3 spôsoby použitia pravidla kosínusu

Pravidlo kosínusu je bežne používané pravidlo v trigonometrii. Môže sa použiť na skúmanie vlastností nepravouhlých trojuholníkov, a tak umožňuje zistiť chýbajúce informácie, ako sú dĺžky strán a merania uhlov. Vzorec je podobný Pytagorovej vete a pomerne ľahko sa zapamätá. Pravidlo kosínusu hovorí, že pre ľubovoľný trojuholník,

c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

.

Metóda 1 z 3:Hľadanie chýbajúcej dĺžky strany


Posúďte, aké hodnoty poznáte. Na zistenie chýbajúcej dĺžky strany trojuholníka potrebujete poznať dĺžky ďalších dvoch strán, ako aj veľkosť uhla medzi nimi.[1]

  • Môžete mať napríklad trojuholník XYZ. Strana YX je dlhá 5 cm. Strana YZ je dlhá 9 cm. Uhol Y je 89 stupňov. Ako dlhá je strana XZ?


Zostavte vzorec pre kosínusové pravidlo. Tento zákon sa nazýva aj kosínusový zákon. Vzorec je

c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

. V tomto vzorci,

c{\displaystyle c}

sa rovná chýbajúcej dĺžke strany a

cosC{\displaystyle \cos {C}}

sa rovná kosínusu uhla oproti chýbajúcej dĺžke strany. Premenné

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sú dĺžky dvoch známych strán.[2]


Dosadiť známe hodnoty do vzorca. Premenné

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sú dve známe dĺžky strán. Premenná

C{\displaystyle C}

je známy uhol, ktorý by mal byť uhlom medzi

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

.[3]

  • Keďže chýba napríklad dĺžka strany XZ, táto dĺžka strany bude znamenať
    c{\displaystyle c}

    vo vzorci. Keďže strany YX a YZ sú známe, tieto dve dĺžky strán budú

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    . Nezáleží na tom, na ktorej strane je ktorá premenná. Premenná

    C{\displaystyle C}

    je uhol Y. Váš vzorec by teda mal vyzerať takto:

    c2=52+922(5)(9)cos89{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)\cos {89}}

    .


Nájdite kosínus známeho uhla. Urobte to pomocou funkcie kosínus kalkulačky. Jednoducho zadajte veľkosť uhla a potom stlačte tlačidlo

COS{\displaystyle COS}

tlačidlo. Ak nemáte vedeckú kalkulačku, môžete si na internete nájsť tabuľku kosínusov, napríklad na webovej stránke Physics Lab.[4]
Do vyhľadávača Google môžete tiež jednoducho zadať „cosinus x stupňov“ (namiesto x zadajte uhol) a vyhľadávač vám vráti výpočet.

  • Napríklad kosínus 89 je približne 0.01745. Túto hodnotu dosaďte do vzorca:
    c2=52+922(5)(9)(0.01745){\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0.01745)}

    .


Dokončite potrebné násobenie. Násobíte

2ab{\displaystyle 2ab}

podľa známeho kosínusu uhla.

  • Napríklad:
    c2=52+922(5)(9)(0.01745){\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0.01745)}

    c2=52+921.5707{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-1.5707}


Súčet štvorcov známych strán. Nezabudnite, že keď číslo odmocníte, vynásobíte ho samým sebou. Najprv vytvorte štvorček z týchto dvoch čísel a potom ich sčítajte.

  • Napríklad:
    c2=52+921.5707{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-1.5707}

    c2=25+811.5707{\displaystyle c^{2}=25+81-1.5707}

    c2=1061.5707{\displaystyle c^{2}=106-1.5707}


Odčítanie týchto dvoch hodnôt. Takto získate hodnotu

c2{\displaystyle c^{2}}

.

  • Napríklad:
    c2=1061.5707{\displaystyle c^{2}=106-1.5707}

    c2=104.4293{\displaystyle c^{2}=104.4293}


Vezmite druhú odmocninu z rozdielu. Na tento krok budete pravdepodobne chcieť použiť kalkulačku, pretože číslo, z ktorého hľadáte druhú odmocninu, bude mať veľa desatinných miest. Odmocnina sa rovná dĺžke chýbajúcej strany trojuholníka.[5]

  • Napríklad:
    c2=104.4293{\displaystyle c^{2}=104.4293}

    c2=104.4293{\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {104.4293}}}

    c=10.2191{\displaystyle c=10.2191}

    Takže chýbajúca dĺžka strany,

    c{\displaystyle c}

    , je 10.2191 cm dlhý.

Metóda 2 z 3:Hľadanie chýbajúceho uhla


Posúďte, aké hodnoty poznáte. Ak chcete nájsť chýbajúci uhol trojuholníka pomocou kosínusového pravidla, musíte poznať dĺžky všetkých troch strán trojuholníka.[6]

  • Môžete mať napríklad trojuholník RST. Strana SR je dlhá 8 cm. Strana ST je dlhá 10 cm. Strana RT je dlhá 12 cm. Aký je rozmer uhla S?


Vytvorte vzorec pre kosínusové pravidlo. Vzorec je

c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

. V tomto vzorci,

cosC{\displaystyle \cos {C}}

sa rovná kosínusu uhla, ktorý sa snažíte nájsť. Premenná

c{\displaystyle c}

sa rovná strane oproti chýbajúcemu uhlu. Premenné

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sú dĺžky ďalších dvoch strán.[7]


Určte hodnoty

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

. Tieto hodnoty dosaďte do vzorca.[8]

  • Napríklad, keďže strana RT je oproti chýbajúcemu uhlu, uhlu S, strana RT sa bude rovnať
    c{\displaystyle c}

    vo vzorci. Ostatné dve dĺžky strán budú

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    . Nezáleží na tom, na ktorej strane je ktorá premenná. Váš vzorec by teda mal vyzerať takto:

    122=82+1022(8)(10)cosC{\displaystyle 12^{2}=8^{2}+10^{2}-2(8)(10)\cos {C}}

    .


Dokončite potrebné násobenie. Násobíte

2ab{\displaystyle 2ab}

krát kosínus chýbajúceho uhla, ktorý ešte nepoznáte. Takže premenná by mala zostať.

  • Napríklad,
    122=82+102160cosC{\displaystyle 12^{2}=8^{2}+10^{2}-160\cos {C}}

    .


Nájdite štvorec

c{\displaystyle c}

. Pamätajte si, že ak chcete číslo odmocniť, vynásobíte ho samým sebou.

  • Napríklad,
    144=82+102160cosC{\displaystyle 144=8^{2}+10^{2}-160\cos {C}}


Sčítajte štvorce

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

. Uistite sa, že ste najprv každé číslo odmocnili a potom ich sčítali.

  • Napríklad:
    144=64+100160cosC{\displaystyle 144=64+100-160\cos {C}}

    144=164160cosC{\displaystyle 144=164-160\cos {C}}


Izolujte kosínus chýbajúceho uhla. Na tento účel odpočítajte súčet

a2{\displaystyle a^{2}}

a

b2{\displaystyle b^{2}}

z oboch strán rovnice. Potom vydeľte každú stranu rovnice koeficientom kosínusu chýbajúceho uhla.

  • Ak chcete napríklad izolovať kosínus chýbajúceho uhla, odčítajte 164 od oboch strán rovnice a potom každú stranu vydeľte -160:
    144164=164164160cosC{\displaystyle 144-164=164-164-160\cos {C}}

    20=160cosC{\displaystyle -20=-160\cos {C}}

    20160=160cosC160{\displaystyle {\frac {-20}{-160}}={\frac {-160\cos {C}}{-160}}}

    0.125=cosC{\displaystyle 0.125=\cos {C}}


Nájdite inverzný kosínus. Takto získate meranie chýbajúceho uhla.[9]
Na kalkulačke sa inverzný kosínusový kľúč označuje takto

COS1{\displaystyle COS^{-1}}

.

  • Napríklad inverzný kosínus .0125 je 82.8192. Takže chýbajúci uhol, uhol S, je 82.8192 stupňov.

Metóda 3 z 3:Riešenie vzorových úloh


Nájdite chýbajúcu dĺžku strany trojuholníka. Dve známe dĺžky strán sú 20 a 17 cm. Uhol medzi týmito dvoma stranami je 68 stupňov.

  • Keďže poznáte dve dĺžky strán a uhol medzi nimi, môžete použiť pravidlo kosínusu. Nastavte vzorec:
    c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

    .

  • Chýbajúca dĺžka strany je
    c{\displaystyle c}

    . Ostatné hodnoty dosadíme do vzorca:

    c2=202+1722(20)(17)cos68{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)\cos {68}}

    .

  • Použite poradie operácií na nájdenie
    c2{\displaystyle c^{2}}

    :

    c2=202+1722(20)(17)cos68{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)\cos {68}}

    c2=202+1722(20)(17)(.3746){\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)(.3746)}

    c2=202+172254.7325{\displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-254.7325}

    c2=400+289254.7325{\displaystyle c^{2}=400+289-254.7325}

    c2=689254.7325{\displaystyle c^{2}=689-254.7325}

    c2=434.2675{\displaystyle c^{2}=434.2675}
  • Odmocnina z oboch strán rovnice. Takto získame chýbajúcu dĺžku strany:
    c2=434.2675{\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {434.2675}}}

    c=20.8391{\displaystyle c=20.8391}

    Takže chýbajúca dĺžka strany je 20.8391 cm dlhý.


Nájdite uhol H v trojuholníku GHI. Dve strany susediace s uhlom H sú dlhé 22 a 16 cm. Strana protiľahlá uhlu H je 13 centimetrov (5.1 v) dlhé.

  • Keďže poznáte všetky tri dĺžky strán, môžete použiť kosínusové pravidlo. Nastavte vzorec:
    c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

    .

  • Strana oproti chýbajúcemu uhlu je
    c{\displaystyle c}

    . Všetky hodnoty dosaďte do vzorca:

    132=222+1622(22)(16)cosC{\displaystyle 13^{2}=22^{2}+16^{2}-2(22)(16)\cos {C}}

    .

  • Na zjednodušenie výrazu použite poradie operácií:
    132=222+162704cosC{\displaystyle 13^{2}=22^{2}+16^{2}-704\cos {C}}

    132=484+256704cosC{\displaystyle 13^{2}=484+256-704\cos {C}}

    169=484+256704cosC{\displaystyle 169=484+256-704\cos {C}}

    169=740704cosC{\displaystyle 169=740-704\cos {C}}
  • Izolujte kosínus:
    169740=740740704cosC{\displaystyle 169-740=740-740-704\cos {C}}

    571=704cosC{\displaystyle -571=-704\cos {C}}

    571704=704cosC704{\displaystyle {\frac {-571}{-704}}={\frac {-704\cos {C}}{-704}}}

    0.8111=cosC{\displaystyle 0.8111=\cos {C}}
  • Nájdite inverzný kosínus. Takto získate chýbajúci uhol:
    0.8111=cosC{\displaystyle 0.8111=\cos {C}}

    35.7985=COS1{\displaystyle 35.7985=COS^{-1}}

    .
    Takže uhol H je približne 35.7985 stupňov.


  • Nájdite chýbajúcu dĺžku trasy. Duny, hrebene a močaristá cesta tvoria trojuholník. Cesta po dunách je dlhá 3 míle. Hrebeňový chodník je dlhý 5 míľ. Dune Trail a Ridge Trail sa stretávajú na svojich severných koncoch pod uhlom 135 stupňov. Blatová cesta spája ďalšie dva konce ciest. Ako dlhý je chodník Bog?

    • Dráhy tvoria trojuholník a vy máte nájsť chýbajúcu dĺžku dráhy, ktorá je ako strana trojuholníka. Keďže poznáte dĺžku ďalších dvoch stôp a viete, že sa stretávajú pod uhlom 135 stupňov, môžete použiť kosínusové pravidlo.
    • Nastavte vzorec:
      c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

      .

    • Chýbajúca dĺžka strany (Bog Trail) je
      c{\displaystyle c}

      . Do vzorca dosaďte ostatné hodnoty:

      c2=32+522(3)(5)cos135{\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)\cos {135}}

      .

    • Použite poradie operácií na vyhľadanie
      c2{\displaystyle c^{2}}

      :

      c2=32+522(3)(5)cos135{\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)\cos {135}}

      c2=32+522(3)(5)(0.7071){\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)(-0.7071)}

      c2=32+52(21.2132){\displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-(-21.2132)}

      c2=9+25+21.2132{\displaystyle c^{2}=9+25+21.2132}

      c2=55.2132{\displaystyle c^{2}=55.2132}
    • Zoberte druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Takto získame chýbajúcu dĺžku strany:
      c2=55.2132{\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {55.2132}}}

      c=7.4306{\displaystyle c=7.4306}

      Takže, Bog Trail je asi 7.4306 míľ dlhý.

  • Odkazy