3 spôsoby riešenia kombinovaných úloh

Kombinované pracovné úlohy alebo pracovné úlohy sú matematické úlohy obsahujúce racionálne rovnice.[1]
Ide o rovnice, ktoré obsahujú aspoň jeden zlomok. Úlohy si v podstate vyžadujú nájdenie jednotkových sadzieb, ich kombináciu a stanovenie ich rovnosti s neznámou sadzbou. Tieto úlohy si vyžadujú veľa výkladovej logiky, ale pokiaľ viete pracovať so zlomkami, ich riešenie je pomerne jednoduché.

Metóda 1 z 3:Problémy s dvoma ľuďmi pracujúcimi spoločne


Pozorne si prečítajte problém. Túto metódu použite, ak problém predstavuje spoluprácu dvoch alebo viacerých ľudí pri dokončení úlohy. Úloha by vám mala poskytnúť aj čas, ktorý by potrebovala každá osoba na samostatné dokončenie úlohy.

  • V úlohe sa môžete napríklad spýtať: „Ak Tommy dokáže vymaľovať izbu za 3 hodiny a Winnie dokáže vymaľovať tú istú izbu za 4 hodiny, koľko času im bude trvať, kým vymaľujú izbu spoločne.“ Ak Tommy dokáže vymaľovať izbu za 3 hodiny a Winnie dokáže vymaľovať tú istú izbu za 4 hodiny, koľko času im bude trvať, kým vymaľujú izbu spoločne??


Určite hodinovú sadzbu každého jednotlivca. Hodinová sadzba sa vyjadruje vytvorením zlomku, kde celkový počet hodín potrebných na vykonanie práce je menovateľ (dolné číslo) a 1 je čitateľ (horné číslo).[2]

  • Ak napríklad Tommy dokáže vymaľovať izbu za 3 hodiny, jeho hodinová sadzba je
    13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

    ; to znamená, že každú hodinu dokončí

    13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

    miestnosti. Ak Winnie trvá vymaľovanie miestnosti 4 hodiny, jej hodinová sadzba je

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    .


Vytvorte pomer pre ich kombinovanú hodinovú sadzbu. Toto bude

1t{\displaystyle {\frac {1}{t}}}

, kde

t{\displaystyle t}

sa rovná času, ktorý im trvá, kým spoločne vykonajú prácu.[3]


Nastavte rovnicu. Keďže pracujú spoločne, ich spoločná hodinová sadzba sa bude rovnať súčtu ich individuálnych hodinových sadzieb.[4]

  • Napríklad ak Tommy maľuje
    13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

    miestnosti za 1 hodinu, Winnie maľuje

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    miestnosti za 1 hodinu a spolu doplnia

    1t{\displaystyle {\frac {1}{t}}}

    miestnosti za 1 hodinu, rovnica bude:

    13+14=1t{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{t}}}

    .


Súčet zlomkov. Budete musieť nájsť najmenšieho spoločného menovateľa. Kompletný návod na sčítanie zlomkov nájdete v článku Sčítanie zlomkov.

  • Napríklad 12 je najmenší spoločný menovateľ
    13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

    a

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    , teda:

    13+14=1t{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{t}}}

    412+312=1t{\displaystyle {\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {1}{t}}}

    712=1t{\displaystyle {\frac {7}{12}}={\frac {1}{t}}}


Riešte pre

t{\displaystyle t}

. Na tento účel vykonajte krížové násobenie. V tomto prípade môžete tiež jednoducho vziať inverzný podiel.[5]

  • Napríklad:
    712=1t{\displaystyle {\frac {7}{12}}={\frac {1}{t}}}

    7t=12{\displaystyle 7t=12}

    t=127{\displaystyle t={\frac {12}{7}}}


Ak je to potrebné, zjednodušte zlomok. Takto získate počet hodín potrebných na to, aby pracovníci spoločne dokončili prácu.

  • Ak napríklad Tommy potrebuje na vymaľovanie izby 3 hodiny a Winnie 4 hodiny, spolu môžu izbu dokončiť za
    127{\displaystyle {\frac {12}{7}}}

    , alebo

    157{\displaystyle 1{\frac {5}{7}}}

    hodiny. To sa rovná takmer dvom hodinám (približne 1 hodina a 43 minút).

Metóda 2 z 3:Úlohy s dvoma ľuďmi pracujúcimi proti sebe


Pozorne si prečítajte úlohu. Túto metódu použite, ak problém predstavuje jednu osobu (alebo vec), ktorá dokončuje prácu, a druhú osobu (alebo vec), ktorá ruší prácu, ktorú robí druhá osoba. Typický problém sa týka potrubia, ktoré napúšťa a vypúšťa bazén.[6]

  • Úloha sa môže napríklad pýtať: „Ak hadica dokáže napustiť bazén za 6 hodín a otvorený odtok ho vyprázdni za 2 hodiny, ako dlho bude trvať otvorenému odtoku vyprázdniť bazén so zapnutou hadicou?“


Určte hodinovú sadzbu jednotlivca, ktorý prácu vykonáva. Pozorne sa pozrite na problém, aby ste určili, o ktorú osobu ide. Ak je cieľom niečo vyprázdniť, osoba, ktorá vykonáva vyprázdňovanie, dokončí prácu. Hodinová sadzba je reprezentovaná vytvorením zlomku, kde celkový počet hodín potrebných na vykonanie práce je menovateľ (dolné číslo) a 1 je čitateľ (horné číslo).[7]

  • Ak napríklad odtok dokáže vyprázdniť bazén za 2 hodiny a vy potrebujete vypočítať, koľko času trvá vyprázdnenie bazéna, potom odtok dokončí prácu. Jeho hodinová sadzba je
    12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

    ; to znamená, že každú hodinu vyprázdňuje

    12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

    z bazéna.


Určite hodinovú sadzbu jednotlivca, ktorý prácu dokončuje. Pamätajte, že celkový počet hodín potrebných na zrušenie úlohy bude v menovateli a 1 bude v čitateli.[8]

  • Napríklad, ak hadica dokáže naplniť bazén za 3 hodiny, ale cieľom je bazén vyprázdniť, potom hadica prácu odpracuje. Ak hadica naplní bazén za 6 hodín, jej hodinová sadzba je
    16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}

    ; to znamená, že každú hodinu sa naplní

    16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}

    z fondu.


Vytvoriť pomer pre ich kombinovanú hodinovú sadzbu. Toto bude

1t{\displaystyle {\frac {1}{t}}}

, kde

t{\displaystyle t}

sa rovná času, ktorý potrebujú na dokončenie práce, pričom pracujú proti sebe.[9]


Nastavte rovnicu. Keďže pracujú proti sebe, ich spoločná hodinová sadzba sa bude rovnať rozdielu medzi ich individuálnymi hodinovými sadzbami.[10]
Toto je hodinová sadzba jednotlivca, ktorý prácu dokončí, mínus hodinová sadzba jednotlivca, ktorý prácu zruší.

  • Napríklad, ak sa vyprázdňuje odtok
    12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

    bazéna za 1 hodinu, hadica sa naplní

    16{\displaystyle {\frac {1}{6}}

    bazéna za 1 hodinu a spolu sa vyprázdnia

    1t{\displaystyle {\frac {1}{t}}}

    bazéna za 1 hodinu, rovnica bude:

    1216=1t{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{t}}}

    .


Odpočítajte zlomky. Budete musieť nájsť najmenšieho spoločného menovateľa. Kompletný návod na odčítanie zlomkov nájdete v článku Odčítanie zlomkov.

  • Napríklad 6 je najmenší spoločný menovateľ
    12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

    a

    16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}

    , teda:

    1216=1t{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{t}}}

    3616=1t{\displaystyle {\frac {3}{6}}-{\frac {1}{6}}={\frac {1}{t}}}

    26=1t{\displaystyle {\frac {2}{6}}={\frac {1}{t}}}


Riešenie pre

t{\displaystyle t}

krížovým násobením. Všimnite si, že v tomto prípade môžete tiež jednoducho vziať inverzný podiel.[11]

  • Napríklad:
    26=1t{\displaystyle {\frac {2}{6}}={\frac {1}{t}}}

    2t=6{\displaystyle 2t=6}

    2t=6{\displaystyle 2t=6}

    t=62{\displaystyle t={\frac {6}{2}}}


V prípade potreby zjednodušte zlomok. Tým získate počet hodín, ktoré jednotlivci potrebujú na dokončenie práce, pričom pracujú proti sebe.

  • Napríklad, ak hadica naplní bazén za 6 hodín a odtok vypustí bazén za 2 hodiny, aby, pôsobiac proti sebe, bazén vypustil za
    62{\displaystyle {\frac {6}{2}}}

    hodín alebo

    3{\displaystyle 3}

    hodín.

Metóda 3 z 3:Úlohy s dvoma ľuďmi pracujúcimi na zmeny


Pozorne si prečítajte problém. Túto metódu použite, ak úloha predstavuje dve alebo viac osôb (alebo vecí), ktoré pracujú spoločne na dokončení práce počas časti času, a potom len jednu osobu (alebo vec), ktorá dokončí (alebo začne) prácu sama. V probléme by sa mala uviesť aj hodinová sadzba každého jednotlivca.

  • Problém môže byť napríklad takýto: „Damarion môže vyčistiť mačací prístrešok za 8 hodín a Cassandra môže vyčistiť prístrešok za 4 hodiny. Pracujú spolu 2 hodiny, ale potom Cassandra odíde, aby vzala nejaké mačky k veterinárovi. Ako dlho bude Damarionovi trvať, kým sám dokončí upratovanie prístrešku?“


Určte hodinovú sadzbu každého jednotlivca. Hodinová sadzba je znázornená vytvorením zlomku, kde celkový počet hodín potrebných na vykonanie práce je menovateľ (dolné číslo) a 1 je čitateľ (horné číslo).[12]

  • Napríklad, ak Damarion dokáže vyčistiť mačací útulok za 8 hodín, jeho hodinová sadzba je
    18{\displaystyle {\frac {1}{8}}}

    ; to znamená, že každá hodina, ktorú dokončí

    18{\displaystyle {\frac {1}{8}}}

    miestnosti. Ak Cassandra upratuje útulok 4 hodiny, jej hodinová sadzba je

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    .


Určte, koľko toho dokážu spoločne zvládnuť za 1 hodinu. Ak to chcete urobiť, spočítajte ich hodinové sadzby. Kompletný návod na sčítanie zlomkov nájdete v článku Sčítanie zlomkov.

  • Napríklad ak Damarion vyčistí
    18{\displaystyle {\frac {1}{8}}}

    miestnosti za hodinu a Cassandra dokončí

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    miestnosti za hodinu, spolu dokončia

    18+14{\displaystyle {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}}

    z izby za hodinu:

    18+14{\displaystyle {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}}

    =216+416{\displaystyle ={\frac {2}{16}}+{\frac {4}{16}}}

    =616{\displaystyle ={\frac {6}{16}}}


Vypočítajte, koľko pracovníci spoločne dokončili. Ak to chcete urobiť, vynásobte počet hodín, ktoré spolu odpracovali za hodinu.[13]
Úplný návod na násobenie zlomkov nájdete v článku Násobenie zlomkov.

  • Napríklad, ak Damarion a Cassandra spolu vyčistia
    616{\displaystyle {\frac {6}{16}}}

    útulku za 1 hodinu, za dve hodiny dokončia dvakrát toľko:

    616×2{\displaystyle {\frac {6}{16}}krát 2}

    =1216{\displaystyle ={\frac {12}{16}}}

    =34{\displaystyle ={\frac {3}{4}}}

    úkrytu


Vypočítajte, koľko práce zostane po odchode jednej osoby. Ak to chcete urobiť, odčítajte zlomok toho, čo urobili, od 1 celého. Úplný návod na odčítanie zlomkov nájdete v článku Odčítanie zlomkov.

  • Napríklad ak Damarion a Cassandra vyčistili
    34{\displaystyle {\frac {3}{4}}}

    úkrytu za 2 hodiny, potom, keď Cassandra odíde, Damarion musí upratať

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    prístrešku na vlastnú päsť.


Nastavte rovnicu. Hľadáte, ako dlho bude trvať dokončenie práce zostávajúcim jednotlivcom. Na tento účel musíte vynásobiť hodinovú sadzbu jednotlivca počtom hodín (

h{\displaystyle h}

) bude potrebné na dokončenie práce. To sa bude rovnať množstvu práce, ktorú je potrebné dokončiť.[14]

  • Ak napríklad Damarion upratuje prístrešok rýchlosťou
    18{\displaystyle {\frac {1}{8}}}

    za hodinu a musí dokončiť

    14{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

    úlohy na vlastnú päsť, bude vám rovnica

    18h=14{\displaystyle {\frac {1}{8}}h={\frac {1}{4}}}

    , alebo jednoduchšie,

    h8=14{\displaystyle {\frac {h}{8}}={\frac {1}{4}}}

  • Riešte pre

    h{\displaystyle h}

    . Na tento účel vynásobte tieto dva zlomky krížom. V prípade potreby sa uistite, že ste zlomky zjednodušili. Takto získate počet hodín, ktoré potrebuje zostávajúca osoba na to, aby sama dokončila úlohu.

    • Napríklad:
      h8=14{\displaystyle {\frac {h}{8}}={\frac {1}{4}}}

      4h=8{\displaystyle 4h=8}

      h=2{\displaystyle h=2}

      Takže Damarionovi bude trvať 2 hodiny, kým prácu dokončí sám.

  • Odkazy