3 spôsoby, ako zistiť priemernú rýchlosť zmeny

Priemerná rýchlosť zmeny je funkcia, ktorá predstavuje priemernú rýchlosť, akou sa mení jedna vec vzhľadom na niečo iné, čo sa mení. V matematike sa označuje A(x). Rovnaký koncept môžete použiť na meranie zmeny matematickej funkcie. Môžete tiež merať priemerné rýchlosti zmien rôznych fyzikálnych vlastností. Priemernú rýchlosť zmeny polohy objektu nazývame jednoducho rýchlosť. Môžete tiež merať priemernú rýchlosť rastu živých rastlín alebo živočíchov.

Metóda 1 z 3:Výpočet priemernej rýchlosti


Poznajte vzorec na výpočet priemernej rýchlosti. Predpokladajme, že chcete zistiť priemernú rýchlosť jazdy, ale nemáte rýchlomer. Rýchlosť je možné vypočítať pomocou niekoľkých základných meraní a výpočtov. Priemernú rýchlosť akéhokoľvek objektu zistíme vydelením zmeny polohy zmenou času. Matematicky sa to dá zapísať takto: [1]

  • rýchlosť=ΔxΔt{\displaystyle {\text{rýchlosť}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}
  • V tejto funkcii,
    Δx{\displaystyle \Delta x}

    predstavuje zmenu polohy alebo prejdenú vzdialenosť. Menovateľ

    Δt{\displaystyle \Delta t}

    predstavuje zmenu v čase.


Určenie východiskovej polohy. Priemerná rýchlosť objektu je výpočet zmeny jeho polohy alebo polohy za zvolený časový úsek. Preto na začiatok musíte vybrať počiatočnú polohu pre vaše meranie.[2]

  • Ak napríklad chcete zmerať svoju priemernú rýchlosť chôdze z domu do školy na druhom konci mesta, východiskovou pozíciou je váš dom.
  • „Štartovacia“ pozícia nemusí byť skutočným štartom. Napríklad by ste sa mohli rozhodnúť zmerať priemernú rýchlosť pretekárskeho auta na pretekoch Indy 500. Ako „východiskový“ bod pre meranie môžete zvoliť ľubovoľný bod na trati.


Zmerajte vzdialenosť ku koncovému bodu. Priemernú rýchlosť môžete vypočítať na ľubovoľnú vzdialenosť alebo čas, ktorý si zvolíte. Jediným obmedzujúcim faktorom je kvalita alebo presnosť vášho meracieho prístroja. Napríklad meranie rýchlosti šprintéra si vyžaduje presnosť na niekoľko centimetrov, zatiaľ čo meranie rýchlosti pretekárskeho auta musí byť presné na niekoľko stôp alebo metrov.[3]

  • Ak chcete zmerať rýchlosť chôdze z domu do školy, môžete zistiť vzdialenosť buď pohľadom na miestnu mapu, alebo prejdením trasy pomocou tachometra auta. Pre tento príklad predpokladajte, že vzdialenosť je 0.6 míľ.
  • Pre pretekárske auto Indy 500 je jedno kolo pretekárskej dráhy Indianapolis Speedway 2.5 míľ. Preto skontrolujte polohu vozidla v ľubovoľnom bode na trati. Keď auto opäť prejde tým istým bodom, jeho vzdialenosť bude 2.5 míľ.


Meranie uplynulého času. Priemerná rýchlosť vyžaduje, aby ste merali čas, ktorý uplynie. Podobne ako pri meraní vzdialenosti, aj tu sa môže vyžadovať väčšia alebo menšia presnosť v závislosti od samotnej rýchlosti. Napríklad na meranie rýchlosti šprintérov svetovej triedy potrebujete stopky, ktoré merajú desatiny alebo stotiny sekundy, ale na meranie rýchlosti pretekárskeho auta na trati vám stačia bežné hodinky so sekundovou ručičkou.[4]

  • Pri pešej ceste do školy môžete na meranie času pravdepodobne použiť náramkové hodinky. Predpokladajme, že pre tento príklad trvá cesta do školy pätnásť minút.
  • Pri sledovaní pretekárskeho vozidla na okruhu Indianapolis Speedway môžete pomocou hodiniek alebo stopiek merať čas každého kola. Rýchlemu autu trvá prejsť jedno kolo približne 45 sekúnd.


Vypočítajte priemernú rýchlosť. Po vykonaní potrebných meraní ich potom jednoducho dosadíte do vzorca na výpočet rýchlosti, aby ste zistili rýchlosť objektu. Dávajte pozor na jednotky, ktoré používate pri výpočte.[5]

  • Pre cestu do školy pešo sa vzdialenosť merala v bode 0.6 míľ a čas bol pätnásť minút. Tieto informácie vložte do vzorca takto:
    • rýchlosť=ΔxΔt=0.615=0.4{\displaystyle {\text{rýchlosť}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {0.6}{15}}=0.4}

      míľ/minútu.

  • Pretekárske auto Indy prešlo 2.5 míľ za 45 sekúnd. Tieto údaje sa do vzorca na výpočet rýchlosti dosadia takto:
    • rýchlosť=ΔxΔt=2.545=0.0556{\displaystyle {\text{rýchlosť}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {2.5}{45}}=0.0556}

      míľ/sekundu.


V prípade potreby prepočítajte jednotky. Niekedy nemusí byť konečný výpočet v jednotkách, ktoré sú pre vás najužitočnejšie. Ak potrebujete alebo chcete uviesť rýchlosť v iných jednotkách, budete musieť vynásobiť niektorým prevodným koeficientom.

  • Napríklad rýchlosť pretekárskeho auta sa zvyčajne meria v míľach za hodinu, nie v míľach za sekundu. Keďže jedna hodina sa rovná 3600 sekundám, vypočítanú rýchlosť môžete previesť vynásobením 3600 sekundami za hodinu.[6]
  • 0.0556 míľ za sekundu3600 sekúnd za hodinu=200.16 míľ za hodinu{\displaystyle 0.0556{\text{ míľ za sekundu}}*3600{\text{ sekúnd za hodinu}}=200.16{\text{ míľ za hodinu}}

    .

Metóda 2 z 3:Zistenie priemernej rýchlosti rastu


Pochopte vzorec na meranie priemernej rýchlosti rastu. Pri veciach, ktoré rastú, či už do výšky alebo hmotnosti, môžete rýchlosť rastu merať tak, že zistíte zmenu akejkoľvek kvality, ktorú chcete merať, vydelenú časom. Tento vzorec možno matematicky vyjadriť takto: [7]

  • rýchlosť=ΔhΔt{\displaystyle {\text{rýchlosť}}={\frac {\Delta h}{\Delta t}}

    alebo

    ΔwΔt{\displaystyle {\frac {\Delta w}{\Delta t}}
  • V týchto dvoch príkladoch,
    h{\displaystyle h}

    predstavuje výšku a

    w{\displaystyle w}

    predstavuje hmotnosť. V oboch týchto prípadoch,

    t{\displaystyle t}

    predstavuje uplynulý čas.


Rozhodnite sa, ako dlho chcete merať mieru rastu. Niektoré rastliny, ako napríklad ázijský bambus, rastú veľmi rýchlo, pričom viditeľné rozdiely sa prejavia v priebehu niekoľkých hodín. Pri meraní niečoho takého, ako je rýchlosť rastu dieťaťa, sa zmeny môžu prejaviť až po niekoľkých mesiacoch alebo po roku či viac. Musíte vybrať časový úsek, ktorý je relevantný pre meranie.[8]

  • Predpokladajme, že základná trieda zasadí semená fazule a začne merať ich rast hneď, ako sa objaví prvý výhonok. Rozumné meranie času môže byť približne mesiac, merané v dňoch.
  • Vedci, ktorí vychovávajú osirelé sloníča, chceli zmerať rýchlosť jeho rastu počas prvých 90 dní jeho života.


Vypočítajte počiatočnú veľkosť. Meranie rýchlosti rastu si vyžaduje, aby ste stanovili nejaký počiatočný bod a zmerali veľkosť v tomto čase.[9]

  • V prípade príkladu rastlín fazule si študenti zvolili za počiatočný bod deň, keď sa objavil prvý výhonok. Výška v bode sa nastaví na 0 cm.
  • V prípade sloníčaťa veterinári zmerali jeho hmotnosť v deň narodenia. Jeho počiatočná hmotnosť v tento deň bola 200 libier.[10]


Zmerajte konečnú výšku alebo hmotnosť. Po uplynutí času vášho skúmania zmerajte výšku alebo hmotnosť objektu, ktorého rast skúmate.[11]

  • V prípade rastlín fazule bola priemerná výška rastlín študentov v 30. deň 24 palcov. Keďže rastliny začali vo výške 0, veľkosť rastu bola 24 palcov.
  • V prípade slona po 90-dňovom období štúdie veterinári namerali jeho hmotnosť 400 kg.


Použite vzorec pre rýchlosť rastu buď pre výšku, alebo pre hmotnosť. Do vzorca zadajte údaje, ktoré ste namerali, a vykonajte výpočty na zistenie miery rastu.

  • V prípade žiackeho príkladu s fazuľou bude výpočet vyzerať takto:
    • sadzba=24 palce30 dni=0.8 palce deň{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {24{\text{ inches}}}{30{\text{ days}}}}=0.8{\frac {\text{ palce}}{\text{ deň}}}}
  • Pri rýchlosti rastu slona musíte v rámci výpočtu vypočítať veľkosť zmeny hmotnosti v čitateli:
    • rýchlosť=400200 libier90 dni{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {400-200{\text{ libier}}}{90{\text{ dní}}}}}
    • sadzba=200 libier90 dni{\displaystyle {\text{rate}}={\frac {200{\text{ libier}}}{90{\text{ dní}}}}}
    • rýchlosť=2.22libierdeň{\displaystyle {\text{rate}}=2.22{\frac {\text{pounds}}{\text{day}}}}

Metóda 3 z 3:Výpočet rýchlosti zmeny funkcie


Poznajte svoju funkciu. V matematike je funkcia matematický vzťah medzi číslami, takže zadáte jedno číslo a výsledkom je iné číslo. Funkcie sa vo všeobecnosti dajú znázorniť graficky. Môžu predstavovať priamky, paraboly alebo náhodne vyzerajúce krivky, ktoré nie je možné jednoducho definovať.[12]

  • Niektoré vzorové funkcie sú:
    • y(x)=3x+4{\displaystyle y(x)=3x+4}

      (funkcia priamky)

    • y(x)=sin(x){\displaystyle y(x)=sin(x)}

      (funkcia pre vlnovku)

    • y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}}

      (funkcia pre parabolu)


Vyberte hodnoty x. Zistiť priemernú rýchlosť zmeny funkcie znamená zmerať hodnotu funkcie v dvoch rôznych bodoch pozdĺž osi x. Vyberte jednu hodnotu x, pri ktorej chcete začať merať, a potom určte, ako ďaleko po osi chcete postúpiť.

  • V závislosti od účelu môžete zvoliť širší alebo užší rozsah hodnôt x na meranie. Pre toto cvičenie vyberte prvú hodnotu x na úrovni 0 a druhú hodnotu x na úrovni 3.


Vypočítajte hodnoty funkcie. Rýchlosť zmeny funkcie meria, o koľko sa zmenia hodnoty y počas zvolenej horizontálnej vzdialenosti x. Na výpočet tejto zmeny potrebujete poznať hodnoty y pri každej zvolenej hodnote x.[13]

  • Pre vzorovú funkciu,
    y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}}

    , vyberte dve hodnoty x=0 a x=3, napr. Zodpovedajúce hodnoty

    y(x){\displaystyle y(x)}

    , preto sú:

    • y(0)=02=0{\displaystyle y(0)=0^{2}=0}
    • y(3)=32=9{\displaystyle y(3)=3^{2}=9}


Vypočítajte priemernú rýchlosť zmeny funkcie. Rýchlosť zmeny funkcie možno formálne zapísať ako: [14]

  • A(x)=ΔyΔx=f(x+h)f(x)h{\displaystyle A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
  • V tomto vzorci,
    f(x){\displaystyle f(x)}

    predstavuje hodnotu funkcie pri prvej zvolenej hodnote x.

    f(x+h){\displaystyle f(x+h)}

    je hodnota funkcie v určitej vzdialenosti pri druhej hodnote x. Menovateľ

    h{\displaystyle h}

    je vzdialenosť medzi dvoma meraniami.

  • h{\displaystyle h}

    možno tiež reprezentovať ako

    Δx{\displaystyle \Delta x}

    , pretože je to vzdialenosť alebo zmena zvolených hodnôt x.

  • Pre zvolenú funkciu
    y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}}

    , môžete vypočítať priemernú mieru zmeny od 0 do 3 takto:

    • A(x)=ΔyΔx=9030=3{\displaystyle A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {9-0}{3-0}}=3}

      .


  • Interpretovať výsledok. Pri tejto funkcii je miera zmeny mierou toho, o koľko sa hodnota funkcie zmení vertikálne pri horizontálnom pohybe po osi x. V tomto prípade je parabola

    y(x)=x2{\displaystyle y(x)=x^{2}}

    začína v bode (0,0) a stúpa do bodu (3,9) počas meraného intervalu. Hoci samotná funkcia nie je priamka, priemerná rýchlosť zmeny sa meria ako sklon priamky spájajúcej tieto dva body. Tento riadok stúpa o 3 jednotky za každé zvýšenie x o jednu jednotku.[15]

    • Všimnite si, že priemerná rýchlosť zmeny funkcie sa môže líšiť v závislosti od miesta, ktoré ste si vybrali na meranie. V prípade príkladu s parabolou je priemerná rýchlosť zmeny 3 od x=0 do x=3. Avšak pre tú istú funkciu meranú od x=3 do x=6, čo je tiež vzdialenosť 3 jednotky, je priemerná rýchlosť zmeny 8.33.
  • Odkazy