3 spôsoby násobenia binómu

Binómy sú malé matematické výrazy zložené z premenného člena (x, a, 3x, 4t, 1090y), ku ktorému sa pripočítava alebo od neho odčítava konštantný člen (1, 3, 110 atď.). Binómy budú vždy obsahovať len 2 členy, ale sú stavebnými kameňmi oveľa väčších a zložitejších rovníc známych ako polynómy, preto je nesmierne dôležité sa ich dobre naučiť. Táto lekcia sa bude zaoberať niekoľkými typmi binomického násobenia, ale všetky sa môžete naučiť aj samostatne.

Metóda 1 z 3:Násobenie dvoch binómov


Porozumieť matematickej slovnej zásobe a typom otázok. Otázky v ďalšom teste nebude možné vyriešiť, ak nebudete vedieť, na čo sa pýtajú. Našťastie, terminológia nie je neuveriteľne zložitá:

  • Podmienky: Člen je jednoducho časť rovnice, ktorá sa pridáva alebo odoberá. Môže to byť konštanta, premenná alebo oboje. Napríklad v sústave 12 + 13x + 4×2 sú členy 12, 13x, a 4×2.[1]
  • binómu: Toto je len komplikovaný spôsob, ako povedať „výraz s dvoma členmi“, napr x+3 alebo x4 – 3x.[2]
  • Mocniny: to sa týka exponentu na termíne.[3]
    Napríklad môžeme povedať, že x2 je „x na druhá mocnina.
  • Každá otázka, v ktorej sa od vás žiada: „Nájdite členy dvoch dvojčlenov (x+3)(x+2)“, „nájdite súčin dvoch dvojčlenov“ alebo „rozložte dva dvojčleny“, od vás žiada, aby ste vynásobili dvojčlen.


Naučte sa skratku FOIL, aby ste si zapamätali poradie binomického násobenia. FOIL je jednoduchý návod na násobenie dvoch dvojčlenov. FOIL znamená poradie, v akom je potrebné vynásobiť časti dvojčlenov: F je pre Prvý, O je pre Vonkajšie, I je pre Vnútorný, a L je pre Posledný. Názvy odkazujú na poradie, v akom sú výrazy zapísané. Povedzme, že násobíme binómy (x+2) a (x+5). Členmi by boli: [4]

  • Prvý: x & x
  • Vonkajšie: x & 5
  • Vnútorné: 2 & x
  • Posledný: 2 & 5


Vynásobte PRVÚ časť v každej zátvorke.[5]
Toto je „F“ z FOIL. V našom príklade (x+2)(x+5) sú prvé členy „x“ a „x“.“ Vynásobte ich spolu a zapíšte si odpoveď: „x2.“

  • Prvý člen: x * x = x2


Vynásobte VONKAJŠIE časti v každej zátvorke.[6]
Toto sú dva krajné „konce“ v našom probléme. Takže v našom príklade (x+2)(x+5) by to boli „x“ a „5.“ Spolu tvoria „5x“

  • Vonkajší člen: x * 5 = 5x


Vynásobte INNER časti v každej zátvorke.[7]
Dve čísla najbližšie k stredu budú vaším vnútorným členom. Pre (x+2)(x+5) to znamená, že vynásobením „2“ a „x“ dostaneme „2x.“

  • Vnútorný člen: 2 * x = 2x


Vynásobte posledné časti v každej zátvorke.[8]
Toto robí nie znamená posledné dve čísla, ale skôr posledné číslo v každej zátvorke. Takže v prípade (x+2)(x+5) vynásobíme „2“ a „5“, aby sme dostali „10.“

  • 2 * 5 = 10


Sčítajte všetky nové členy spolu. Skombinujte výrazy tak, že ich sčítate a vytvoríte nový, väčší výraz.[9]
Z nášho predchádzajúceho príkladu dostaneme rovnicu:

  • x2 + 5x + 2x + 10


Zjednodušte podobné členy. Podobné členy sú časti rovnice, ktoré majú rovnakú premennú a mocninu. V našom príklade majú výrazy 2x a 5x spoločný znak x a možno ich sčítať. Žiadne ďalšie výrazy nie sú podobné, takže zostávajú na mieste.

  • Konečná odpoveď: (x+2)(x+5) = x2 + 7x + 10
  • Poznámka pre pokročilých: Ak sa chcete naučiť, ako podobné členy fungujú, spomeňte si na základy násobenia. 3 * 5 napríklad znamená, že sčítate tri päťky, aby ste dostali 15 (5 + 5 + 5). V našej rovnici máme 5 * x ( x + x + x + x + x + x) a 2 * x (x + x). Ak spočítame všetky „x“ v rovnici, dostaneme sedem „x“, teda 7x.


Zapamätajte si, že odčítané čísla sú záporné. Keď sa číslo odčíta, je to rovnaké ako pripočítanie záporného čísla. Ak zabudnete zachovať znamienko mínus počas celého výpočtu, dostanete nesprávnu odpoveď. Vezmime si príklad (x+3)(x-2):

  • Prvý: x * x = x2
  • Vonkajšie: x * -2 = -2x
  • Vnútorné: 3 * x = 3x
  • Naposledy: 3 * -2 = -6
  • Sčítajte všetky členy dohromady: x2 – 2x + 3x – 6
  • Zjednodušte na konečnú odpoveď: x2 + x – 6

Metóda 2 z 3:Násobenie viac ako dvoch dvojčlenov


Vynásobte prvé dva binómy, pričom tretí dočasne ignorujte.[10]
Vezmite si príklad (x+4)(x+1)(x+3). Potrebujeme vynásobiť dvojčleny po jednom, takže vynásobíme ľubovoľné dva buď FOILom, alebo rozdelením členov. Násobenie prvých dvoch, (x+4) a (x+1) pomocou FOIL by vyzeralo takto:

  • Po prvé: x*x = x2
  • Vonkajší: 1*x = x
  • Vnútorné: 4*x = 4x
  • Posledný: 1*4 = 4
  • Spojte členy: x2 + x + 4x + 4
  • (x+4)(x+1) = x2 + 5x +4


Spojte zvyšný binomický počet s vašou novou rovnicou.[11]
Teraz, keď je táto časť rovnice vynásobená, môžete spracovať zvyšok binómu. V príklade (x+4)(x+1)(x+3) bol zvyšný člen (x+3). Vráťte ho späť spolu s novou rovnicou, čím získate: (x+3)(x2 + 5x + 4).


Vynásobte prvé číslo v binóme všetkými tromi číslami v druhej zátvorke. Toto je rozdelenie členov. Takže pre rovnicu (x+3)(x2 + 5x + 4) musíte vynásobiť prvé x tromi časťami druhej zátvorky: „x2“, „5x“ a „4“.“

  • (x * x2) + (x * 5x) + (x * 4) = x3 + 5×2 + 4x
  • Zapíšte si túto odpoveď a uložte si ju na neskôr.


Vynásobte druhé číslo v dvojčlennej rovnici všetkými tromi číslami v druhej zátvorke. Vezmite rovnicu: (x+3)(x2 + 5x + 4). Teraz vynásobte druhú časť binómu všetkými tromi časťami v ostatných zátvorkách: „x2“, „5x“ a „4“.“

  • (3 * x2) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3×2 + 15x + 12
  • Zapíšte túto odpoveď vedľa prvej odpovede.


Súčet dvoch odpovedí z násobenia. Odpovede z predchádzajúcich dvoch krokov musíte spojiť, pretože tvoria dve časti vašej konečnej odpovede.

  • x3 + 5×2 + 4x + 3×2 + 15x + 12


Zjednodušte rovnicu, aby ste dostali konečnú odpoveď. Všetky „podobné“ výrazy, teda výrazy, ktoré majú rovnakú premennú a mocninu (napr. 5×2 a 3×2), môžeme sčítať, aby sme si zjednodušili odpoveď.[12]

  • Z 5×2 a 3×2 sa stane 8×2
  • zo 4x a 15x sa stane 19x
  • (x+4)(x+1)(x+3) = x3 + 8×2 + 19x + 12


Pri riešení väčších úloh na násobenie vždy používajte rozdelenie. Keďže rozloženie členov môžete použiť na násobenie rovníc ľubovoľnej dĺžky, máte teraz k dispozícii nástroje potrebné na riešenie väčších problémov, ako napríklad (x+1)(x+2)(x+3). Vynásobte ľubovoľné dva dvojčleny pomocou rozdelenia členov alebo FOIL, potom použite rozdelenie členov na vynásobenie konečného dvojčlena s prvými dvoma. V nasledujúcom príklade vynásobíme (x+1)(x+2), potom rozdelíme členy pomocou (x+3), aby sme dostali konečnú odpoveď:

  • (x+1)(x+2)(x+3) = (x+1)(x+2) * (x+3)
  • (x+1)(x+2) = x2 + 3x + 2
  • (x+1)(x+2)(x+3) = (x2 + 3: + 2) * (x+3)
  • (x2 + 3x + 2) * (x+3) = x3 + 3×2 + 2x + 3×2 + 9x + 6
  • Zjednodušte na konečnú odpoveď: x3 + 6×2 + 11x + 6

Metóda 3 z 3:Odmocňovanie binómov


Vedieť zostaviť „všeobecné vzorce.“ Všeobecné vzorce vám umožňujú jednoducho dosadiť čísla namiesto toho, aby ste zakaždým počítali FOIL. Binómy, ktoré sú zvýšené na druhú mocninu, ako napríklad (x+2)2, alebo na tretiu mocninu, ako napríklad (4y+12)3, sa dajú ľahko dosadiť do už existujúceho vzorca, čím je riešenie rýchle a jednoduché. Aby sme našli všeobecný vzorec, nahradíme všetky čísla premennými. Potom na konci môžeme naše čísla zapojiť späť a získať odpoveď. Začnite s rovnicou (a + b)2, kde:

  • a znamená premenný člen (t. j. 4y – 1, 2×2 + 3, atď.) Ak neexistuje žiadne číslo, potom a = 1, pretože 1 * x = x.
  • b znamená konštantu, ktorá sa sčítava alebo odčítava (t. j. x + 10, t – 12).


Vedzte, že štvorcové binómy sa dajú prepísať.[13]
(a + b)2 môže vyzerať zložitejšie ako náš predchádzajúci príklad, ale nezabudnite, že odmocňovanie čísla je len jeho vynásobenie samým sebou. Rovnicu teda môžeme prepísať tak, aby vyzerala známejšie:

  • (a + b)2 = (a + b)(a + b)


Na riešenie novej rovnice použite FOIL.[14]
Ak na túto rovnicu použijeme fóliu, dostaneme všeobecný vzorec, ktorý vyzerá ako riešenie ľubovoľného binomického násobenia. Nezabudnite, že pri násobení nezáleží na poradí, v akom násobíte.

  • Prepíš ako (a+b)(a+b).
  • Po prvé: a * a = a2
  • Vnútorná: b * a = ba
  • Vonkajšie: a * b = ab
  • Naposledy: b * b = b2.
  • Pridajte nové členy: a2 + ba + ab + b2
  • Spojte podobné členy: a2 + 2ab + b2
  • Poznámka pre pokročilých: Exponenty a radikály sa považujú za hyper-3 operácie, zatiaľ čo násobenie a delenie sú hyper-2. To znamená, že vlastnosti násobenia a delenia nefungujú pre exponenty. (a+b)2 sa nerovná a2 + b2. Toto je veľmi častá chyba medzi ľuďmi.


Na riešenie úloh použite všeobecnú rovnicu a2 + 2ab + b2. Vezmime si rovnicu (x+2)2. Namiesto toho, aby sme robili FOIL znova, môžeme dosadiť prvý člen za „a“ a druhý člen za „b“,

  • Všeobecná rovnica: a2 + 2ab + b2
  • a = x, b = 2
  • x2 + (2 * x * 2) + 22
  • Konečná odpoveď: x2 + 4x + 4.
  • Svoju prácu si vždy môžete skontrolovať vykonaním FOIL na pôvodnej rovnici, (x+2)(x+2). Pri správnom postupe dostanete vždy rovnakú odpoveď.
  • Ak je člen odčítaný, vo všeobecnej rovnici ho stále musíte ponechať záporný.

  • Nezabudnite do všeobecnej rovnice vložiť celý výraz. Pri danom binóme (2x+3)2 si musíte pamätať, že a = 2x, nie jednoducho a = 2. Keď máte zložené členy, musíte si uvedomiť, že 2 aj x sú štvorce.

    • Všeobecná rovnica: a2 + 2ab + b2
    • Nahraďte a a b: (2x)2 + 2(2x)(3) + 32
    • Každý člen vynásobte štvorcom: (22)(x2) + 14x + 32
    • Zjednodušte na konečnú odpoveď: 4×2 + 14x + 9
  • Odkazy