3 spôsoby riešenia exponentov

Exponenty sa používajú, keď sa číslo násobí samým sebou. Namiesto zápisu

44444{\displaystyle 4*4*4*4*4}

, môžete však jednoducho napísať

45{\displaystyle 4^{5}}

. Tento postup je vysvetlený v nasledujúcej metóde „Riešenie základných exponentov“. Exponenty uľahčujú zápis dlhých alebo zložitých výrazov alebo rovníc a tiež môžete ľahko sčítavať a odčítavať exponenty na zjednodušenie úloh podľa potreby, keď ste sa naučili pravidlá (napr:

4243=45{\displaystyle 4^{2}*4^{3}=4^{5}}

).
Poznámka: Ak chcete riešiť exponenciálne rovnice, ako napr

22x=30{\displaystyle 2^{2x}=30}

, kliknite sem, ak exponent obsahuje neznámu.

Metóda 1 z 3:Riešenie základných exponentov


Naučte sa správne slová a slovnú zásobu k úlohám s exponentmi. Keď máte exponent, ako napr

23{\displaystyle 2^{3}}

, máte dve jednoduché časti. Spodné číslo, tu 2, je základňa. Číslo, na ktoré je zvýšené, tu 3, je známe ako exponent alebo mocniny. Ak hovoríte o

23{\displaystyle 2^{3}}

, by ste povedali, že je to „dva na tretiu“, „dva na tretiu mocninu“ alebo „dva zvýšené na tretiu mocninu“.“

  • Ak sa číslo zvýši na druhú mocninu, ako napr
    52{\displaystyle 5^{2}}

    , môžete tiež povedať, že číslo je na štvorce, ako napríklad „päť na štvorce.“

  • Ak sa číslo zvýši na tretiu mocninu, ako napr
    103{\displaystyle 10^{3}}

    , môžete tiež povedať, že je to kubický, napríklad „desať kubických.“

  • Ak číslo nemá uvedený exponent, ako napríklad jednoduchá 4, je technicky na prvú mocninu a možno ho prepísať ako
    41{\displaystyle 4^{1}}

    .

  • Ak je exponent 0 a „nenulové číslo“ je zvýšené na „nulovú mocninu“, potom sa to celé rovná 1, napr
    40=1{\displaystyle 4^{0}=1}

    alebo dokonca niečo ako

    (3/8)0=1.{\displaystyle (3/8)^{0}=1.}

    Viac o tom nájdete v časti „Tipy“.


Násobte základ opakovane na počet činiteľov, ktoré predstavuje exponent. Ak potrebujete vyriešiť exponent ručne, začnite tým, že ho prepíšete ako úlohu na násobenie. Pre číslo exponentu chcete vynásobiť základ sám sebou. Ak teda máte

34{\displaystyle 3^{4}}

vynásobili by ste tri v sérii štyroch samostatných činiteľov, resp

3333{\displaystyle 3*3*3*3}

. Medzi ďalšie príklady patria napr:

  • 45=44444{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
  • 82=88{\displaystyle 8^{2}=8*8}
  • Ten cubed

    =101010{\displaystyle =10*10*10}

    [1]


Vyriešte výraz: Vynásobte prvé dve čísla, aby ste dostali súčin. Napríklad s

45{\displaystyle 4^{5}}

, by ste mali začať s

44444{\displaystyle 4*4*4*4*4}

Vyzerá to skľučujúco, ale postupujte postupne. Začnite vynásobením prvých dvoch štvoríc. Potom nahraďte dve štvorky odpoveďou, ako je znázornené tu:

  • 45=44444{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
    • 44=16{\displaystyle 4*4=16}

  • 45=16444{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}


Vynásobte túto odpoveď na vašu prvú dvojicu (tu 16) ďalším číslom. Pokračujte v násobení číslami, aby ste „zväčšili“ svoj exponent. Pokračujúc v našom príklade, vynásobíte 16 ďalšími 4, takže:

  • 45=16444{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
    • 164=64{\displaystyle 16*4=64}
  • 45=6444{\displaystyle 4^{5}=64*4*4}

    • 644=256{\displaystyle 64*4=256}
  • 45=2564{\displaystyle 4^{5}=256*4}

    • 2564=1024{\displaystyle 256*4=1024}
  • Ako je znázornené, pokračujete v násobení základu súčinom každej prvej dvojice čísel, kým nedostanete konečnú odpoveď. Jednoducho pokračujte v násobení prvých dvoch čísel a potom vynásobte odpoveď ďalším číslom v poradí. Toto funguje pre akýkoľvek exponent. Po dokončení nášho príkladu by ste mali dostať
    45=44444=1024{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024}

    .


Vyskúšajte si niekoľko ďalších príkladov a skontrolujte si odpovede pomocou kalkulačky.

  • 82{\displaystyle 8^{2}}
  • 34{\displaystyle 3^{4}}
  • 107{\displaystyle 10^{7}}


Použite „exp,“ „

xn{\displaystyle x^{n}}

“ alebo tlačidlo „^“ na kalkulačke na vykonávanie exponentov. Je takmer nemožné urobiť väčšie exponenty, ako napr

915{\displaystyle 9^{15}}

ručne, ale kalkulačky si s tým hravo poradia. Tlačidlo je zvyčajne jasne označené. Nástroj kalkulačka v systéme Windows Seven možno zmeniť na režim vedeckej kalkulačky kliknutím na kartu „Zobrazenie“ kalkulačky a výberom položky „Vedecká“. Keď chcete vrátiť štandardný režim kalkulačky, použite „Zobraziť“ a vyberte „Štandardný“.

  • Vygooglite si výraz a skontrolujte svoju odpoveď. Pomocou tlačidla „^“ na klávesnici počítača, tabletu alebo smartfónu môžete výraz zadať do vyhľadávača Google, ktorý vypľuje okamžitú odpoveď a navrhne podobné výrazy na preskúmanie.

Metóda 2 z 3:Sčítanie, odčítanie a násobenie exponentov


Sčítanie alebo odčítanie exponentov len vtedy, ak majú rovnaký základ a exponent. Ak máte rovnaké základy a exponenty, ako napr

45+45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}}

, môžete zjednodušiť sčítanie členov na jednoduchý problém násobenia. Pamätajte si, že

45{\displaystyle 4^{5}}

možno považovať za

145{\displaystyle 1*4^{5}}

takže

45+45=145+145=245{\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}}

sčítaním, kde „1 z toho plus 1 z toho = 2 z toho“, nech je „to“ čokoľvek. Stačí sčítať počet podobných členov (s rovnakým základom a exponentom) a súčet vynásobiť týmto exponenciálnym výrazom. Potom môžete jednoducho vyriešiť

45{\displaystyle 4^{5}}

a vynásobiť túto odpoveď dvoma. Pamätajte si, že je to preto, lebo násobenie je len spôsob, ako prepísať sčítanie, pretože

3+3=23{\displaystyle 3+3=2*3}

. Pozrite si niekoľko príkladov: [2]

  • 32+32=232{\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
  • 45+45+45=345{\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
  • 4545+2=2{\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
  • 4x22x2=2x2{\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}


Násobenie čísel s rovnakým základom sčítaním exponentov. Ak máte dva exponenty s rovnakým basom, ako napr

x2x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}}

, stačí sčítať dva exponenty s rovnakým základom. Teda,

x2x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}

.[3]
Expertný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Expertný rozhovor. 7. januára 2021.
Ak ste zmätení, jednoducho si to rozložte na všetky časti, aby ste zistili systém:

  • x2x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}}
  • x2=xx{\displaystyle x^{2}=x*x}
  • x5=xxxxx{\displaystyle x^{5}=x*x*x*x*x}
  • x2x5=(xx)(xxxxx){\displaystyle x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)}
  • Keďže všetko je len násobenie toho istého čísla, môžeme ich spojiť:
    x2x5=xxxxxxx{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x}
  • x2x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}

    [4]


Vynásobte exponenciálne číslo, ktoré je zvýšené na inú mocninu, ako napr

(x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}

. Ak máte číslo zvýšené na mocninu a celé je potom zvýšené na mocninu, jednoducho vynásobte oba exponenty. Takže

(x2)5=x25=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}

.[5]
Odborný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Rozhovor s expertom. 7. januára 2021.
Opäť si premyslite, čo tieto symboly vlastne znamenajú, ak ste zmätení.

(x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}

znamená len to, že násobíte

(x2){\displaystyle (x^{2})}

sám o sebe 5-krát, takže:

  • (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}
  • (x2)5=x2x2x2x2x2{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
  • Keďže základné základy sú rovnaké, môžete ich jednoducho sčítať:
    (x2)5=x2x2x2x2x2=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}


Zaobchádzajte so zápornými exponentmi ako so zlomkami alebo s recipročnými číslami. Ak neviete, čo sú recipročné čísla, nevadí. Ak máte záporný exponent, ako napr

32{\displaystyle 3^{-2}}

, jednoducho urobíme exponent kladným a dáme ho pod jednotku, čím dostaneme

132{\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}}

.[6]
Odborný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Rozhovor s expertom. 7. januára 2021.
Pozrite si niekoľko ďalších príkladov:

  • 5101510{\displaystyle 5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}}
  • 3x4=3x4{\displaystyle 3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}}

    [7]


Rozdeľte dve čísla s rovnakým základom odčítaním exponentov. Delenie je opakom násobenia, a hoci sa neriešia vždy presne opačne, tu sú. Ak máte rovnicu

4442{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}}

, jednoducho odčítame horný exponent od dolného a základ necháme rovnaký. Teda,

4442=442=42{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}}

, alebo 16.

  • Ako čoskoro uvidíte, každé číslo, ktoré je súčasťou zlomku, ako napr
    142{\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}}

    , možno v skutočnosti prepísať ako

    42{\displaystyle 4^{-2}}

    . Záporné exponenty vytvárajú zlomky.


Vyskúšajte si niekoľko cvičných úloh, aby ste si zvykli na manipuláciu s exponenciálnymi číslami. Nasledujúce úlohy pokrývajú všetko, čo je v súčasnosti uvedené. Ak chcete zobraziť odpoveď, jednoducho zvýraznite celý riadok, na ktorom sa problém nachádza.

  • 53{\displaystyle 5^{3}}

    = 125

  • 22+22+22{\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}

    = 12

  • x122x12{\displaystyle x^{1}2-2x^{1}2}

    = -x^12

  • y3y{\displaystyle y^{3}*y}

    =

    y4{\displaystyle y^{4}}

    Nezabudnite, že číslo bez mocniny má exponent 1

  • (Q3)5{\displaystyle (Q^{3})^{5}}

    =

    Q15{\displaystyle Q^{1}5}
  • r5r2{\displaystyle {\frac {r^{5}}{r^{2}}}}

    =

    r3{\displaystyle r^{3}}

    [8]

Metóda 3 z 3:Riešenie zlomkových exponentov


Zaobchádzajte so zlomkovými exponentmi, ako napr

x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}

ako problém s odmocninami.

x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}

je vlastne presne to isté ako

x{\displaystyle {\sqrt {x}}}

. Toto sa robí podobne bez ohľadu na to, aká je spodná časť zlomku, takže

x14{\displaystyle x^{\frac {1}{4}}}

by bola 4. odmocnina z x, zapísaná aj ako

x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}

.[9]
Expertný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Rozhovor s odborníkom. 7. januára 2021.

  • Koreňmi sú inverzné hodnoty exponentov. Ak by ste napríklad vzali odpoveď
    x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}

    zvýšili na štvrtú mocninu, dostali by ste sa späť na

    x{\displaystyle x}

    , ako napr

    164=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}=2}

    možno skontrolovať ako

    24=16{\displaystyle 2^{4}=16}

    . Tiež napríklad, ak

    x4=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}=2}

    potom

    24=x{\displaystyle 2^{4}=x}

    preto

    x=2{\displaystyle x=2}

    .

Premeňte horné číslo na normálny exponent pre zmiešané zlomky.

x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}

môže vyzerať nemožne, ale je to jednoduché, ak si uvedomíte, ako sa exponenty násobia. Jednoducho premeníme základ na koreň, ako pri normálnom zlomku, a potom to celé zvýšime na mocninu na vrchole zlomku. Ak máte problém si to zapamätať, premyslite si teóriu. Napríklad:

  • x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}
  • x53=(x5)13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=(x^{5})^{\frac {1}{3}}}

    alebo

    x53=(x13)5{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=(x^{\frac {1}{3}})^{5}}
  • x13=x3{\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}
  • x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}

    =

    (x3)5{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}}

  • Sčítanie, odčítanie a násobenie zlomkových exponentov ako normálne. Oveľa jednoduchšie je vyskúšať si sčítanie a odčítanie exponentov pred ich riešením alebo premenou na korene. Ak je základ rovnaký a exponent rovnaký, môžete sčítať a odčítať ako normálne. Ak je základ rovnaký, môžete násobiť a deliť exponenty ako normálne, pokiaľ si pamätáte, ako sa sčítajú a odčítajú zlomky. Napríklad:

    • x53+x53=2(x53){\displaystyle x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})}
    • x53x23=x73{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}}

      [10]

  • Odkazy

      http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm#same-base

      http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm

      David Jia. Akademický tútor. Rozhovor s expertom. 7. januára 2021.

      http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm#same-base

      David Jia. Akademický tútor. Rozhovor s odborníkom. 7. januára 2021.

      David Jia. Akademický tútor. Rozhovor s odborníkom. 7. januára 2021.

      http://www.rapidtables.com/math/number/exponent/adding-exponents.htm#same-base

      http://www.purplemath.com/modules/exponent.htm

      David Jia. Akademický tútor. Rozhovor s odborníkom. 7. januára 2021.