3 spôsoby pridávania alebo odoberania vektorov

Mnohé bežné fyzikálne veličiny sú často vektory alebo skaláre. Vektory sú podobné šípkam a pozostávajú z kladnej veľkosti (dĺžky) a, čo je dôležité, smeru. na druhej strane skaláre sú len číselné hodnoty, niekedy prípadne záporné. Všimnite si, že hoci sú veľkosti vektorov kladné alebo možno nulové, zložky vektorov môžu byť samozrejme záporné, čo naznačuje smer vektora opačný k súradnicovému alebo referenčnému smeru.
Príklady vektorov: sila, rýchlosť, zrýchlenie, posunutie, hmotnosť, magnetické pole atď.
Príklady skalárov: hmotnosť, teplota, rýchlosť, vzdialenosť, energia, napätie, elektrický náboj, tlak v kvapaline atď.
Zatiaľ čo skaláre sa dajú sčítať priamo ako čísla (napr.g. 5 kJ práce plus 6 kJ sa rovná 11 kJ ; alebo 9 voltov plus mínus 3 volty dáva 6 voltov: +9v plus -3v dáva +6v ), vektory sa sčítajú alebo odčítajú o niečo zložitejšie, hoci kolineárne vektory sú jednoduché a správajú sa ako sčítanie čísel, ktoré môžu byť záporné. Nižšie nájdete niekoľko spôsobov, ako riešiť sčítanie a odčítanie vektorov.

Metóda 1 z 3:Sčítanie a odčítanie vektorov so známymi zložkami


Vyjadrite vektor v podobe zložiek v niektorom súradnicovom systéme zvyčajne x, y a prípadne z v bežnom dvojrozmernom alebo trojrozmernom priestore (v niektorých matematických situáciách je možná aj vyššia dimenzionalita). Tieto zložky sa zvyčajne vyjadrujú pomocou zápisu podobného tomu, ktorý sa používa na opis bodov v súradnicovom systéme (e.g. <x,y,z>, atď.). Ak sú tieto časti známe, sčítanie alebo odčítanie vektorov je len jednoduchým sčítaním alebo odčítaním zložiek x, y a z.[1]

  • Všimnite si, že vektory môžu byť 1-, 2- alebo 3-rozmerné. Vektory teda môžu mať zložku x, zložku x a y alebo zložku x, y a z.
  • Povedzme, že máme dva trojrozmerné vektory, vektor A a vektor B. Tieto vektory by sme mohli zapísať v zložkách ako A = <Ax,Ay,Az > a B = <Bx,By,Bz>, podľa toho použite zložky x y z.


Ak chceme sčítať dva vektory, jednoducho sčítame ich zložky. Inými slovami, pripočítajte zložku x prvého vektora k zložke x druhého vektora a tak ďalej pre y a z. Odpovede, ktoré dostanete pri sčítaní zložiek x, y a z vašich pôvodných vektorov, sú zložkami x, y a z vášho nového vektora.[2]

  • Vo všeobecnosti, A+B = <Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz>.
  • Sčítajme dva vektory A a B. Príklad: A = <5, 9, -10> a B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, alebo <22, 6, -12>.


Ak chcete odčítať dva vektory, odčítajte ich zložky. Všimnite si, že odčítanie jedného vektora od druhého A-B možno považovať za pridanie „opačného“ vektora A+(-B).[3]

  • Vo všeobecnosti, A-B = <Ax-Bx,Ay-By,Az-Bz>
  • Odčítajme dva vektory A a B. A = <18, 5, 3> a B = <10, 9, -10>. A – B = <18-10, 5-9, 3-(-10)>, alebo <8, -4, 13>.

Metóda 2 z 3:Sčítanie a odčítanie vizuálne pomocou metódy od hlavy k chvostu


Vizuálne reprezentujte vektory tak, že ich nakreslíte s hlavou a chvostom. Keďže vektory majú veľkosť a smer, prirovnávajú sa k šípkam s chvostom a hlavou a dĺžkou. Možno povedať, že vektory majú „počiatočný bod“ a „koncový bod“. „Ostrý hrot“ šípky je hlava vektora a „základňa“ šípky je chvost.[4]

  • Pri kreslení vektora v mierke musíte dbať na presné meranie a kreslenie všetkých uhlov. Nesprávne nakreslené uhly povedú k zlým odpovediam.


Ak chcete sčítať 2 vektory, nakreslite druhý vektor B tak, aby sa jeho chvost stretol s hlavou prvého vektora A. Toto sa označuje ako spojenie vektorov „hlava k chvostu“. Ak sčítavate iba dva vektory, stačí pred nájdením výsledného vektora A+B urobiť toto. Vektor B môže byť potrebné posunúť do polohy bez zmeny jeho orientácie, čo sa nazýva paralelný transport.

  • Všimnite si, že nie je dôležité, v akom poradí vektory spojíte. Vektor A + vektor B = vektor B + vektor A


Ak chcete odčítať, pripočítajte „zápornú“ časť vektora. Vizuálne odčítanie vektorov je pomerne jednoduché. Jednoducho obráťte smer vektora, ale zachovajte jeho veľkosť a pripočítajte ho k svojmu vektoru od hlavy k päte ako za normálnych okolností. Inými slovami, ak chcete vektor odčítať, otočte vektor o 180o a pripočítajte ho.[5]


Ak sčítate alebo odčítate viac ako dva vektory, spojte všetky ostatné vektory postupne hlava-nehlava. Na poradí, v akom vektory spojíte, vlastne nezáleží. Túto metódu možno použiť pre ľubovoľný počet vektorov.[6]


Získanie výsledku: Nakreslite nový vektor od chvosta prvého vektora po hlavu posledného vektora. Či už sčítavate/odčítavate dva vektory alebo sto vektorov, vektor tiahnuci sa od pôvodného počiatočného bodu (chvost prvého vektora) po koncový bod vášho konečného pridaného vektora (hlava posledného vektora) je výsledný alebo súčet všetkých vašich vektorov.[7]
Všimnite si, že tento vektor je totožný s vektorom získaným sčítaním zložiek x, y a možno aj z všetkých vektorov zvlášť.

  • Ak ste nakreslili všetky vektory v mierke a presne odmerali všetky uhly, môžete zistiť veľkosť výsledného vektora zmeraním jeho dĺžky. Môžete tiež zmerať uhol, ktorý výslednica zviera buď so zadaným vektorom, alebo s horizontálou/vertikálou atď. aby ste zistili jeho smer.
  • Ak ste nenakreslili všetky vektory v mierke, pravdepodobne budete musieť vypočítať veľkosť výslednice pomocou trigonometrie. Pravidlo pre sínus a kosínus vám môže byť nápomocné tu.[8]
    Ak sčítavate viac ako dva vektory, je užitočné najprv sčítať dva, potom sčítať ich výslednicu s tretím vektorom a tak ďalej. Viac informácií nájdete v nasledujúcej časti.


Predstavte svoj výsledný vektor prostredníctvom jeho veľkosti a smeru.[9]
Vektory sú definované svojou dĺžkou a smerom. Ako bolo uvedené vyššie, za predpokladu, že ste vektory nakreslili presne, veľkosť vášho nového vektora je jeho dĺžka a jeho smer je jeho uhol vzhľadom na zvislicu, vodorovnú rovinu atď. Použite jednotky vašich sčítaných alebo odčítaných vektorov na výber jednotiek pre veľkosť vášho výsledného vektora.[10]

  • Ak napríklad vektory, ktoré sme sčítali, predstavujú rýchlosti v ms-1, mohli by sme definovať náš výsledný vektor ako „rýchlosť x ms-1 pri yo k horizontále“.

Metóda 3 z 3:Sčítanie a odčítanie vektorov pomocou hľadania zložiek


Použite trigonometriu na nájdenie zložiek vektora. Na nájdenie zložiek vektora je zvyčajne potrebné poznať jeho veľkosť a smer vzhľadom na horizontálu alebo vertikálu a mať praktické znalosti trigonometrie. Najprv vezmeme dvojrozmerný vektor: stanovte alebo si predstavte svoj vektor ako preponou pravouhlého trojuholníka, ktorého zvyšné dve strany sú rovnobežné s osami x a y. Tieto dve strany si môžete predstaviť ako zložkové vektory s hlavou a pätou, ktoré sa sčítajú a vytvoria váš pôvodný vektor.[11]

  • Dĺžky oboch strán sa rovnajú veľkostiam zložiek x a y vášho vektora a možno ich vypočítať pomocou trigonometrie. Ak x je veľkosť vektora, strana susediaca s uhlom vektora (vzhľadom na horizontálu, vertikálu atď.) uhol je xcos(θ), pričom protiľahlá strana je xsin(θ).
  • Dôležité je tiež všimnúť si smer zložiek. Ak zložka ukazuje v zápornom smere jednej z vašich osí, dostane záporné znamienko. Napríklad v dvojrozmernej rovine, ak zložka smeruje doľava alebo nadol, má záporné znamienko.
  • Povedzme napríklad, že máme vektor s veľkosťou 3 a smerom 135o vzhľadom na horizontálu. Na základe týchto informácií môžeme určiť, že jeho zložka x je 3cos(135) = -2.12 a jeho zložka y je 3sin(135) = 2.12


Sčítajte alebo odčítajte zodpovedajúce zložky dvoch alebo viacerých vektorov.[12]
Keď ste zistili zložky všetkých vašich vektorov, jednoducho sčítajte ich veľkosti, aby ste zistili zložky vášho výsledného vektora. Najprv sčítajte všetky veľkosti horizontálnych zložiek (tých, ktoré sú rovnobežné s osou x). Samostatne sčítajte všetky veľkosti vertikálnych zložiek (tých, ktoré sú rovnobežné s osou y). Ak má zložka záporné znamienko (-), jej veľkosť sa odčíta, a nie pripočíta. Odpovede, ktoré ste dostali, sú zložky vášho výsledného vektora.

  • Povedzme napríklad, že náš vektor z predchádzajúceho kroku, <-2.12, 2.12>, sa pripočítava k vektoru <5.78, -9>. V tomto prípade by náš výsledný vektor bol <-2.12+5.78, 2.12-9>, alebo <3.66, -6.88>.


Vypočítajte veľkosť výsledného vektora pomocou Pytagorovej vety.[13]
Pytagorova veta, c2=a2+b2, rieši dĺžky strán pravouhlých trojuholníkov. Keďže trojuholník vytvorený naším výsledným vektorom a jeho zložkami je pravouhlý trojuholník, môžeme ho použiť na zistenie dĺžky nášho vektora, a teda jeho veľkosti. Pomocou stránky c ako veľkosť výsledného vektora, ktorú riešite, nastavte a ako veľkosť jeho zložky x a b ako veľkosť jeho zložiek y. Riešenie pomocou algebry.

  • Ak chcete zistiť veľkosť vektora, ktorého zložky sme našli v predchádzajúcom kroku, <3.66, -6.88>, použime Pytagorovu vetu. Riešte nasledujúcim spôsobom:
    • c2=(3.66)2+(-6.88)2
    • c2=13.40+47.33
    • c=√60.73 = 7.79


Vypočítajte smer výslednice pomocou funkcie tangens.[14]
Nakoniec nájdite smer výsledného vektora. Použite vzorec θ=tan-1(b/a), kde θ je uhol, ktorý výslednica zviera s osou x alebo horizontálou, b je veľkosť zložky y a a je veľkosť zložky x.

  • Na zistenie smeru nášho vzorového vektora použime θ=tan-1(b/a).
    • θ=tan-1(-6.88/3.66)
    • θ=tan-1(-1.88)
    • θ=-61.99o

  • Zobrazte svoj výsledný vektor prostredníctvom jeho veľkosti a smeru.[15]
    Ako bolo uvedené vyššie, vektory sú definované svojou veľkosťou a smerom. Nezabudnite používať správne jednotky pre veľkosť vášho vektora.

    • Ak by náš príklad vektora predstavoval silu (v newtonoch), potom by sme ho mohli napísať napríklad takto „sila 7.79 N a -61.99o do horizontálnej polohy“.
  • Odkazy