Pravidlo kosínusu je bežne používané pravidlo v trigonometrii. Môže sa použiť na skúmanie vlastností nepravouhlých trojuholníkov, a tak umožňuje zistiť chýbajúce informácie, ako sú dĺžky strán a merania uhlov. Vzorec je podobný Pytagorovej vete a pomerne ľahko sa zapamätá. Pravidlo kosínusu hovorí, že pre ľubovoľný trojuholník,
.
Obsah
Kroky
Metóda 1 z 3:Hľadanie chýbajúcej dĺžky strany
Posúďte, aké hodnoty poznáte. Na zistenie chýbajúcej dĺžky strany trojuholníka potrebujete poznať dĺžky ďalších dvoch strán, ako aj veľkosť uhla medzi nimi.[1]
- Môžete mať napríklad trojuholník XYZ. Strana YX je dlhá 5 cm. Strana YZ je dlhá 9 cm. Uhol Y je 89 stupňov. Ako dlhá je strana XZ?
Zostavte vzorec pre kosínusové pravidlo. Tento zákon sa nazýva aj kosínusový zákon. Vzorec je
. V tomto vzorci,
sa rovná chýbajúcej dĺžke strany a
sa rovná kosínusu uhla oproti chýbajúcej dĺžke strany. Premenné
a
sú dĺžky dvoch známych strán.[2]
Dosadiť známe hodnoty do vzorca. Premenné
a
sú dve známe dĺžky strán. Premenná
je známy uhol, ktorý by mal byť uhlom medzi
a
.[3]
- Keďže chýba napríklad dĺžka strany XZ, táto dĺžka strany bude znamenať
vo vzorci. Keďže strany YX a YZ sú známe, tieto dve dĺžky strán budú
a
. Nezáleží na tom, na ktorej strane je ktorá premenná. Premenná
je uhol Y. Váš vzorec by teda mal vyzerať takto:
.
Nájdite kosínus známeho uhla. Urobte to pomocou funkcie kosínus kalkulačky. Jednoducho zadajte veľkosť uhla a potom stlačte tlačidlo
tlačidlo. Ak nemáte vedeckú kalkulačku, môžete si na internete nájsť tabuľku kosínusov, napríklad na webovej stránke Physics Lab.[4]
Do vyhľadávača Google môžete tiež jednoducho zadať „cosinus x stupňov“ (namiesto x zadajte uhol) a vyhľadávač vám vráti výpočet.
- Napríklad kosínus 89 je približne 0.01745. Túto hodnotu dosaďte do vzorca:
.
Dokončite potrebné násobenie. Násobíte
podľa známeho kosínusu uhla.
- Napríklad:
Súčet štvorcov známych strán. Nezabudnite, že keď číslo odmocníte, vynásobíte ho samým sebou. Najprv vytvorte štvorček z týchto dvoch čísel a potom ich sčítajte.
- Napríklad:
Odčítanie týchto dvoch hodnôt. Takto získate hodnotu
.
- Napríklad:
Vezmite druhú odmocninu z rozdielu. Na tento krok budete pravdepodobne chcieť použiť kalkulačku, pretože číslo, z ktorého hľadáte druhú odmocninu, bude mať veľa desatinných miest. Odmocnina sa rovná dĺžke chýbajúcej strany trojuholníka.[5]
- Napríklad:
Takže chýbajúca dĺžka strany,
, je 10.2191 cm dlhý.
Metóda 2 z 3:Hľadanie chýbajúceho uhla
Posúďte, aké hodnoty poznáte. Ak chcete nájsť chýbajúci uhol trojuholníka pomocou kosínusového pravidla, musíte poznať dĺžky všetkých troch strán trojuholníka.[6]
- Môžete mať napríklad trojuholník RST. Strana SR je dlhá 8 cm. Strana ST je dlhá 10 cm. Strana RT je dlhá 12 cm. Aký je rozmer uhla S?
Vytvorte vzorec pre kosínusové pravidlo. Vzorec je
. V tomto vzorci,
sa rovná kosínusu uhla, ktorý sa snažíte nájsť. Premenná
sa rovná strane oproti chýbajúcemu uhlu. Premenné
a
sú dĺžky ďalších dvoch strán.[7]
Určte hodnoty
,
, a
. Tieto hodnoty dosaďte do vzorca.[8]
- Napríklad, keďže strana RT je oproti chýbajúcemu uhlu, uhlu S, strana RT sa bude rovnať
vo vzorci. Ostatné dve dĺžky strán budú
a
. Nezáleží na tom, na ktorej strane je ktorá premenná. Váš vzorec by teda mal vyzerať takto:
.
Dokončite potrebné násobenie. Násobíte
krát kosínus chýbajúceho uhla, ktorý ešte nepoznáte. Takže premenná by mala zostať.
- Napríklad,
.
Nájdite štvorec
. Pamätajte si, že ak chcete číslo odmocniť, vynásobíte ho samým sebou.
- Napríklad,
Sčítajte štvorce
a
. Uistite sa, že ste najprv každé číslo odmocnili a potom ich sčítali.
- Napríklad:
Izolujte kosínus chýbajúceho uhla. Na tento účel odpočítajte súčet
a
z oboch strán rovnice. Potom vydeľte každú stranu rovnice koeficientom kosínusu chýbajúceho uhla.
- Ak chcete napríklad izolovať kosínus chýbajúceho uhla, odčítajte 164 od oboch strán rovnice a potom každú stranu vydeľte -160:
Nájdite inverzný kosínus. Takto získate meranie chýbajúceho uhla.[9]
Na kalkulačke sa inverzný kosínusový kľúč označuje takto
.
- Napríklad inverzný kosínus .0125 je 82.8192. Takže chýbajúci uhol, uhol S, je 82.8192 stupňov.
Metóda 3 z 3:Riešenie vzorových úloh
Nájdite chýbajúcu dĺžku strany trojuholníka. Dve známe dĺžky strán sú 20 a 17 cm. Uhol medzi týmito dvoma stranami je 68 stupňov.
- Keďže poznáte dve dĺžky strán a uhol medzi nimi, môžete použiť pravidlo kosínusu. Nastavte vzorec:
.
- Chýbajúca dĺžka strany je
. Ostatné hodnoty dosadíme do vzorca:
.
- Použite poradie operácií na nájdenie
:
- Odmocnina z oboch strán rovnice. Takto získame chýbajúcu dĺžku strany:
Takže chýbajúca dĺžka strany je 20.8391 cm dlhý.
Nájdite uhol H v trojuholníku GHI. Dve strany susediace s uhlom H sú dlhé 22 a 16 cm. Strana protiľahlá uhlu H je 13 centimetrov (5.1 v) dlhé.
- Keďže poznáte všetky tri dĺžky strán, môžete použiť kosínusové pravidlo. Nastavte vzorec:
.
- Strana oproti chýbajúcemu uhlu je
. Všetky hodnoty dosaďte do vzorca:
.
- Na zjednodušenie výrazu použite poradie operácií:
- Izolujte kosínus:
- Nájdite inverzný kosínus. Takto získate chýbajúci uhol:
.
Takže uhol H je približne 35.7985 stupňov.
Nájdite chýbajúcu dĺžku trasy. Duny, hrebene a močaristá cesta tvoria trojuholník. Cesta po dunách je dlhá 3 míle. Hrebeňový chodník je dlhý 5 míľ. Dune Trail a Ridge Trail sa stretávajú na svojich severných koncoch pod uhlom 135 stupňov. Blatová cesta spája ďalšie dva konce ciest. Ako dlhý je chodník Bog?
- Dráhy tvoria trojuholník a vy máte nájsť chýbajúcu dĺžku dráhy, ktorá je ako strana trojuholníka. Keďže poznáte dĺžku ďalších dvoch stôp a viete, že sa stretávajú pod uhlom 135 stupňov, môžete použiť kosínusové pravidlo.
- Nastavte vzorec:
.
- Chýbajúca dĺžka strany (Bog Trail) je
. Do vzorca dosaďte ostatné hodnoty:
.
- Použite poradie operácií na vyhľadanie
:
- Zoberte druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Takto získame chýbajúcu dĺžku strany:
Takže, Bog Trail je asi 7.4306 míľ dlhý.
Odkazy
https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/furthertrigonometryhirev2.shtml
https://www.khanacademy.org/math/geometria/hs-geo-trig/hs-geo-zákon o kosínusoch/v/zákon o kosínusoch-príklad
http://dev.physicslab.org/Dokument.aspx?doctype=3&filename=IntroductoryMathematics_TrigonometryTable.xml
https://www.khanacademy.org/math/geometria/hs-geo-trig/hs-geo-zákon-kozínov/v/zákon-kozínov-príklad
https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-cosine-law.html
http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/geometry/furthertrigonometryhirev2.shtml
https://www.khanacademy.org/math/geometria/hs-geo-trig/hs-geo-zákon-kozínov/v/zákon-kozínov-vynechania-úhlu