pravouhlých trojuholníkov


Naučte sa rozpoznať Pytagorov trojboký trojuholník. Dĺžky strán Pytagorovej trojice sú celé čísla, ktoré zodpovedajú Pytagorovej vete. Tieto špeciálne trojuholníky sa často objavujú v učebniciach geometrie a v štandardizovaných testoch, ako sú SAT a GRE. Ak si zapamätáte najmä prvé 2 Pytagorove trojuholníky, môžete si pri týchto testoch ušetriť veľa času, pretože hypotenziu jedného z týchto trojuholníkov môžete okamžite zistiť len pohľadom na dĺžky strán! [4]

  • Prvá Pytagorova trojica je 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Keď vidíte pravouhlý trojuholník s ramenami dĺžky 3 a 4, môžete si byť okamžite istí, že prepona bude 5 bez toho, aby ste museli robiť nejaké výpočty.
  • Pomer Pytagorovho trojuholníka platí aj vtedy, keď sú strany vynásobené iným číslom. Napríklad pravouhlý trojuholník s ramenami dĺžky 6 a 8 bude mať hypotenziu 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). To isté platí aj pre 9-12-15, a rovná 1.5-2-2.5. Vyskúšajte si matematiku a presvedčte sa sami!
  • Druhý Pytagorov trojčlen, ktorý sa bežne objavuje v testoch, je 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Dávajte si pozor aj na násobky ako napr 10-24-26 a 2.5-6-6.5.


Zapamätajte si pomery strán pravouhlého trojuholníka 45-45-90. Pravouhlý trojuholník 45-45-90 má uhly 45, 45 a 90 stupňov a nazýva sa aj rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Často sa vyskytuje v štandardizovaných testoch a je to veľmi jednoduchý trojuholník na riešenie. Pomer strán tohto trojuholníka je 1:1:Sqrt(2), čo znamená, že dĺžky ramien sú rovnaké a dĺžka hypotenzie je jednoducho dĺžka ramena vynásobená druhou odmocninou z dvoch.

  • Ak chcete vypočítať hypotenziu tohto trojuholníka na základe dĺžky jednej z ramien, jednoducho vynásobte dĺžku ramena koeficientom Sqrt(2).
  • Znalosť tohto pomeru sa vám bude hodiť najmä vtedy, keď vám v teste alebo v domácej úlohe zadajú dĺžky strán v premenných namiesto celých čísel.


Naučte sa pomery strán pravouhlého trojuholníka 30-60-90. Tento trojuholník má rozmery uhlov 30, 60 a 90 stupňov a vznikne, keď rovnostranný trojuholník rozrežete na polovicu. Strany pravouhlého trojuholníka 30-60-90 si vždy zachovávajú pomer 1:Sqrt(3):2, alebo x:Sqrt(3)x:2x. Ak máte danú dĺžku jednej odnože pravouhlého trojuholníka 30-60-90 a máte nájsť jeho prepona, je to veľmi jednoduché:[5]

  • Ak máte k dispozícii dĺžku najkratšej nohy (oproti 30-stupňovému uhlu), jednoducho vynásobte dĺžku nohy číslom 2 a zistíte dĺžku hypotenzy. Ak je napríklad dĺžka najkratšej strany 4, viete, že dĺžka hypotezy musí byť 8.
  • Ak je daná dĺžka dlhšej odvesny (oproti 60-stupňovému uhlu), vynásobte túto dĺžku 2/Sqrt(3) nájsť dĺžku hypotezy. Ak je napríklad dĺžka dlhšieho ramena 4, viete, že dĺžka prepony musí byť 4.62.

Metóda 3 z 3:Hľadanie hypotezy pomocou sínusového zákona


Pochopte, čo znamená „sínus“. Pojmy „sínus“, „kosínus“ a „tangens“ sa vzťahujú na rôzne pomery medzi uhlami a/alebo stranami pravouhlého trojuholníka. V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla je definovaný ako dĺžka strany oproti uhlu deleno hypoteza trojuholníka. Skratka pre sínus, ktorú nájdete v rovniciach a na kalkulačkách, je sin.[6]


Naučte sa vypočítať sínus. Aj základná vedecká kalkulačka má funkciu sínus. Vyhľadajte kľúč s označením sin. Ak chcete nájsť sínus uhla, zvyčajne stlačíte tlačidlo sin a potom zadajte veľkosť uhla v stupňoch. Na niektorých kalkulačkách však musíte najprv zadať mieru stupňa a potom sin kľúč. Budete musieť experimentovať so svojou kalkulačkou alebo sa pozrieť do príručky, aby ste zistili, ktorá to je.

  • Ak chcete nájsť sínus uhla 80 stupňov, musíte buď zadať sin 80 nasledovaný znakom rovnosti alebo klávesom enter, alebo 80 sin. (odpoveď je -0.9939.)
  • Do internetového vyhľadávača môžete tiež zadať „sínus kalkulačka“ a nájdete množstvo ľahko použiteľných kalkulačiek, ktoré odstránia akékoľvek dohady.[7]


Naučte sa zákon sínusov. Zákon sínusov je užitočný nástroj na riešenie trojuholníkov. Pomôže vám najmä nájsť preponou pravouhlého trojuholníka, ak poznáte dĺžku jednej strany a okrem pravého uhla aj mieru jedného ďalšieho uhla. Pre akýkoľvek trojuholník so stranami a, b, a c, a uhly A, B, a C, Zákon sínusov hovorí, že a / sin A = b / sin B = c / sin C.[8]

  • Sinusový zákon sa dá použiť na riešenie ľubovoľná trojuholníka, ale iba pravouhlý trojuholník bude mať preponou.


Stranám trojuholníka priraďte premenné a, b a c. Hypotenzia (najdlhšia strana) musí byť „c“. Pre zjednodušenie označte stranu so známou dĺžkou ako „a“ a druhú ako „b“. Potom priraďte premenné A, B a C k uhlom trojuholníka. Pravý uhol oproti hypoteze bude „C“. Uhol oproti strane „a“ je uhol „A“ a uhol oproti strane „b“ je uhol „B“.


Vypočítajte veľkosť tretieho uhla. Pretože ide o pravý uhol, už viete, že C = 90 stupňov, a poznáte aj mieru A alebo B. Keďže vnútorná odmocnina trojuholníka sa musí vždy rovnať 180 stupňom, môžete ľahko vypočítať odmocninu tretieho uhla pomocou nasledujúceho vzorca: 180 – (90 + A) = B. Rovnicu môžete tiež obrátiť tak, že 180 – (90 + B) = A.

  • Ak napríklad viete, že A = 40 stupňov, potom B = 180 – (90 + 40). Zjednodušte to na B = 180 – 130, a môžete rýchlo určiť, že B = 50 stupňov.


Preskúmajte svoj trojuholník. V tejto chvíli by ste mali poznať stupňové miery všetkých troch uhlov a dĺžku strany a. Teraz je čas dosadiť túto informáciu do rovnice sínusového zákona a určiť dĺžky ďalších dvoch strán.

  • Aby sme pokračovali v našom príklade, povedzme, že dĺžka strany a = 10. Uhol C = 90 stupňov, uhol A = 40 stupňov a uhol B = 50 stupňov.


Aplikujte na svoj trojuholník sínusový zákon. Na určenie dĺžky hypotezy c nám stačí dosadiť naše čísla a vyriešiť nasledujúcu rovnicu: dĺžka strany a / sin A = dĺžka strany c / sin C. Môže to stále vyzerať trochu zastrašujúco, ale sínus 90 stupňov je konštanta a vždy sa rovná 1! Našu rovnicu teda môžeme zjednodušiť na: a / sin A = c / 1, alebo len a / sin A = c.


  • Vydelíme dĺžku strany a pomocou sínusu uhla A na zistenie dĺžky hypotezy! Môžete to urobiť v dvoch samostatných krokoch, pričom najprv vypočítate sin A a zapísať ju a potom vydeliť a. Alebo môžete do kalkulačky zadať všetko naraz. Ak tak urobíte, nezabudnite uviesť zátvorky za znakom delenia. Napríklad zadajte buď 10 / (sin 40) alebo 10 / (40 sin), v závislosti od vašej kalkulačky.

    • Na našom príklade zistíme, že sin 40 = 0.64278761. Ak chceme zistiť hodnotu c, jednoducho vydelíme dĺžku a týmto číslom a dozvieme sa, že 10 / 0.64278761 = 15.6, dĺžka našej hypotezy!
  • Odkazy