3 spôsoby, ako zistiť obvod lichobežníka

Trapéz je definovaný ako štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami. Tak ako pri každom mnohouholníku, aj pri lichobežníku treba na zistenie jeho obvodu sčítať všetky štyri strany. Často vám však budú chýbať dĺžky strán, ale budete mať iné informácie, napríklad výšku lichobežníka alebo meranie uhlov. Na základe týchto informácií môžete pomocou pravidiel geometrie a trigonometrie nájsť neznáme dĺžky strán.

Metóda 1 z 3:Ak poznáte dĺžku oboch strán a základne


Stanovte vzorec pre obvod lichobežníka. Vzorec je

P=T+B+L+R{\displaystyle P=T+B+L+R}

, kde

P{\displaystyle P}

sa rovná obvodu lichobežníka a premenné

T{\displaystyle T}

sa rovná dĺžke hornej základne lichobežníka,

B{\displaystyle B}

sa rovná dĺžke spodnej základne,

L{\displaystyle L}

sa rovná dĺžke ľavej strany a

R{\displaystyle R}

sa rovná dĺžke pravej strany.[1]


Dĺžky strán dosaďte do vzorca. Ak nepoznáte dĺžky všetkých štyroch strán lichobežníka, nemôžete použiť tento vzorec.

  • Ak máte napríklad lichobežník s hornou základňou 2 cm, dolnou základňou 3 cm a dvoma stranami dlhými 1 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    P=2+3+1+1{\displaystyle P=2+3+1+1}


Súčet dĺžok strán. Takto získate obvod vášho lichobežníka.

  • Napríklad:
    P=2+3+1+1{\displaystyle P=2+3+1+1}

    P=7{\displaystyle P=7}

    Obvod lichobežníka je teda 7 cm.

Metóda 2 z 3:Ak poznáte výšku, dĺžky oboch strán a dĺžku hornej základne


Rozdeľte lichobežník na obdĺžnik a dva pravouhlé trojuholníky. Na tento účel nakreslite výšku z oboch horných vrcholov.

  • Ak nemôžete vytvoriť dva pravouhlé trojuholníky, pretože jedna strana lichobežníka je kolmá na základňu, stačí si všimnúť, že táto strana bude mať rovnaký rozmer ako výška, a rozdeliť lichobežník na jeden obdĺžnik a jeden pravouhlý trojuholník.


Označte každý riadok výšky. Keďže ide o protiľahlé strany obdĺžnika, budú mať rovnakú dĺžku.[2]

  • Napríklad, ak máte lichobežník s výškou 6 cm, mali by ste nakresliť čiaru z každého horného vrcholu siahajúcu až k spodnej základni. Označte každý riadok 6 cm.


Označte dĺžku strednej časti spodnej podstavy. (Toto je spodná strana obdĺžnika.) Dĺžka sa bude rovnať dĺžke hornej základne (hornej strany obdĺžnika), pretože protiľahlé strany obdĺžnika sú rovnako dlhé.[3]
Ak nepoznáte dĺžku hornej základne, nemôžete použiť túto metódu.

  • Ak je napríklad horná podstava lichobežníka 6 cm, potom stredná časť spodnej podstavy je tiež 6 cm.


Stanovte vzorec Pytagorovej vety pre prvý pravouhlý trojuholník. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

c{\displaystyle c}

je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka (strana oproti pravému uhlu),

a{\displaystyle a}

je výška pravouhlého trojuholníka a

b{\displaystyle b}

je dĺžka základne trojuholníka.[4]


Dosadiť známe hodnoty z prvého trojuholníka do vzorca. Uistite sa, že ste zapísali dĺžku strany lichobežníka pre

c{\displaystyle c}

. Doplňte výšku lichobežníka pre

a{\displaystyle a}

.

  • Ak napríklad viete, že výška lichobežníka je 6 cm a dĺžka strany (hypotenzy) je 9 cm, vaša rovnica bude vyzerať takto:
    62+b2=92{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=9^{2}}


Známe hodnoty dosaďte do rovnice na druhú stranu. Potom odčítajte, aby ste izolovali

b{\displaystyle b}

premenná.

  • Ak je napríklad rovnica
    62+b2=92{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=9^{2}}

    , odmocníte 6 a 9 a potom od štvorca 9 odpočítate štvorec 6:

    62+b2=92{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=9^{2}}

    36+b2=81{\displaystyle 36+b^{2}=81}

    b2=45{\displaystyle b^{2}=45}


Pomocou odmocniny zistíte hodnotu

b{\displaystyle b}

. (Úplný návod na zjednodušenie odmocnín nájdete v článku Zjednodušenie odmocniny.) Výsledok vám dá hodnotu chýbajúcej základne vášho prvého pravouhlého trojuholníka. Označte túto dĺžku na základni vášho trojuholníka.

  • Napríklad:
    b2=45{\displaystyle b^{2}=45}

    b=45{\displaystyle b={\sqrt {45}}}

    b=45{\displaystyle b={\sqrt {45}}}

    b=35{\displaystyle b=3{\sqrt {5}}}

    Takže by ste mali označiť

    35{\displaystyle 3{\sqrt {5}}}

    na základni prvého trojuholníka.


Nájdite chýbajúcu dĺžku druhého pravouhlého trojuholníka. Ak to chcete urobiť, nastavte vzorec Pytagorovej vety pre druhý trojuholník a postupujte tak, aby ste zistili dĺžku chýbajúcej strany. Ak pracujete s rovnoramenným lichobežníkom, čo je lichobežník, ktorého dve nerovnobežné strany sú rovnako dlhé,[5]
Dva pravouhlé trojuholníky sú zhodné, takže môžete jednoducho preniesť hodnotu z prvého trojuholníka do druhého trojuholníka.

  • Ak je napríklad druhá strana lichobežníka 7 cm, vypočítame:
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    62+b2=72{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=7^{2}}

    36+b2=49{\displaystyle 36+b^{2}=49}

    b2=13{\displaystyle b^{2}=13}

    b=13{\displaystyle b={\sqrt {13}}}

    Takže by ste mali označiť

    13{\displaystyle {\sqrt {13}}}

    na základni vášho druhého trojuholníka.


Súčet všetkých dĺžok strán lichobežníka. Obvod ľubovoľného mnohouholníka je súčet všetkých strán:

P=T+B+L+R{\displaystyle P=T+B+L+R}

. Pre spodnú základňu pripočítate spodnú stranu obdĺžnika plus základne dvoch trojuholníkov. Vo vašej odpovedi budú pravdepodobne odmocniny. Kompletný návod na sčítanie odmocnín nájdete v článku Sčítanie odmocnín. Na prevod odmocnín na desatinné čísla môžete použiť aj kalkulačku.

  • Napríklad,
    6+(6+35+13)+9+7=28+35+13{\displaystyle 6+(6+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}})+9+7=28+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}}}

    Ak odmocniny prevedieme na desatinné čísla, dostaneme

    6+(6+6.708+3.606)+9+7=38.314{\displaystyle 6+(6+6.708+3.606)+9+7=38.314}

    Takže približný obvod vášho lichobežníka je 38.314 cm.

Metóda 3 z 3:Ak poznáte výšku, dĺžku hornej základne a spodné vnútorné uhly


Rozdeľte lichobežník na obdĺžnik a dva pravouhlé trojuholníky. Na tento účel nakreslite výšku z oboch horných vrcholov.

  • Ak nemôžete vytvoriť dva pravouhlé trojuholníky, pretože jedna strana lichobežníka je kolmá na základňu, stačí si všimnúť, že táto strana bude mať rovnaký rozmer ako výška, a rozdeliť lichobežník na jeden obdĺžnik a jeden pravouhlý trojuholník.


Označte každú výškovú čiaru. Keďže ide o protiľahlé strany obdĺžnika, budú mať rovnakú dĺžku.[6]

  • Napríklad, ak máte lichobežník s výškou 6 cm, mali by ste nakresliť čiaru z každého horného vrcholu siahajúcu až k spodnej základni. Označte každý riadok 6 cm.


Označte dĺžku strednej časti spodnej základne. (Toto je spodná strana obdĺžnika.) Táto dĺžka sa bude rovnať dĺžke hornej základne, pretože protiľahlé strany obdĺžnika sú rovnako dlhé.[7]

  • Napríklad, ak horná základňa lichobežníka má 6 cm, potom stredná časť spodnej základne má tiež 6 cm.


Stanovte pomer sínusov pre prvý pravouhlý trojuholník. Pomer je

sinθ=oprotiHypotéza{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}}

, kde

θ{\displaystyle \theta }

je miera vnútorného uhla,

opačný{\displaystyle {\text{opposite}}

je výška trojuholníka a

hypotenuse{\displaystyle {\text{hypotenuse}}}

je dĺžka hypotenzy.

  • Použitie tohto pomeru vám umožní zistiť dĺžku prepony trojuholníka, ktorá je zároveň dĺžkou prvej strany lichobežníka.
  • Hypotenzia je strana oproti 90-stupňovému uhlu pravouhlého trojuholníka.


Dosadíme známe hodnoty do pomeru sínusov. Uistite sa, že ste vo vzorci použili výšku trojuholníka ako dĺžku protiľahlej strany. Vyriešite H.

  • Ak je napríklad daný vnútorný uhol 35 stupňov a výška trojuholníka je 6 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    sin(35)=6H{\displaystyle \sin(35)={\frac {6}{H}}}


Nájdite sínus uhla. Urobte to pomocou tlačidla SIN na vedeckej kalkulačke. Zapojte túto hodnotu do pomeru.

  • Pomocou kalkulačky napríklad zistíte, že sínus uhla 35 stupňov je .5738 (zaokrúhlené). Takže váš vzorec teraz bude:
    .5738=6H{\displaystyle .5738={\frac {6}{H}}}


Riešte pre H. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu číslom H a potom každú stranu vydeľte sínusom uhla. Alebo môžete jednoducho vydeliť výšku trojuholníka sínusom uhla.

  • Napríklad:
    .5738=6H{\displaystyle .5738={\frac {6}{H}}}

    .5738H=6{\displaystyle .5738H=6}

    .5738H.5738=6.5738{\displaystyle {\frac {.5738H}{.5738}}={\frac {6}{.5738}}}

    H=10.4566{\displaystyle H=10.4566}

    Takže dĺžka hypotalisu a prvej chýbajúcej strany lichobežníka je približne 10.4566 cm.


Nájdite dĺžku prepony druhého pravouhlého trojuholníka. Nastavte pomer sínusov (

sinθ=protiľahlýhypotenuse{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opozitív}}{\text{hypotenuse}}}}

) pre druhý daný vnútorný uhol. Takto získame dĺžku hypotenzy, ktorá je zároveň prvou stranou lichobežníka.

  • Napríklad, ak je daný vnútorný uhol 45 stupňov, vypočítate:
    sin(45)=6H{\displaystyle \sin(45)={\frac {6}{H}}}

    .7071=6H{\displaystyle .7071={\frac {6}{H}}}

    .7071H=6{\displaystyle .7071H=6}

    .7071H.7071=6.7071{\displaystyle {\frac {.7071H}{.7071}}={\frac {6}{.7071}}} H=8.4854{\displaystyle H=8.4854}

    Takže dĺžka prepony a druhej chýbajúcej strany lichobežníka je približne 8.4854 cm.


Stanovte vzorec Pytagorovej vety pre prvý pravouhlý trojuholník. Vzorec Pytagorovej vety je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde dĺžka hypotezy je

c{\displaystyle c}

, a výška trojuholníka je

a{\displaystyle a}

.


Dosadíme známe hodnoty do Pytagorovej vety pre prvý pravouhlý trojuholník. Uistite sa, že ste zapísali dĺžku hypotenzy pre

c{\displaystyle c}

a výška pre

a{\displaystyle a}

.

  • Ak má napríklad prvý pravouhlý trojuholník preponou 10.4566 a výšku 6, váš vzorec bude:
    62+b2=10.45662{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}}


Vyriešte

b{\displaystyle b}

. Tým získate dĺžku základne prvého pravouhlého trojuholníka a prvý chýbajúci úsek spodnej základne lichobežníka.

  • Napríklad:
    62+b2=10.45662{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}}

    36+b2=109.3405{\displaystyle 36+b^{2}=109.3405}

    b2=109.340536{\displaystyle b^{2}=109.3405-36}

    b2=73.3405{\displaystyle b^{2}=73.3405}

    b2=73.3405{\displaystyle {\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {73.3405}}}

    b=8.5639{\displaystyle b=8.5639}

    Takže základňa trojuholníka a prvá chýbajúca časť spodnej základne lichobežníka je približne 8.5639 cm.


Nájdite dĺžku chýbajúcej základne druhého pravouhlého trojuholníka. Použite vzorec Pytagorovej vety (

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

) na tento účel. Zapojte dĺžku hypotenzy pre

c{\displaystyle c}

, a výšku pre

a{\displaystyle a}

. Riešenie pre

b{\displaystyle b}

vám poskytne dĺžku druhej chýbajúcej časti spodnej základne lichobežníka.

  • Napríklad ak má druhý pravouhlý trojuholník preponou 8.4854 a výšku 6, vypočítate:
    62+b2=8.48542{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=8.4854^{2}}

    36+b2=72{\displaystyle 36+b^{2}=72}

    b2=7236{\displaystyle b^{2}=72-36}

    b2=36{\displaystyle b^{2}=36}

    b2=36{\displaystyle {\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {36}}}

    b=6{\displaystyle b=6}

    Takže základňa druhého trojuholníka a druhá chýbajúca časť spodnej základne lichobežníka je 6 cm.


  • Súčet dĺžok všetkých strán lichobežníka. Obvod ľubovoľného mnohouholníka je súčet všetkých strán:

    P=T+B+L+R{\displaystyle P=T+B+L+R}

    . Pre spodnú základňu pridáte spodnú stranu obdĺžnika plus základne dvoch trojuholníkov.

    • Napríklad,
      6+(8.5639+6+6)+10.4566+8.4854=45.5059{\displaystyle 6+(8.5639+6+6)+10.4566+8.4854=45.5059}

      Približný obvod vášho lichobežníka je teda 45.5059 cm.

  • Odkazy