3 spôsoby diferencovania odmocniny X

Ak ste sa učili počty, nepochybne ste sa naučili mocninové pravidlo na hľadanie derivácie základných funkcií. Ak však funkcia obsahuje odmocninu alebo znamienko radikálu, ako napr

x{\displaystyle {\sqrt {x}}

, pravidlo sily sa zdá byť ťažko uplatniteľné. Použitím jednoduchej substitúcie exponentu sa diferencovanie tejto funkcie stáva veľmi jednoduchým. Rovnakú substitúciu potom môžete použiť a reťazové pravidlo kalkulu použiť na diferenciáciu mnohých ďalších funkcií, ktoré obsahujú radikály.

Metóda 1 z 3:Použitie mocninového pravidla


Preskúmajte pravidlo sily pre deriváty. Prvé pravidlo, ktoré ste sa pravdepodobne naučili pri hľadaní derivátov, je pravidlo sily. Toto pravidlo hovorí, že pre premennú

x{\displaystyle x}

zvýšené na akýkoľvek exponent

a{\displaystyle a}

, derivácia je nasledovná: [1]

  • f(x)=xa{\displaystyle f(x)=x^{a}}
  • f(x)=axa1{\displaystyle f^{\prime }(x)=ax^{a-1}}
  • Preskúmajte napríklad nasledujúce funkcie a ich derivácie:
    • Ak
      f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}

      , potom

      f(x)=2x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x}
    • Ak
      f(x)=3x2{\displaystyle f(x)=3x^{2}}

      , potom

      f(x)=23x=6x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2*3x=6x}
    • Ak
      f(x)=x3{\displaystyle f(x)=x^{3}}

      , potom

      f(x)=3x2{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}
    • Ak
      f(x)=12x4{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}}

      , potom

      f(x)=412x3=2x3{\displaystyle f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}


Prepíšte druhú odmocninu ako exponent. Ak chcete nájsť deriváciu funkcie druhej odmocniny, musíte si uvedomiť, že druhú odmocninu ľubovoľného čísla alebo premennej možno zapísať aj ako exponent. Člen pod znamienkom odmocniny (radikálu) sa zapíše ako základ a zvýši sa na exponent 1/2. Uvažujme nasledujúce príklady:[2]

  • x=x12{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}
  • 4=412{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}}
  • 3x=(3x)12{\displaystyle {\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}}


Aplikujte pravidlo sily. Ak je funkcia najjednoduchšou odmocninou,

f(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

, na nájdenie derivácie použite mocninové pravidlo: [3]

  • f(x)=x     {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \ }

    (Napíšte pôvodnú funkciu.)

  • f(x)=x(12)     {\displaystyle f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ }

    (Prepíšte radikál ako exponent.)

    • f(x)=12x(121)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \ }

      (Nájdite deriváciu pomocou mocninového pravidla.)

    • f(x)=12x(12)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \ }

      (Zjednodušte exponent.)


Zjednodušte výsledok. V tejto fáze si musíte uvedomiť, že záporný exponent znamená, že vezmete recipročnú hodnotu toho, čo by číslo bolo s kladným exponentom. Exponent

12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}

znamená, že v menovateli zlomku bude odmocnina zo základu.[4]

  • Pokračujúc s funkciou odmocniny z x z vyššie uvedeného, deriváciu možno zjednodušiť ako:
    • f(x)=12x12{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}}
    • f(x)=121x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}}
    • f(x)=12x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}

Metóda 2 z 3:Použitie reťazového pravidla pre odmocniny funkcií


Zopakujte si reťazové pravidlo pre funkcie. Reťazové pravidlo je pravidlo pre derivácie, ktoré sa používa, keď pôvodná funkcia kombinuje funkciu v rámci inej funkcie. Reťazové pravidlo hovorí, že pre dve funkcie

f(x){\displaystyle f(x)}

a

g(x){\displaystyle g(x)}

, deriváciu kombinácie týchto dvoch faktorov možno nájsť takto: [5]

  • Ak
    y=f(g(x)){\displaystyle y=f(g(x))}

    , potom

    y=f(g)g(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}

    .


Definujte funkcie pre reťazové pravidlo. Použitie reťazového pravidla vyžaduje, aby ste najprv definovali dve funkcie, ktoré tvoria vašu kombinovanú funkciu. Pre funkcie odmocnín je vonkajšia funkcia

f(g){\displaystyle f(g)}

bude funkcia odmocniny a vnútorná funkcia

g(x){\displaystyle g(x)}

bude to, čo sa objaví pod radikálnym znamienkom.[6]

  • Predpokladajme napríklad, že chcete nájsť deriváciu
    3x+2{\displaystyle {\sqrt {3x+2}}

    . Definujte tieto dve časti takto:

    • f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}}
    • g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)}


Nájdite derivácie týchto dvoch funkcií. Ak chcete aplikovať reťazové pravidlo na druhú odmocninu funkcie, musíte najprv nájsť deriváciu všeobecnej druhej odmocniny funkcie: [7]

  • f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}}
    • f(g)=12g12{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}}
    • f(g)=12g{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}}
  • Potom nájdite deriváciu druhej funkcie:
    • g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)}
    • g(x)=3{\displaystyle g^{\prime }(x)=3}


Kombinácia funkcií v reťazovom pravidle. Spomeňte si na reťazové pravidlo,

y=f(g)g(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}

, a potom skombinujte derivácie takto: [8]

  • y=12g3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3}
  • y=12(3x+23{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3}
  • y=32(3x+2{\displaystyle y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}}

Metóda 3 z 3:Použitie skratky pre derivácie radikálových funkcií


Naučte sa skratku pre derivácie akejkoľvek radikálnej funkcie. Vždy, keď chcete nájsť deriváciu druhej odmocniny premennej alebo funkcie, môžete použiť jednoduchý vzorec. Derivát bude vždy derivátom radikandu vydeleným dvojnásobkom pôvodnej odmocniny. Symbolicky to možno znázorniť takto:[9]

  • Ak
    f(x)=u{\displaystyle f(x)={\sqrt {u}}

    , potom

    f(x)=u2u{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}}


Nájdite deriváciu polpriamky. Radikand je člen alebo funkcia pod znamienkom odmocniny. Ak chcete použiť túto skratku, nájdite deriváciu samotného polpriamky. Uvažujme nasledujúce príklady: [10]

  • Vo funkcii
    5x+2{\displaystyle {\sqrt {5x+2}}}

    , rádicand je

    (5x+2){\displaystyle (5x+2)}

    . Jeho derivácia je

    5{\displaystyle 5}

    .

  • Vo funkcii
    3x4{\displaystyle {\sqrt {3x^{4}}}}

    , rádicand je

    3x4{\displaystyle 3x^{4}}

    . Jeho derivácia je

    12x3{\displaystyle 12x^{3}}

    .

  • Vo funkcii
    sin(x){\displaystyle {\sqrt {sin(x)}}}

    , rádicand je

    sin(x){\displaystyle \sin(x)}

    . Jeho derivácia je

    cos(x){\displaystyle \cos(x)}

    .


Zapíšte deriváciu polomeru ako čitateľa zlomku. Derivácia radikálovej funkcie bude zahŕňať zlomok. Čitateľ tohto zlomku je derivácia polpriamky. Pre vyššie uvedené vzorové funkcie bude teda prvá časť derivácie nasledovná: [11]

  • Ak
    f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}

    , potom

    f(x)=5denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{denom}}}}
  • Ak
    f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}

    , potom

    f(x)=12x3denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{denom}}}}
  • Ak
    f(x)=sin(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}

    , potom

    f(x)=cos(x)denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{denom}}}}


Menovateľ zapíšeme ako dvojnásobok pôvodnej odmocniny. Pri použití tejto skratky bude menovateľ dvojnásobkom pôvodnej odmocniny funkcie. Pre tri vyššie uvedené vzorové funkcie budú teda menovatele derivácií nasledovné:[12]

  • Pre
    f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}

    , potom

    f(x)=num25x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {5x+2}}}}}
  • Ak
    f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}

    , potom

    f(x)=num23x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}
  • Ak
    f(x)=sin(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}

    , potom

    f(x)=num2sin(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}}

  • Spojením čitateľa a menovateľa nájdeme deriváciu. Spojte obe polovice zlomku a výsledkom bude derivácia pôvodnej funkcie.[13]

    • Pre
      f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}

      , potom

      f(x)=525x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}}
    • Ak
      f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}

      , potom

      f(x)=12x323x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}
    • Ak
      f(x)=sin(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}

      , potom

      f(x)=cos(x)2sin(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}}
  • Odkazy