3 spôsoby dlhého delenia polynómami

Dlhé delenie v algebre môžete použiť ako nástroj na zjednodušenie dlhých polynomických výrazov. Tak ako používate bežné dlhé delenie na hľadanie činiteľov veľkých čísel (napríklad 3624÷14), môžete použiť polynomické dlhé delenie na hľadanie činiteľov veľkých polynómov. Postup je v podstate rovnaký ako pri dlhom delení číslami. Je to opakovaná séria štyroch krokov: odhadnúť, vynásobiť, odčítať, preniesť nadol. V prípade veľmi dlhých polynómov stačí pokračovať v tom istom procese vo viacerých krokoch. Tak ako dlhé delenie číslami niekedy vychádza „párne“ a niekedy má zvyšok, môže byť potrebné riešiť zvyšky pri dlhom delení polynómov. Pripravili sme pre vás rýchly matematický návod, ktorý vám pomôže deliť mnohočleny bez ohľadu na to, či majú zvyšok alebo nie.

Metóda 1 z 3:Delenie trinomického súboru binomickým súborom


Prečítajte si problém. Úloha vám môže byť predložená ako jednoduchá úloha na delenie s pokynmi na nájdenie kvocientu. Môžete mať aj zlomok, ktorého čitateľom je jeden polynóm a menovateľom dvojčlen. Mali by ste si to uvedomiť ako príležitosť na vykonanie delenia.[1]

  • Problém delenia by mohol byť napríklad uvedený takto: „Nájdite kvocient, keď
    3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12}

    sa delí

    x+6{\displaystyle x+6}

    .“

  • V tej istej úlohe by ste sa mohli spýtať: „Jeden násobok
    3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12}

    je

    x+6{\displaystyle x+6}

    . Aký je druhý činiteľ?“

  • Nakoniec sa presne ten istý problém môže objaviť len ako
    3x2+20x+12x+6{\displaystyle {\frac {3x^{2}+20x+12}{x+6}}}

    . Mali by ste si uvedomiť, že tvar zlomku znamená delenie čitateľa menovateľom.


Vytvorte úlohu na dlhé delenie. Rovnako ako pri číslach začnite nakreslením symbolu dlhého delenia, napríklad takto: )¯¯¯¯¯¯ . Polynóm, ktorý je vašou dividendou, sa nachádza v priestore pod symbolom. Deliteľ je umiestnený naľavo od symbolu.[2]

  • „Dividenda“ je veľký člen, ktorého faktory sa snažíte nájsť. „Deliteľ“ je faktor, ktorým delíte. „Kvocient“ je odpoveďou na ľubovoľnú úlohu na delenie.
  • S polynómami bude tento problém vyzerať nasledovne:
    x+6)3x2+20x+12¯{\displaystyle x+6{\overline {)3x^{2}+20x+12}}}

    .


Odhadnite prvý člen kvocientu. Keď robíte dlhé delenie číslami, nesnažíte sa vydeliť celé číslo v jednom kroku. Pozriete sa na prvé jedno alebo dve čísla dividendy a odhadnete, koľkokrát sa do nej dostane prvá číslica deliteľa. To isté urobíte aj pri delení polynómov. Pozrite sa na prvý člen deliteľa a rozhodnite, koľkokrát sa dostane do prvého člena dividendy.[3]

  • Ak napríklad delíte 642 číslom 3, začnite tým, že budete uvažovať, koľkokrát sa číslica 3 bude deliť prvou číslicou 642. Trojka ide do šestky dvakrát, takže nad šestku napíšete dvojku nad deliacu čiaru.
  • Pri delení polynómu uvažujte prvý člen dividendy,
    3x2{\displaystyle 3x^{2}}

    a prvý člen deliteľa,

    x{\displaystyle x}

    .

    3x2{\displaystyle 3x^{2}}

    rozdelené podľa

    x{\displaystyle x}

    ponecháva koeficient

    3x{\displaystyle 3x}

    . Napíšte

    3x{\displaystyle 3x}

    nad

    3x2{\displaystyle 3x^{2}}

    pod symbol delenia.


Vynásobte svoj prvý člen deliteľom. S prvým časom vášho kvocientu nastaveným nad čiarovým riadkom ho teraz vynásobte celým deliteľom. Výsledok zapíš pod dividendu.[4]

  • S
    3x{\displaystyle 3x}

    ako prvý člen svojho kvocientu vynásobte

    3x{\displaystyle 3x}

    podľa

    x+6{\displaystyle x+6}

    . Urobte to tak, že každý člen vynásobíte 3x. Najskôr urobte

    3xx{\displaystyle 3x*x}

    a potom

    3x+6{\displaystyle 3x*+6}

    . Výsledok zapíšte,

    3x2+18x{\displaystyle 3x^{2}+18x}

    pod prvé dva členy polynómu

    3x2+20x{\displaystyle 3x^{2}+20x}

    .


Odpočítajte. Tak ako ďalším krokom pri dlhom delení je odčítanie vášho výsledku od pôvodného čísla, v tejto úlohe budete odčítať polynóm mínus binóm, ktorý ste práve zapísali. Mali by ste mať napísaný predchádzajúci krok pod podobnými členmi polynómu, aby ste mohli jednoducho odčítať smerom nadol. Nakreslite čiaru pod dolný binóm a odčítajte.[5]

  • V bežiacom príklade by sa prvé členy mali zoradiť tak, aby sa odčítali
    3x23x2{\displaystyle 3x^{2}-3x^{2}}

    . Tým sa vynuluje. Potom odčítajte druhé členy,

    20x18x{\displaystyle 20x-18x}

    . Pod odčítací riadok napíš svoju odpoveď

    2x{\displaystyle 2x}

    .


Preneste dole ďalší termín dividendy. Pri číselnom dlhom delení by ste teraz znížili ďalšiu číslicu čísla. Pri dlhom delení polynómov si opíšte ďalší člen polynómu.[6]

  • V tomto príklade je ďalší (a posledný) člen mnohočlenu
    +12{\displaystyle +12}

    . Skopírujte to dole, vedľa

    2x{\displaystyle 2x}

    , na vytvorenie binómu

    2x+12{\displaystyle 2x+12}

    .


Začnite postup znova. Porovnajte túto novú dividendu,

2x+2{\displaystyle 2x+2}

k deliteľovi

x+6{\displaystyle x+6}

. Zvážte, koľkokrát je prvý termín,

2x{\displaystyle 2x}

môže deliť prvý člen deliteľa

x{\displaystyle x}

.

2x{\displaystyle 2x}

delené

x{\displaystyle x}

je

2{\displaystyle 2}

. Zapíšte tento výsledok,

2{\displaystyle 2}

ako ďalší člen vášho kvocientu v hornej časti úlohy.[7]

  • Pretože
    2{\displaystyle 2}

    je kladná, zapíšte ju ako

    +2{\displaystyle +2}

    . Tým sa získa kvocient

    3x+2{\displaystyle 3x+2}

    nad deliacou čiarou.


Vynásobte posledný člen kvocientu deliteľom. Pokračujte v procese násobením.[8]

  • V tomto príklade vynásobte
    +2{\displaystyle +2}

    krát každý člen deliteľa

    x+6{\displaystyle x+6}

    . Výsledkom bude

    2x+12{\displaystyle 2x+12}

    . Tento výsledok zapíš na koniec úlohy na dlhé delenie, pričom zoraď členy s výsledkom tvojho predchádzajúceho odčítania.


Odpočítajte. Zoraďte spoločné členy a potom odčítajte. Binóm v dolnej časti úlohy z vášho predchádzajúceho odčítania bol

2x+12{\displaystyle 2x+12}

. Pod tým je uvedený posledný produkt, ktorý je tiež

2x+12{\displaystyle 2x+12}

. Keď odčítate každý člen, výsledok bude nula.[9]


Uveďte svoj výsledok. Keď ste použili všetky členy pôvodného polynómu a vaše odčítanie zruší všetky členy na nulu, ste s dlhým delením hotoví. Výsledok

3x2+20x+12{\displaystyle 3x^{2}+20x+12}

delený

x+6{\displaystyle x+6}}

je

3x+2{\displaystyle 3x+2}

.[10]

  • Alternatívne, ak pracujete s úlohou v tvare zlomku, výsledok bude vyzerať takto:
    • 3x2+20x+12x+6=(3x+2)(x+6)x+6=3x+2{\displaystyle {\frac {3x^{2}+20x+12}{x+6}}={\frac {(3x+2)(x+6)}{x+6}}=3x+2}

Metóda 2 z 3:Dlhé delenie dlhšími polynómami


Nastavenie problému. Rovnako ako pri jednoduchšom probléme napíšte svoju dividendu pod stĺpec dlhého delenia a deliteľa naľavo od neho.[11]

  • Predpokladajme, že máte nájsť kvocient
    4x3+9x2x6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6}

    deleno

    x+2{\displaystyle x+2}

    . Nastavte dlhší polynóm

    4x3+9x2x6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6}

    pod deliacou čiarou a deliteľom

    x+2{\displaystyle x+2}

    doľava. Bude to vyzerať takto:

    • x+2)4x3+9x2x6¯{\displaystyle x+2{\overline {)4x^{3}+9x^{2}-x-6}}}

      .


Postupujte rovnako ako predtým. Postupujte podľa rovnakého vzoru štyroch krokov dlhého delenia ako predtým: Odhadnúť, vynásobiť, odčítať, preniesť nadol. Jediným rozdielom pri dlhšej úlohe je, že budete pokračovať v opakovaní vzoru viac krát.[12]

  • Uvažujme numerický problém dlhého delenia
    24)90,048¯{\displaystyle 24{\overline {)90,048}}

    . Začnete odhadom 2 na 9, potom prenesiete nadol 0, potom nakoniec prenesiete nadol druhú 0, 4 a potom 8. Každé číslo predstavuje celé kolo „Odhad, násobenie, odčítanie, prenášanie nadol.“

  • Pri dlhšom dlhom delení polynómov je každý z členov v dividende,
    4x3{\displaystyle 4x^{3}}

    ,

    9x2{\displaystyle 9x^{2}}

    ,

    x{\displaystyle -x}

    a

    6{\displaystyle -6}

    predstavuje jeden celý cyklus „Odhad, násobenie, odčítanie, prenesenie nadol“.“


Pokračujte až na koniec. Pokračujte v práci, kým sa nedostanete k záverečnému odčítaniu a nebudete mať už žiadne ďalšie členy, ktoré by ste mohli preniesť nadol. V tomto príkladovom probléme by malo delenie prebiehať rovnomerne, takže konečné odčítanie dáva výsledok nula.[13]


Nahláste svoj výsledok. Tak ako pri delení veľkých čísel očakávate, že kvocientom bude väčšie číslo, pri riešení dlhšej úlohy algebrického delenia budete mať pravdepodobne ako kvocient dlhší polynóm.

  • V tomto príklade je výsledkom
    4x3+9x2x6{\displaystyle 4x^{3}+9x^{2}-x-6}

    delené

    x+2{\displaystyle x+2}

    je trojčlen

    4x2+x3{\displaystyle 4x^{2}+x-3}

    .

Metóda 3 z 3:Riešenie zvyškov pri dlhom delení polynómov


Nastavte si problém. Keď začnete riešiť úlohu na dlhé delenie polynómu, na začiatku nebudete vedieť, či budete mať zvyšok alebo nie. Úlohu nastavte rovnako ako pri akomkoľvek dlhom delení.[14]

  • Predpokladajme napríklad, že máte problém
    x2+5x+9x+3{\displaystyle {\frac {x^{2}+5x+9}{x+3}}}

    . Nastavte to ako:

    • x+3)x2+5x+9¯{\displaystyle x+3{\overline {)x^{2}+5x+9}}}

      .


Odhadnite prvý člen vášho kvocientu. Pozrite sa na prvý člen dividendy a prvý člen deliteľa. Odhadnite kvocient a výsledok zapíšte nad čiarou.[15]

  • V tomto príklade je prvý člen kvocientu
    x2{\displaystyle x^{2}}

    a prvý člen deliteľa je

    x{\displaystyle x}

    .

    x2{\displaystyle x^{2}}

    delené

    x{\displaystyle x}

    ide do

    x{\displaystyle x}

    krát, takže napíšte výsledok

    x{\displaystyle x}

    nad deliacou čiarou.


Vynásobte kvocient deliteľom. Nájdite parciálny súčin pre prvý krok vynásobením vášho prvého odhadu kvocientu deliteľom. Napíšte svoj výsledok pod dividendu.[16]

  • Pri tomto probléme vynásobte
    x{\displaystyle x}

    ktoré ste napísali nad čiarou podľa členov deliteľa

    x+3{\displaystyle x+3}

    . Napíšte výsledok,

    x2+3x{\displaystyle x^{2}+3x}

    pod zodpovedajúcimi členmi

    x2+5x{\displaystyle x^{2}+5x}

    .


Odpočítajte. Nakreslite čiaru pod posledný výsledok a odčítajte člen po člene. Rozdiely napíšte na koniec úlohy.[17]

  • V tomto príklade sa prvé členy zrušia ako
    x2x2=0{\displaystyle x^{2}-x^{2}=0}

    .

  • Odčítanie druhého člena je
    5x3x{\displaystyle 5x-3x}

    . Napíšte výsledok,

    2x{\displaystyle 2x}

    , na konci úlohy.


Preneste ďalší člen polynómu. Tak ako predtým, skopírujte nasledujúci člen polynómu dividendy nadol a pripočítajte ho k výsledku z kroku odčítania.[18]

  • V tomto prípade je posledný člen polynómu
    +9{\displaystyle +9}

    . Toto číslo skopírujte dole a pridajte ho k

    2x{\displaystyle 2x}

    z predchádzajúceho kroku. Tým sa vytvorí binomický vzorec

    2x+9{\displaystyle 2x+9}

    .


Zopakujte postup dlhého delenia. Pozrite sa na prvé členy a rozhodnite, koľkokrát

x{\displaystyle x}

vášho deliteľa

x+3{\displaystyle x+3}

pôjde do

2x{\displaystyle 2x}

v dolnej časti. Tento výsledok zapíšte,

2{\displaystyle 2}

nad deliacou čiarou v hornej časti problému. Takto dostaneme kvocient

x+2{\displaystyle x+2}

.[19]


Posledný člen kvocientu vynásobte deliteľom. Na vynásobenie deliteľa použite člen, ktorý ste práve vložili do kvocientu. Výsledok zapíšte na koniec úlohy na dlhé delenie.[20]

  • V tomto príklade vynásobte
    +2{\displaystyle +2}

    každým členom deliteľa

    x+3{\displaystyle x+3}

    . Zapíšte výsledok,

    2x+6{\displaystyle 2x+6}

    v dolnej časti. Spoločné členy zarovnajte pod seba.


Odčítanie. Nakreslite čiaru pod svoj posledný krok a odčítajte spoločné členy.[21]

  • V ukážkovom probléme by malo zostať odčítanie
    2x+9{\displaystyle 2x+9}

    mínus

    2x+6{\displaystyle 2x+6}

    . Prvé členy,

    2x2x{\displaystyle 2x-2x}

    sa zruší. Konečné odčítanie je

    96{\displaystyle 9-6}

    . Zostane zvyšok 3. Keďže už nie je potrebné prenášať žiadne členy dividendového polynómu, vaša práca je hotová, okrem nahlásenia výsledku.

  • Nahláste svoj výsledok. Zapamätajte si, ako narábate so zvyškami pri delení len číslami. Predtým, ako ste sa naučili deliť na desatinné miesta, naučili ste sa zvyšok zapísať ako zlomok nad deliteľom. To isté urobíte pri delení polynómov. Zvyšok zapíšete ako čitateľa zlomku, pričom menovateľom bude deliteľ.[22]

    • Uvažujme číselný príklad,
      3)35¯{\displaystyle 3{\overline {)35}}

      . Výsledok je 11 so zvyškom 2. Svoju odpoveď by ste zapísali ako

      1123{\displaystyle 11{\frac {2}{3}}}

      .

    • Pri delení polynómom bol váš kvocient
      x+2{\displaystyle x+2}

      so zvyškom

      3{\displaystyle 3}

      . Zvyšok zapíš ako zlomok nad deliteľom, takže celý kvocient uvedieš ako

      x+2+3x+3{\displaystyle x+2+{\frac {3}{x+3}}}

      .

  • Odkazy