3 spôsoby použitia pravouhlej trigonometrie

Pravouhlá trigonometria je užitočná pri riešení trojuholníkov a je základnou súčasťou trigonometrie vo všeobecnosti. Pomocou pomerov, ktoré vyplývajú z pravouhlého trojuholníka, a pochopením aplikácie jednotkovej kružnice môžete riešiť najrôznejšie problémy týkajúce sa uhlov a dĺžok. Musíte vytvoriť systém modelovania problému s pravouhlým trojuholníkom. Potom vyberte najlepší trigonometrický vzťah na vyriešenie vášho problému.

Metóda 1 z 3:Používanie trigonometrických funkcií na meranie vzdialeností


Vytvorte model pravouhlého trojuholníka. Trigonometrické funkcie možno použiť na modelovanie reálnych situácií týkajúcich sa dĺžok a uhlov. Prvým krokom je definovať situáciu pomocou modelu pravouhlého trojuholníka.[1]

  • Predpokladajme, že máte napríklad nasledujúci problém:
    • Stúpate na kopec. Viete, že vrchol kopca je 500 metrov nad základňou, a viete, že uhol stúpania je 15 stupňov. Akú vzdialenosť musíte prejsť, aby ste dosiahli vrchol?
    • Nakreslite pravouhlý trojuholník a označte jeho časti. Zvislé rameno je výška kopca. Vrchol tohto ramena predstavuje vrchol kopca. Šikmá strana trojuholníka, hypotenzíva, je stúpacia cesta.


Určite známe časti trojuholníka. Keď máš svoj náčrt a označil si jeho časti, musíš k nim priradiť hodnoty, ktoré poznáš.

  • Pri probléme kopca vám bolo povedané, že vertikálna výška je 500 metrov. Označte zvislé rameno trojuholníka 500 m.
  • Je vám povedané, že uhol stúpania je 15 stupňov. Toto je uhol medzi základňou (spodnou odvesnou) trojuholníka a preponou.
  • Máte nájsť vzdialenosť výstupu, ktorá je dĺžkou prepony trojuholníka. Označte túto neznámu ako
    x{\displaystyle x}

    .


Zostavte trigonometrickú rovnicu. Preskúmajte informácie, ktoré poznáte, a to, čo sa snažíte naučiť, a vyberte trigonometrickú funkciu, ktorá ich spája. Napríklad funkcia sínus spája uhol, jeho protiľahlú stranu a hypotezu. Funkcia kosínus spája uhol, jeho susednú stranu a preponou. Funkcia dotyčnice spája dve ramená bez hypotenzy.

  • V úlohe s výstupom na kopec by ste mali rozpoznať, že poznáte základný uhol a zvislú výšku trojuholníka, takže by ste mali vedieť, že použijete funkciu sínus. Problém si nastavte takto: [2]
  • sinθ=protiľahlýHypoteza{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}}
  • sin15=500Hypotéza{\displaystyle \sin 15={\frac {500}{\text{hypotenuse}}}}


Vyriešte neznámu hodnotu. Použite základné algebrické manipulácie na zmenu usporiadania rovnice s cieľom vyriešiť neznámu hodnotu. Potom použijete buď tabuľku trigonometrických hodnôt, alebo kalkulačku, aby ste našli hodnotu sínusu uhla, ktorú poznáte.[3]

  • Ak chcete zistiť dĺžku stúpania do kopca, vyriešte rovnicu pre dĺžku hypotenzy.
    • sin15=500Hypotenuse{\displaystyle \sin 15={\frac {500}{\text{hypotenuse}}}}
    • Hypotéza=500sin15{\displaystyle {\text{hypotenuse}}={\frac {500}{\sin 15}}}
    • Hypotenzia=5000.259{\displaystyle {\text{hypotenuse}}={\frac {500}{0.259}}}
    • Hypotéza=1930{\displaystyle {\text{hypotenuse}}=1930}


Interpretujte a uveďte svoj výsledok. Pri akejkoľvek slovnej úlohe nie je získanie číselnej odpovede koncom riešenia. Svoju odpoveď musíte uviesť v termínoch, ktoré dávajú zmysel pre daný problém, s použitím správnych jednotiek.[4]

  • V prípade problému kopca riešenie 1930 znamená, že dĺžka stúpania je 1930 metrov.


Vyriešte ďalší problém na precvičenie. Uvažujte ešte o jednom probléme, zostavte diagram a potom vyriešte neznámu dĺžku.[5]

  • Prečítajte si problém. Predpokladajme, že uhoľný sloj pod vaším pozemkom zviera uhol 12 stupňov a vychádza na povrch vo vzdialenosti 6 kilometrov. Ako hlboko musíte kopať rovno dole, aby ste sa dostali k uhliu pod svojím pozemkom?
  • Vytvorte diagram. Táto úloha v skutočnosti stanovuje obrátený pravouhlý trojuholník. Vodorovná základňa predstavuje úroveň zeme. Zvislé rameno predstavuje hĺbku pod vaším pozemkom a hypotalamus je uhol 12 stupňov, ktorý sa zvažuje k uhoľnému sloju.
  • Označte známe a neznáme hodnoty. Viete, že vodorovné rameno je 6 kilometrov (3.7 mi) a meranie uhla je 12 stupňov. Chcete vyriešiť dĺžku zvislého ramena.
  • Nastaviť trigonometrickú rovnicu. V tomto prípade je neznámou hodnotou, ktorú chcete vyriešiť, zvislé rameno a vodorovné rameno poznáte. Trigonometrická funkcia, ktorá využíva dve ramená, je tangens.
    • tanθ=oprotisusedné{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}}
    • tan12=opačný6{\displaystyle \tan 12={\frac {\text{opposite}}{6}}}
  • Vyriešte neznámu hodnotu.
    • oproti=tan126{\displaystyle {\text{opposite}}=\tan 12*6}
    • oproti=0.2136{\displaystyle {\text{opposite}}=0.213*6}
    • protiľahlá=1.278{\displaystyle {\text{opposite}}=1.278}
  • Interpretujte svoj výsledok. Dĺžky v tejto úlohe sú v jednotkách kilometrov. Vaša odpoveď je teda 1.278 kilometrov (0.794 mi). Odpoveď na otázku je, že musíte vykopať 1.278 kilometrov (0.794 míľ) priamo nadol, aby sa dostal k uhoľnému sloju.

Metóda 2 z 3:Použitie inverzných funkcií na výpočet uhlov


Prečítajte si úlohu s neznámym uhlom. Trigonometriu možno použiť aj na výpočet merania uhlov. Postup je podobný, ale úloha bude požadovať zmeranie neznámeho uhla.

  • Uvažujte o nasledujúcej úlohe:
    • V určitom dennom čase vrhá 200 metrov vysoký stožiar na vlajku tieň dlhý 80 metrov. Aký je uhol slnka v tomto dennom čase?


Načrtnite pravouhlý trojuholník a označte jeho časti. Nezabudnite, že trigonometrické úlohy sú založené na geometrii pravouhlých trojuholníkov. Nakreslite pravouhlý trojuholník na znázornenie problému a označte známe a neznáme hodnoty.

  • V prípade problému so stožiarom je zvislým ramenom samotný stožiar. Označte jej výšku 200 stôp. Vodorovná základňa trojuholníka predstavuje dĺžku tieňa. Označte základňu 80 stôp. Hypotéza v tomto prípade nepredstavuje žiadnu fyzikálnu mieru, ale je to dĺžka od vrcholu stožiara po koniec tieňa. To poskytne uhol pohľadu, ktorý chcete vyriešiť. Označte tento uhol, medzi hypotenúzou a základňou, uhol
    θ{\displaystyle \theta }

    .


Nastavte trigonometrickú rovnicu. Musíte si zopakovať, ktoré časti trojuholníka poznáte a ktoré musíte vyriešiť. To vám pomôže vybrať správnu trigonometrickú funkciu, ktorá vám pomôže nájsť neznámu hodnotu.

  • V prípade stožiara poznáte zvislú výšku a vodorovnú základňu, ale nepoznáte hypotenziu. Funkcia, ktorá využíva pomer dvoch ramien, je tangens.
  • Rovnicu dotyčnice zostavte takto:
    • tanθ=opačnepriľahlý{\\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}}
    • tanθ=20080{\displaystyle \tan \theta ={\frac {200}{80}}}
    • tanθ=2.5{\displaystyle \tan \theta =2.5}


Použite inverznú trigonometrickú funkciu na riešenie merania uhla. Keď potrebujete zistiť mieru samotného uhla, budete musieť použiť tzv. inverznú trigonometrickú funkciu. Inverzné funkcie sa označujú ako „oblúkové“ funkcie. Sú to arcsin, arccos a arctan.

  • Na kalkulačke sa tieto funkcie zobrazia ako
    sin1{\displaystyle sin^{-1}}

    ,

    cos1{\displaystyle cos^{-1}}

    a

    tan1{\displaystyle tan^{-1}}

    . Zadáte hodnotu a potom stlačíte príslušné tlačidlo a dostanete mieru uhla. Niektoré kalkulačky sa líšia. Na niektorých najprv zadáte hodnotu a potom tlačidlo arctan. Na niektorých sa zadáva arctan a potom hodnota. Budete musieť určiť, ktorý postup je vhodný pre vašu kalkulačku.

    • tanθ=2.5{\displaystyle \tan \theta =2.5}
    • θ=arctan2.5{\displaystyle \theta =\arctan 2.5}
    • θ=68.2{\a6}Prevádzka \theta =68.2}


Interpretujte svoj výsledok. Keďže ste riešili meranie uhla, jednotka vášho výsledku bude v stupňoch. Skontrolujte, či vaša odpoveď dáva zmysel.

  • Na základe tohto riešenia je uhol medzi Zemou a Slnkom 68.2 stupňov. Na poludnie je slnko priamo nad hlavou, čo by znamenalo uhol 90 stupňov, takže toto riešenie sa zdá byť rozumné.


Vytvorte ďalšiu úlohu s neznámym uhlom. Vždy, keď je neznámym činiteľom miera uhla, použijete inverznú trigonometrickú funkciu. Postup je vo všeobecnosti vždy rovnaký.

  • Prečítajte si problém. Pravouhlý trojuholník s ramenami dlhými 3 a 4 palce má preponou dlhú 5 palcov. Aká je miera uhla oproti 3 palcovej nohe?
  • Náčrt problému. V tomto prípade sa problém týka jednoducho rozmerov trojuholníka. Nakreslite pravouhlý trojuholník a označte známe informácie. Jedna noha je 3, druhá noha je 4 a hypoteza je 5. Neznámy uhol je v tomto probléme ostrý uhol oproti 3 palcovému ramenu.
  • Zostavte trigonometrickú rovnicu. V tomto prípade, keďže poznáte všetky tri strany trojuholníka, máte vlastne na výber funkcie. Máte k dispozícii údaje, ktoré potrebujete na použitie niektorej z funkcií sin, cos alebo tan, a to nasledovne:
    • sinθ=oprotihypotenuse{\\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opozitív}}{\text{hypotenuse}}}}
    • cosθ=susednéHypotéza{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}}
    • tanθ=opačnýmsusedné{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}}


Vložte známe hodnoty a vyriešte neznámy uhol. V tomto prípade pokračujte v riešení pomocou všetkých troch funkcií, aby ste nakoniec zistili, že všetky tri rôzne funkcie dospeli k rovnakému záveru pre hodnotu uhla

θ{\displaystyle \theta }

.

  • Najskôr nastavte riešenie pomocou
    sin{\displaystyle \sin }

    funkcie:

    • sinθ=opačnýhypotenuse{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}}
    • sinθ=35{\displaystyle \sin \theta ={\frac {3}{5}}}
    • sinθ=0.6{\displaystyle \sin \theta =0.6}
  • Ďalej nastavte riešenie pomocou
    cos{\displaystyle \cos }

    funkcia:

    • cosθ=susednéHypotenzia{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{príloha}}{\text{hypotenuse}}}}
    • cosθ=45{\displaystyle \cos \theta ={\frac {4}{5}}}
    • cosθ=0.8{\displaystyle \cos \theta =0.8}
  • Nakoniec nastavte riešenie pomocou
    tan{\displaystyle \tan }

    funkcie:

    • tanθ=opačnesusedné{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}}
    • tanθ=34{\displaystyle \tan \theta ={\frac {3}{4}}}
    • tanθ=0.75{\\displaystyle \tan \theta =0.75}


Pomocou kalkulačky alebo trigonometrickej tabuľky nájdite hodnoty oblúkových funkcií na riešenie miery uhla.

  • Nájdite mieru pomocou
    arcsin{\displaystyle \arcsin }

    :

    • hriechθ=0.6{\displaystyle \sin \theta =0.6}
    • θ=arcsin0.6{\displaystyle \theta =\arcsin 0.6}
    • θ=36.9{\displaystyle \theta =36.9}
  • Nájdite mieru pomocou
    arccos{\displaystyle \arccos }

    :

    • cosθ=0.8{\displaystyle \cos \theta =0.8}
    • θ=arccos0.8{\displaystyle \theta =\arccos 0.8}
    • θ=36.9{\\displaystyle \theta =36.9}
  • Nájdite mieru pomocou
    arctan{\displaystyle \arctan }

    :

    • tanθ=0.75{\displaystyle \tan \theta =0.75}
    • θ=arctan0.75{\displaystyle \theta =\arctan 0.75}
    • θ=36.9{\displaystyle \theta =36.9}


Skontrolujte svoje výsledky. V tejto úlohe, keďže ste začali s uhlom a rozmermi všetkých troch strán, ste mohli úlohu vyriešiť tromi rôznymi spôsobmi. Na nájdenie odpovede by stačil ktorýkoľvek z nich samotný. Riešením všetkých troch úloh zistíte, že riešenie je rovnaké v oboch prípadoch. V tomto prípade je zvolený uhol 36.9 stupňov.

Metóda 3 z 3:Definovanie základných funkcií


Porozumieť jednotkovej kružnici. Trigonometria je založená na matematickom koncepte jednotkovej kružnice. Toto je kružnica narysovaná v súradnicovej rovine x-y so stredom v bode (0,0) s polomerom 1. Nastavením polomeru rovného 1 možno trigonometrické funkcie merať priamo.[6]

  • Ak si predstavíte jednotkovú kružnicu, akýkoľvek bod na tejto kružnici vytvorí pravouhlý trojuholník. Z vybraného bodu na kružnici narysujte zvislú čiaru priamo na os x. Potom z tohto bodu na osi x nakreslite vodorovnú čiaru spájajúcu sa s počiatkom. Tieto dve priamky, zvislá a vodorovná, slúžia ako ramená pravouhlého trojuholníka. Polomer kružnice, ktorá spája bod na kružnici so stredom v počiatku, je prepona pravouhlého trojuholníka.
  • Trigonometrické funkcie stále platia pre trojuholníky a dĺžky iné ako 1, ale nastavením polomeru rovného 1 je výpočet pomerov priamejší.


Naučte sa vzťah sínus. Funkcia sínus je pomer odvesny oproti zvolenému uhlu k hypotenuse pravouhlého trojuholníka. Na jednotkovej kružnici je sínus spôsob merania vertikálnej vzdialenosti od osi x k určenému bodu. To je iný spôsob, ako povedať, že ide o y-ovú súradnicu zvoleného bodu.[7]

  • Sínus uhla sa bežne označuje skratkou „sin.“ Uhol merania sa často označuje
    θ{\displaystyle \theta }

    , podľa konvencie, takže poviete, že meriate

    sinθ{\displaystyle \sin \theta }

    alebo

    sin(θ){\displaystyle sin(\theta )}

    .

  • Ak si napríklad vyberiete uhol, tzv
    θ{\displaystyle \theta }

    , 30 stupňov v strede jednotkovej kružnice, označilo by to bod na kružnici so súradnicami

    (32,12){\displaystyle ({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})}

    . Potom môžete povedať, že

    sinθ=12{\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{2}}}

    .[8]


Preskúmajte funkciu kosínus. Funkcia kosínus je pomer odvesny priľahlej k zvolenému uhlu vydelený hypotenzou pravouhlého trojuholníka. Na jednotkovej kružnici je kosínus dĺžkou vodorovného ramena, ktoré je zároveň súradnicou osi x bodu na kružnici.[9]

  • Kosínus uhla sa bežne označuje skratkou „cos.“ Hovoríte, že meriate
    cosθ{\displaystyle \cos \theta }

    alebo

    cos(θ){\displaystyle \cos(\theta )}

    .

  • Ak napríklad vyberiete uhol
    θ{\displaystyle \theta }

    30 stupňov v strede jednotkovej kružnice, označilo by to bod na kružnici so súradnicami

    (32,12){\displaystyle ({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})}

    . Potom môžete povedať, že

    cosθ=32{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}}

    .[10]


Pochopte funkciu tangens. Treťou spoločnou trigonometrickou funkciou je tangens. Dotyčnica je vzájomný pomer dvoch ramien pravouhlého trojuholníka bez vzťahu k ich prepone. Konkrétne pre zvolený uhol pravouhlého trojuholníka sa tangens nájde tak, že sa dĺžka odvesny protiľahlej k zvolenému uhlu vydelí odvesnou priľahlou k zvolenému uhlu. Na jednotkovej kružnici sa dotyčnica rovná súradnici y delenej súradnicou x.[11]

  • Funkcia tangens sa často skracuje ako „tan.“ Pre vybraný uhol
    θ{\displaystyle \theta }

    , hovoríte, že meriate

    tanθ{\displaystyle \tan \theta }

    alebo

    tan(θ){\displaystyle \tan(\theta )}

    .

  • Pre príklad uhla
    θ{\displaystyle \theta }

    30 stupňov v strede jednotkovej kružnice si pripomeňme, že súradnice sú

    (32,12){\displaystyle ({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})}

    . Tangens nájdete tak, že vydelíte sínus (súradnica y) kosínusom (súradnica x) nasledovne:

    • tanθ=1232=33=0.577{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}=0.577}

      .[12]

    • Všimnite si, že uvedenie výsledku v podobe zlomku s druhou odmocninou, ako napr
      33{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}

      sa vo všeobecnosti považuje za presnejšie a správnejšie ako zaokrúhľovanie na desatinné číslo, napr. 0.577. Na praktické účely môže byť prijateľné trojmiestne desatinné číslo.


Preskúmajte ostatné pomery. Príležitostne môžete potrebovať iné pomery ako kosínus, sinus a tangens. Tieto alternatívne funkcie sú inverznými funkciami prvých troch. V základných výpočtoch sa používajú menej často. Pri pokročilejšej trigonometrickej práci sa však stávajú nevyhnutnými. Tieto funkcie sú:[13]

  • Sekanta. Toto sa skracuje ako „sec“ a rovná sa
    1cos{\displaystyle {\frac {1}{cos}}}

    .

  • Cosecant. Kosekant sa označuje skratkou „csc“ a rovná sa
    1sin{\displaystyle {\frac {1}{sin}}}

    .

  • Kotangens. Funkcia kotangens sa skracuje ako „cot“ a rovná sa
    1tan{\displaystyle {\frac {1}{tan}}}

    .


  • Naučte sa mnemotechnickú pomôcku SOHCAHTOA. Pri snahe zapamätať si pomery základných funkcií sin, cos a tan mnohí študenti používajú pamäťovú pomôcku „SOHCAHTOA.“ Po rozdelení na časti poskytuje nasledovné pomery:

    • SOH je skratka pre iniciály sin, opačný, hypotenuse a pripomína pomer:
      • sin=oprotihypotenuse{\displaystyle \sin ={\frac {\text{opozitív}}{\text{hypotenuse}}}}
    • CAH znamená iniciály cos, adjacent, hypotenuse, ako je uvedené nižšie:
      • cos=susednéhypotenuse{\displaystyle \cos ={\frac {\text{priľahlý}}{\text{hypotenuse}}}}
    • TOA je skratka pre iniciály tan, opačný, susedný a predstavuje pomer:
      • tan=opačnesusedné{\displaystyle \tan ={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}}
  • Odkazy