3 spôsoby riešenia exponenciálnych rovníc

Exponenciálne rovnice môžu vyzerať hrozivo, ale ich riešenie si vyžaduje len základné znalosti algebry. Rovnice s exponentmi, ktoré majú rovnaký základ, sa dajú vyriešiť rýchlo. V iných prípadoch je potrebné na riešenie použiť logaritmy. Aj tento spôsob je však jednoduchý s pomocou vedeckej kalkulačky.

Metóda 1 z 3:Vyrovnanie dvoch exponentov s rovnakým základom


Určte, či majú dva exponenty rovnaký základ. Základom je veľké číslo v exponenciálnom výraze.[1]
Túto metódu môžete použiť len vtedy, keď máte k dispozícii rovnicu, ktorá má na oboch stranách exponent a každý exponent má rovnaký základ.

  • Napríklad,
    65+y=63{\displaystyle 6^{5+y}=6^{3}}

    má exponent na oboch stranách rovnice a každý exponent má rovnaký základ (6).


Základ ignorujte. Keďže exponenty sú rovnaké a majú rovnaký základ, ich exponenty sa musia rovnať. Preto môžete ignorovať základ a napísať rovnicu len pre exponenty.[2]

  • Napríklad v rovnici
    65+y=63{\displaystyle 6^{5+y}=6^{3}}

    , keďže oba exponenty majú rovnaký základ, napíšeme rovnicu pre exponenty:

    5+y=3{\displaystyle 5+y=3}

    .


Vyriešte rovnicu. Aby ste to mohli urobiť, musíte premennú izolovať. Nezabudnite, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou rovnice.

  • Napríklad:
    5+y=3{\displaystyle 5+y=3}

    5+y5=35{\displaystyle 5+y-5=3-5}

    y=2{\displaystyle y=-2}


Skontrolujte svoju prácu. Aby ste sa uistili, že vaša odpoveď je správna, dosaďte zistenú hodnotu premennej späť do pôvodnej rovnice a výraz zjednodušte. Obe strany by sa mali rovnať.

  • Ak ste napríklad zistili, že
    y=2{\displaystyle y=-2}

    , by ste nahradili

    2{\displaystyle -2}

    pre

    y{\displaystyle y}

    v pôvodnej rovnici:

    65+y=63{\displaystyle 6^{5+y}=6^{3}}

    652=63{\displaystyle 6^{5-2}=6^{3}}

    63=63{\displaystyle 6^{3}=6^{3}}

Metóda 2 z 3:Rovnanie exponentu a celého čísla


Izolujte exponenciálny výraz. Uistite sa, že na jednej strane rovnice je exponenciálny výraz a na druhej strane je celé číslo. Ak nie, musíte rovnicu prepracovať tak, aby exponent bol sám na jednej strane.

  • Ak sa napríklad snažíte vyriešiť
    3x52=79{\displaystyle 3^{x-5}-2=79}

    , musíte najprv izolovať

    3x5{\displaystyle 3^{x-5}}

    pripočítaním 2 na každú stranu rovnice:

    3x52=79{\displaystyle 3^{x-5}-2=79}

    3x52+2=79+2{\displaystyle 3^{x-5}-2+2=79+2}

    3x5=81{\displaystyle 3^{x-5}=81}


Prepíšte rovnicu. Musíte zistiť, či sa dá celé číslo previesť na exponent s rovnakým základom ako druhý exponent.[3]
Ak takto nemôžete previesť celé číslo, nemôžete použiť túto metódu.

  • Pozrite sa napríklad na rovnicu
    3x5=81{\displaystyle 3^{x-5}=81}

    . Musíte zmeniť 81 na exponent so základom 3, aby sa zhodoval s druhým exponenciálnym výrazom v rovnici. Po vynásobení 3 by ste mali vidieť, že

    3×3×3×3=81{\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=81}

    , takže

    34=81{\displaystyle 3^{4}=81}

    . Nová rovnica potom bude mať tvar

    3x5=34{\displaystyle 3^{x-5}=3^{4}}

    .


Napíšte rovnicu len pre exponenty. Keďže ste previedli celé číslo, máte teraz dva exponenciálne výrazy s rovnakým základom. Keďže základy sú rovnaké, môžete ich ignorovať a sústrediť sa na exponenty.

  • Napríklad, keďže
    3x5=34{\displaystyle 3^{x-5}=3^{4}}

    má dva exponenty so základom 3, môžete základ ignorovať a jednoducho sa pozrieť na rovnicu

    x5=4{\displaystyle x-5=4}

    .


Vyriešte premennú. Na to je potrebné izolovať premennú na jednej strane rovnice. Uistite sa, že čokoľvek urobíte s jednou stranou, urobíte aj s druhou stranou.

  • Napríklad:
    x5=4{\displaystyle x-5=4}

    x5+5=4+5{\displaystyle x-5+5=4+5}

    x=9{\displaystyle x=9}


Skontrolujte si svoju prácu. Správnosť svojej odpovede zistíte tak, že nájdené riešenie dosadíte späť do pôvodnej rovnice. Po zjednodušení každého výrazu by sa mali obe strany rovnice rovnať. Ak nie sú, zle ste vypočítali a musíte to skúsiť znova.

  • Ak ste napríklad zistili, že
    x=9{\displaystyle x=9}

    , by ste zapojili

    9{\displaystyle 9}

    pre

    x{\displaystyle x}

    v pôvodnej rovnici a zjednodušiť:

    3x5=81{\displaystyle 3^{x-5}=81}

    395=81{\displaystyle 3^{9-5}=81}

    34=81{\displaystyle 3^{4}=81}

    81=81{\displaystyle 81=81}

Metóda 3 z 3:Použitie logov pre výrazy bez rovnakého základu


Uistite sa, že exponenciálny výraz je izolovaný. Na jednej strane rovnice by mal byť exponent, na druhej celé číslo. Ak nie, upravte rovnicu tak, aby exponent bol len na jednej strane.

  • Napríklad je potrebné izolovať výraz
    43+x{\displaystyle 4^{3+x}}

    v rovnici

    43+x8=17{\displaystyle 4^{3+x}-8=17}

    tak, že k obom stranám pripočítate 8:

    43+x8=17{\displaystyle 4^{3+x}-8=17}

    43+x8+8=17+8{\displaystyle 4^{3+x}-8+8=17+8}

    43+x=25{\displaystyle 4^{3+x}=25}


Prepíšte rovnicu. Nastavte rovnicu tak, aby ste brali logaritmus oboch strán. Logaritmus je inverzný exponent.[4]
. Logaritmus so základom 10 môžete nájsť pomocou väčšiny vedeckých kalkulačiek. Zatiaľ len prepisujete rovnicu, pričom uvádzate, že beriete logaritmus každej strany.

  • Napríklad, ak zoberiete logaritmus základov 10 z oboch strán
    43+x=25{\displaystyle 4^{3+x}=25}

    , rovnicu by ste prepísali takto:

    log43+x=log25{\displaystyle {\text{log}}4^{3+x}={\text{log}}25}

    .


Prepíšte logaritmus exponentu. prepíšeme ho pomocou pravidla

logar=rloga{\displaystyle {\text{log}}a^{r}=r{\text{log}}a}

. Takýto prepis exponenciálneho výrazu vám umožní zjednodušiť a vyriešiť rovnicu. Logy zatiaľ nepočítajte.

  • Napríklad,
    log43+x=log25{\displaystyle {\text{log}}4^{3+x}={\text{log}}25}

    možno prepísať ako

    (3+x)log4=log25{\displaystyle (3+x){\text{log}}4={\text{log}}25}


Izolácia premennej. Na vyriešenie je potrebné prepísať rovnicu tak, aby jedna strana obsahovala premennú a druhá strana obsahovala všetky čísla. Každú stranu rovnice budete musieť vydeliť logaritmom exponenciálneho výrazu. K obom stranám budete tiež musieť pripočítať alebo odčítať akékoľvek konštanty a vykonať ďalšie potrebné operácie.

  • Ak chcete napríklad izolovať
    x{\displaystyle x}

    v

    (3+x)log4=log25{\displaystyle (3+x){\text{log}}4={\text{log}}25}

    , musíte najprv každú stranu rovnice vydeliť

    log4{\displaystyle {\text{log}}4}

    , potom od oboch strán odpočítajte 3:

    (3+x)log4=log25{\displaystyle (3+x){\text{log}}4={\text{log}}25}

    (3+x)log4log4=log25log4{\displaystyle (3+x){\frac {{\text{log}}4}{{\text{log}}4}}={\frac {{\text{log}}25}{{\text{log}}4}}}

    3+x=log25log4{\displaystyle 3+x={\frac {{\text{log}}25}{{{text{log}}4}}}

    3+x3=log25log43{\displaystyle 3+x-3={\frac {{\text{log}}25}{{\text{log}}4}}-3}

    x=log25log43{\displaystyle x={\frac {{\text{log}}25}{{{text{log}}4}}-3}


Nájdite logaritmy v rovnici. Môžete to urobiť pomocou vedeckej kalkulačky. Zadajte číslo, ktorého logaritmus hľadáte, a potom stlačte tlačidlo

LOG{\displaystyle {\text{LOG}}}

tlačidlo. Prepíšte rovnicu s použitím týchto nových hodnôt pre logaritmy.

  • Napríklad, ak chcete nájsť
    log25{\displaystyle {\text{log}}25}

    , stlačte

    25{\displaystyle 25}

    , potom

    LOG{\displaystyle {\text{LOG}}

    na kalkulačke, aby ste dostali približne 1.3979. Nájsť

    log4{\displaystyle {\text{log}}4}

    , hit

    4{\displaystyle 4}

    , potom

    LOG{\displaystyle {\text{LOG}}}

    na kalkulačke, aby ste dostali približne 0.602. Vaša nová rovnica teraz bude mať tvar

    x=1.39790.6023{\displaystyle x={\frac {1.3979}{0.602}}-3}

    .


  • Dokončite výpočty. Takto získate hodnotu premennej. Vaša odpoveď bude približná, pretože pri hľadaní logov ste zaokrúhľovali. Pri výpočtoch nezabudnite používať poradie operácií. Ďalšie pokyny na výpočet pomocou poradia operácií nájdete v časti Vyhodnotenie výrazu pomocou PEMDAS.

    • Napríklad v
      x=1.39790.6023{\displaystyle x={\frac {1.3979}{0.602}}-3}

      najprv by ste mali vydeliť a potom odčítať:

      x=1.39790.6023{\displaystyle x={\frac {1.3979}{0.602}}-3}

      x=2.3223{\displaystyle x=2.322-3}

      x=0.678{\displaystyle x=-0.678}

      .

  • Odkazy