3 spôsoby faktorizácie algebraických rovníc

V matematike, faktoring je hľadanie čísel alebo výrazov, ktoré sa spolu násobia a vytvárajú dané číslo alebo rovnicu. Faktorovanie je užitočná zručnosť, ktorú si treba osvojiť na účely riešenia základných problémov algebry; schopnosť kvalifikovane faktorizovať sa stáva takmer nevyhnutnou pri riešení kvadratických rovníc a iných foriem polynómov. Faktorovanie možno použiť na zjednodušenie algebraických výrazov, aby sa zjednodušilo riešenie. Faktorovanie vám dokonca môže poskytnúť možnosť vylúčiť niektoré možné odpovede oveľa rýchlejšie, ako by ste to dokázali ručným riešením.[1]

Metóda 1 z 3:Faktorovanie čísel a základných algebraických výrazov


Pochopiť definíciu faktoringu pri aplikácii na jednotlivé čísla. Faktorovanie je koncepčne jednoduché, ale v praxi sa môže ukázať ako náročné, keď sa aplikuje na zložité rovnice. Z tohto dôvodu je najjednoduchšie pristupovať ku koncepcii faktoringu tak, že začneme s jednoduchými číslami, potom prejdeme na jednoduché rovnice a až nakoniec pristúpime k pokročilejším aplikáciám. Dané číslo je faktory sú čísla, ktoré sa násobia a dávajú toto číslo. Napríklad činitele čísla 12 sú 1, 12, 2, 6, 3 a 4, pretože 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4 sa rovnajú 12.[2]

  • Iný spôsob, ako si to predstaviť, je, že faktormi daného čísla sú čísla, ktorými je rovnomerne deliteľné.
  • Dokážete nájsť všetky činitele čísla 60? Číslo 60 používame na rôzne účely (minúty v hodine, sekundy v minúte atď.), pretože je rovnomerne deliteľný pomerne širokým rozsahom čísel.
    • Faktory čísla 60 sú 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.


Pochopte, že výrazy s premennou možno tiež faktorovať. Tak ako sa dajú faktorovať osamelé čísla, tak sa dajú faktorovať aj premenné s číselnými koeficientmi. Ak to chcete urobiť, jednoducho nájdite činitele koeficientu premennej. Znalosť delenia premenných je užitočná pri zjednodušovaní algebraických rovníc, ktorých sú premenné súčasťou.

  • Napríklad premennú 12x môžeme zapísať ako súčin činiteľov 12 a x. 12x môžeme zapísať ako 3(4x), 2(6x) atď., používať koeficienty 12, ktoré sú pre naše účely najvhodnejšie.
    • Môžeme ísť dokonca tak ďaleko, že vynásobíme 12x viacnásobok. Inými slovami, nemusíme sa zastaviť pri 3(4x) alebo 2(6x) – môžeme vynásobiť 4x a 6x, aby sme dostali 3(2(2x) a 2(3(2x). Je zrejmé, že tieto dva výrazy sa rovnajú.


Použite distribučnú vlastnosť násobenia na násobenie algebraických rovníc. Pomocou vedomostí o tom, ako faktorizovať osamelé čísla aj premenné s koeficientmi, môžete zjednodušiť jednoduché algebraické rovnice tak, že nájdete faktory, ktoré majú čísla a premenné v algebraickej rovnici spoločné. Zvyčajne, aby bola rovnica čo najjednoduchšia, sa snažíme hľadať najväčší spoločný deliteľ. Tento proces zjednodušenia je možný vďaka distribučnej vlastnosti násobenia, ktorá hovorí, že pre ľubovoľné čísla a, b a c, a(b + c) = ab + ac.[3]

  • Vyskúšajme si príklad úlohy. Ak chceme vynásobiť algebraickú rovnicu 12 x + 6, skúsme najprv nájsť najväčší spoločný násobok 12x a 6. 6 je najväčšie číslo, ktoré sa rovnomerne delí na 12x aj 6, takže rovnicu môžeme zjednodušiť na 6(2x + 1).
  • Tento postup platí aj pre rovnice so zápornými číslami a zlomkami. Napríklad x/2 + 4 možno zjednodušiť na 1/2(x + 8) a -7x + -21 možno vyfaktorovať na -7(x + 3).

Metóda 2 z 3:Faktorovanie kvadratických rovníc


Uistite sa, že rovnica je v kvadratickom tvare (ax2 + bx + c = 0). Kvadratické rovnice majú tvar ax2 + bx + c = 0, kde a, b a c sú číselné konštanty a a sa nerovná 0 (všimnite si, že a môže rovná 1 alebo -1). Ak máte rovnicu obsahujúcu jednu premennú (x), ktorá má jeden alebo viac členov x na druhú mocninu, zvyčajne môžete členy v rovnici posunúť pomocou základných algebraických operácií, aby ste dostali 0 na jednej strane znamienka rovnosti a ax2 atď. na druhej strane.[4]

  • Uvažujme napríklad algebraickú rovnicu. 5×2 + 7x – 9 = 4×2 + x – 18 môžeme zjednodušiť na x2 + 6x + 9 = 0, čo je v kvadratickom tvare.
  • Rovnice s väčšími mocninami x, ako x3, x4 atď. nemôže byť kvadratická rovnica. Sú to kubické rovnice, kvartové rovnice a tak ďalej, pokiaľ sa rovnica nedá zjednodušiť tak, aby sa eliminovali tieto členy x nad mocninu 2.


V kvadratických rovniciach, kde a = 1, faktorujte na (x+d )(x+e), kde d × e = c a d + e = b. Ak je vaša kvadratická rovnica v tvare x2 + bx + c = 0 (inými slovami, ak je koeficient člena x2 = 1), je možné (ale nie zaručené), že na vynásobenie rovnice možno použiť pomerne jednoduchú skratku. Nájdite dve čísla, ktoré sa obe vynásobia a vytvoria c a sčítajme, aby sme vytvorili b. Keď nájdete tieto dve čísla d a e, dosaďte ich do nasledujúceho výrazu: (x+d)(x+e). Tieto dva členy po vynásobení spolu vytvárajú vašu kvadratickú rovnicu – inými slovami, sú to činitele vašej kvadratickej rovnice.

  • Uvažujme napríklad kvadratickú rovnicu x2 + 5x + 6 = 0. 3 a 2 sa vynásobia a dajú 6 a tiež sa sčítajú a dajú 5, takže túto rovnicu môžeme zjednodušiť na (x + 3)(x + 2).
  • Mierne variácie tejto základnej skratky existujú pre mierne variácie v samotnej rovnici:
    • Ak je kvadratická rovnica v tvare x2-bx+c, vaša odpoveď má tento tvar: (x – _)(x – _).
    • Ak je v tvare x2+bx+c, vaša odpoveď vyzerá takto: (x + _)(x + _).
    • Ak je v tvare x2-bx-c, vaša odpoveď je v tvare (x + _)(x – _).
  • Poznámka: čísla na prázdnych miestach môžu byť zlomky alebo desatinné čísla. Napríklad rovnica x2 + (21/2)x + 5 = 0 je faktormi (x + 10)(x + 1/2).


Ak je to možné, faktorujte kontrolou. Verte alebo nie, pri nekomplikovaných kvadratických rovniciach je jedným z uznávaných spôsobov faktorizácie jednoducho preskúmať úlohu a potom len zvažovať možné odpovede, kým nenájdete tú správnu. Tento postup je známy aj ako faktorizácia kontrolou. Ak je rovnica v tvare ax2+bx+c a a>1, vaša odpoveď bude mať tvar (dx +/- _)(ex +/- _), kde d a e sú nenulové číselné konštanty, ktoré sa násobia a. Buď d, alebo e (alebo oboje) môže byť číslo 1, hoci to tak nemusí byť. Ak sú oba 1, v podstate ste použili vyššie opísanú skratku.[5]

  • Uvažujme o príkladovej úlohe. 3×2 – 8x + 4 sa na prvý pohľad zdá byť zastrašujúce. Keď si však uvedomíme, že 3 má iba dva činitele (3 a 1), bude to jednoduchšie, pretože vieme, že naša odpoveď musí byť v tvare (3x +/- _)(x +/- _). V tomto prípade pripočítaním čísla -2 k obom prázdnym miestam získate správnu odpoveď. -2 × 3x = -6x a -2 × x = -2x. -6x a -2x sa sčítajú do -8x. -2 × -2 = 4, takže vidíme, že vynásobené členy v zátvorkách sa vynásobia a stanú sa pôvodnou rovnicou.


Riešenie dokončením štvorca. V niektorých prípadoch možno kvadratické rovnice rýchlo a jednoducho vyfakturovať pomocou špeciálnej algebraickej identity. Každá kvadratická rovnica v tvare x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Ak je teda vo vašej rovnici hodnota b dvojnásobkom druhej odmocniny z hodnoty c, vašu rovnicu možno rozložiť na (x + (sqrt(c)))2.

  • Napríklad rovnica x2 + 6x + 9 vyhovuje tomuto tvaru. 32 je 9 a 3 × 2 je 6. Takže vieme, že faktorová forma tejto rovnice je (x + 3)(x + 3) alebo (x + 3)2.


Použitie faktorov na riešenie kvadratických rovníc. Bez ohľadu na to, ako vynásobíte svoj kvadratický výraz, po jeho vynásobení môžete nájsť možné odpovede na hodnotu x tak, že každý činiteľ nastavíte na nulu a vyriešite. Keďže hľadáte hodnoty x, ktoré spôsobia, že vaša rovnica sa bude rovnať nule, hodnota x, ktorá spôsobí, že ktorýkoľvek z vašich činiteľov sa bude rovnať nule, je možnou odpoveďou pre vašu kvadratickú rovnicu.

  • Vráťme sa k rovnici x2 + 5x + 6 = 0. Túto rovnicu vyfakturovali na (x + 3)(x + 2) = 0. Ak sa niektorý z činiteľov rovná 0, celá rovnica sa rovná 0, takže naše možné odpovede pre x sú čísla, vďaka ktorým sa (x + 3) a (x + 2) rovnajú 0. Tieto čísla sú -3 a -2.


Skontrolujte svoje odpovede – niektoré z nich môžu byť cudzie! Keď ste našli svoje možné odpovede na x, doplňte ich späť do pôvodnej rovnice a zistite, či sú platné. Niekedy sa nájdu odpovede nie spôsobí, že pôvodná rovnica sa po spätnom dosadení bude rovnať nule. Tieto odpovede nazývame cudzí a nebrať ich do úvahy.

  • Doplňme -2 a -3 do x2 + 5x + 6 = 0. Najprv -2:
    • (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
    • 4 + -10 + 6 = 0
    • 0 = 0. Je to správne, takže -2 je správna odpoveď.
  • Teraz skúsme -3:
    • (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
    • 9 + -15 + 6 = 0
    • 0 = 0. Toto je tiež správne, takže -3 je tiež správna odpoveď.

Metóda 3 z 3:Faktorovanie iných tvarov rovníc


Ak je rovnica v tvare a2-b2, vyfaktorujte ju na (a+b)(a-b). Rovnice s dvoma premennými sa delia inak ako základné štvorice. Pre každú rovnicu a2-b2, kde a a b sa nerovná 0, platí, že rovnica je deliteľná na (a+b)(a-b).

  • Napríklad rovnica 9×2 – 4y2 = (3x + 2y)(3x – 2y).


Ak je rovnica v tvare a2+2ab+b2, vynásobte ju na (a+b)2. Všimnite si, že ak je trojčlen v tvare a22ab+b2, faktorová forma je mierne odlišná: (a-b)2.

  • Rovnicu 4×2 + 8xy + 4y2 možno prepísať ako 4×2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y2. Teraz vidíme, že je v správnom tvare, takže môžeme s istotou povedať, že naša rovnica je deliteľná na (2x + 2y)2

  • Ak je rovnica v tvare a3-b3, vynásobte ju na (a-b)(a2+ab+b2). Na záver treba spomenúť, že kubické rovnice a dokonca aj rovnice vyššieho rádu možno faktorovať, hoci proces faktorizácie sa rýchlo stáva neúnosne komplikovaným.

    • Napríklad 8×3 – 27y3 je faktor (2x – 3y)(4×2 + ((2x)(3y)) + 9y2)
  • Odkazy