3 spôsoby riešenia kubickej rovnice

V kubickej rovnici je najvyšší exponent 3, rovnica má 3 riešenia/korene a samotná rovnica má tvar

ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

. Aj keď kubické čísla vyzerajú hrozivo a v skutočnosti ich riešenie môže byť dosť náročné, použitím správneho prístupu (a dostatočného množstva základných vedomostí) možno skrotiť aj tie najzložitejšie kubické čísla. Okrem iných možností môžete skúsiť použiť kvadratický vzorec, nájsť celočíselné riešenie alebo určiť diskriminanty.

Metóda 1 z 3:Riešenie kubických rovníc bez konštanty


Skontrolujte, či vaša kocka obsahuje konštantu (a

d{\displaystyle d}

hodnotu). Kubické rovnice majú tvar

ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

. Jedinou podstatnou požiadavkou však je

x3{\displaystyle x^{3}}

, ), čo znamená, že ostatné prvky nemusia byť prítomné, aby sme mali kubickú rovnicu.[1]

  • Ak vaša rovnica obsahuje konštantu (a
    d{\displaystyle d}

    hodnotu), budete musieť použiť inú metódu riešenia.

  • Ak
    a=0{\displaystyle a=0}

    , nemáte kubickú rovnicu.[2]


Faktor

x{\displaystyle x}

z rovnice. Keďže vaša rovnica nemá konštantu, každý člen v rovnici má

x{\displaystyle x}

premenná v ňom. To znamená, že jeden

x{\displayystyle x}

sa dá z rovnice vylúčiť, aby sa zjednodušila. Urobte to a prepíšte svoju rovnicu v tvare

x(ax2+bx+c){\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}

.[3]

  • Povedzme napríklad, že vaša východisková kubická rovnica je
    3x32x2+14x=0{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}
  • Faktorovanie jednej
    x{\displaystyle x}

    z tejto rovnice dostaneme

    x(3x22x+14)=0{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}


Ak je to možné, vynásobte výslednú kvadratickú rovnicu. V mnohých prípadoch budete môcť vynásobiť kvadratickú rovnicu (

ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}

), ktorý vznikne, keď vynásobíte

x{\displaystyle x}

von. Napríklad, ak vám je daný

x3+5x214x=0{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0}

, potom môžete urobiť nasledovné: [4]

  • Vypočítajte faktor
    x{\displaystyle x}

    :

    x(x2+5x14)=0{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}
  • Vypočítajte kvadratickú úlohu v zátvorkách:
    x(x+7)(x2)=0{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}
  • Každý z týchto činiteľov sa rovná
    0{\displaystyle 0}

    . Vaše riešenia sú

    x=0,x=7,x=2{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}

    .


Časť v zátvorkách vyriešte pomocou kvadratický vzorec ak ich nemôžete vynásobiť ručne. Môžete nájsť hodnoty, pre ktoré sa táto kvadratická rovnica rovná

0{\displaystyle 0}

zapojením

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

do kvadratického vzorca (

b±b24ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

). Urobte to, aby ste našli dve z odpovedí na vašu kubickú rovnicu.[5]

  • V príklade zapojte svoj
    a{\displaystyle a}

    ,

    b{\displaystyle b}

    , a

    c{\displaystyle c}

    hodnoty (

    3{\displaystyle 3}

    ,

    2{\displaystyle -2}

    , a

    14{\displaystyle 14}

    , ) do kvadratickej rovnice nasledovne:

    b±b24ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
    (2)±((2)24(3)(14)2(3){\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}{2(3)}}}
    2±4(12)(14)6{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}
    2±(41686{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}}
    2±1646{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
  • Odpoveď 1:
    2+1646{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}}
    2+12.8i6{\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
  • Odpoveď 2:
    212.8i6{\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}


Použite nulu a kvadratické odpovede ako odpovede vašej kocky. Kým kvadratické rovnice majú dve riešenia, kubické majú tri. Dve z nich už máte – sú to odpovede, ktoré ste našli pre „kvadratickú“ časť úlohy v zátvorkách. V prípadoch, keď je vaša rovnica vhodná na tento spôsob riešenia „faktoringom“, bude vaša tretia odpoveď vždy

0{\displaystyle 0}

.[6]

  • Faktorovanie vašej rovnice do tvaru
    x(ax2+bx+c)=0{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0}

    rozdeľuje na dva faktory: jeden faktor je

    x{\displaystyle x}

    premenná naľavo a druhá je kvadratická časť v zátvorkách. Ak sa niektorý z týchto činiteľov rovná

    0{\displaystyle 0}

    , celá rovnica sa bude rovnať

    0{\displaystyle 0}

    .

  • Teda dve odpovede na kvadratickú časť v zátvorkách, ktoré spôsobia, že činitele sa budú rovnať
    0{\displaystyle 0}

    , sú odpovede na kocky, ako je

    0{\displaystyle 0}

    sám, čo spôsobí, že ľavý faktor sa bude rovnať

    0{\displaystyle 0}

    .

Metóda 2 z 3:Hľadanie celočíselných riešení pomocou zoznamov faktorov


Uistite sa, že vaša kocka má konštantu (nenulovú hodnotu

d{\displaystyle d}

hodnotu). Ak je vaša rovnica v tvare

ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

má nenulovú hodnotu pre

d{\displaystyle d}

, faktorizácia pomocou kvadratickej rovnice nebude fungovať. Ale nebojte sa – máte aj iné možnosti, ako napríklad tú, ktorá je opísaná tu![7]

  • Vezmime si napríklad,
    2x3+9x2+13x=6{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}

    . V tomto prípade získate a

    0{\displaystyle 0}

    na pravej strane znamienka rovnosti si vyžaduje, aby ste sčítali

    6{\displaystyle 6}

    na obe strany.

  • V novej rovnici,
    2x3+9x2+13x+6=0{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}

    . Od

    d=6{\displaystyle d=6}

    , nemôžete použiť metódu kvadratickej rovnice.


Nájdite činitele

a{\displaystyle a}

a

d{\displaystyle d}

. Začnite riešiť kubickú rovnicu tak, že nájdete činitele koeficientu

x3{\displaystyle x^{3}}

termín (t. j,

a{\displaystyle a}

) a konštantu na konci rovnice (t. j,

d{\displaystyle d}

). Pamätajte si, že činitele sú čísla, ktoré sa môžu vynásobiť a vytvoriť ďalšie číslo.[8]

  • Keďže si môžete vytvoriť napr 6 vynásobením
    6×1{\displaystyle 6\times 1}

    a

    2×3{\displaystyle 2\times 3}

    , to znamená 1, 2, 3, a 6 sú koeficienty 6.

  • Vo vzorovom probléme,
    a=2{\displaystyle a=2}

    a

    d=6{\displaystyle d=6}

    . Faktory 21 a 2. Faktory 61, 2, 3, a 6.


Rozdeľte činitele

d{\displaystyle d}

činiteľmi

a{\displaystyle a}

. Vytvorte zoznam hodnôt, ktoré dostanete vydelením každého činiteľa

d{\displaystyle d}

každým činiteľom

a{\displaystyle a}

. Výsledkom je zvyčajne veľa zlomkov a niekoľko celých čísel. Celočíselné riešenie vašej kubickej rovnice bude buď jedno z celých čísel v tomto zozname, alebo záporné číslo jedného z týchto čísel.[9]

  • Vo vzorovej rovnici, berúc koeficienty
    d{\displaystyle d}

    (1, 2, 3 a 6) nad faktormi

    a{\displaystyle a}

    (1 a 2) poskytuje tento zoznam:

    6{\displaystyle 6}

    ,

    6{\displaystyle -6}

    ,

    3{\displaystyle 3}

    ,

    3{\displaystyle -3}

    ,

    2{\displaystyle 2}

    ,

    2{\displaystyle -2}

    ,

    1{\displaystyle 1}

    a

    1{\displaystyle -1}

    . Riešenia vašej kubickej rovnice sa nachádzajú niekde v tomto zozname.


Pri jednoduchšom, ale možno časovo náročnejšom prístupe môžete celé čísla zapojiť ručne. Keď máte zoznam hodnôt, môžete nájsť celočíselné odpovede na vašu kubickú rovnicu tak, že rýchlo ručne dosadíte každé celé číslo a zistíte, ktoré z nich sa rovná

0{\displaystyle 0}

. Napríklad, ak zapojíte

1{\displaystyle 1}

, dostaneme:[10]

  • 2(1)3+9(1)2+13(1)+6{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6}

    , alebo

    2+9+13+6{\displaystyle 2+9+13+6}

    , ktorý sa zjavne nerovná

    0{\displaystyle 0}

    . Prejdite teda na ďalšiu hodnotu na zozname.

  • Ak zapojíte
    1{\displaystyle -1}

    , dostaneme

    (2)+9+(13)+6{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6}

    , ktorá sa rovná

    0{\displaystyle 0}

    . To znamená

    1{\displaystyle -1}

    je jedným z vašich celočíselných riešení.


Použite syntetické delenie pre zložitejší, ale pravdepodobne rýchlejší prístup. Ak nechcete tráviť čas zapájaním hodnôt jednu po druhej, vyskúšajte rýchlejšiu metódu, ktorá zahŕňa techniku nazývanú syntetické delenie. V podstate budete chcieť synteticky vydeliť vaše celočíselné hodnoty pôvodnými

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

,

c{\displaystyle c}

, a

d{\displaystyle d}

koeficienty vo vašej kubickej rovnici. Ak dostanete zvyšok

0{\displaystyle 0}

, vaša hodnota je jednou z odpovedí kubickej rovnice.[11]

  • Syntetické delenie je zložitá téma, ktorej úplný opis tu presahuje rámec. Tu je však ukážka, ako nájsť jedno z riešení vašej kubickej rovnice pomocou syntetického delenia:
    -1 | 2 9 13 6
    __| -2-7-6
    __| 2 7 6 0
  • Keďže ste dostali konečný zvyšok
    0{\displaystyle 0}

    , viete, že jedno z celočíselných riešení vašej kocky je

    1{\displaystyle -1}

    .

Metóda 3 z 3:Použitie diskriminačného prístupu


Vypíšte hodnoty

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

,

c{\displaystyle c}

, a

d{\displaystyle d}

. Pri tejto metóde sa budete vo veľkej miere zaoberať koeficientmi členov v rovnici. Zaznamenajte si

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

,

c{\displaystyle c}

, a

d{\displaystyle d}

termíny pred začiatkom, aby ste nezabudli, čo ktorý z nich znamená.[12]

  • Pre vzorovú rovnicu
    x33x2+3x1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}

    , napíšte

    a=1{\displaystyle a=1}

    ,

    b=3{\displaystyle b=-3}

    ,

    c=3{\displaystyle c=3}

    , a

    d=1{\displaystyle d=-1}

    . Nezabudnite, že keď

    x{\displaystyle x}

    premenná nemá koeficient, implicitne sa predpokladá, že jej koeficient je

    1{\displaystyle 1}

    .


Vypočítajte diskriminant nuly pomocou správneho vzorca. Diskriminačný prístup k hľadaniu riešenia kubickej rovnice si vyžaduje trochu zložitejšiu matematiku, ale ak budete postupovať pozorne, zistíte, že je to neoceniteľný nástroj na riešenie tých kubických rovníc, ktoré je ťažké rozlúštiť iným spôsobom. Na začiatok nájdite

Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

(diskriminant nula), prvú z niekoľkých dôležitých veličín, ktoré budeme potrebovať, dosadením príslušných hodnôt do vzorca

Δ0=b23ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}

.[13]

  • Diskriminant je jednoducho číslo, ktoré nám poskytuje informácie o koreňoch polynómu (možno už poznáte kvadratický diskriminant:
    b24ac{\displaystyle b^{2}-4ac}

    ).

  • Vzorovú úlohu vyriešte nasledovne:
    b23ac{\displaystyle b^{2}-3ac}
    (3)23(1)(3){\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}
    93(1)(3){\displaystyle 9-3(1)(3)}
    99=0=Δ0{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}}


Pokračujte výpočtom

Δ1=2b39abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}

. Ďalšia dôležitá veličina, ktorú budete potrebovať,

Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

(diskriminant

1{\displaystyle 1}

), vyžaduje trochu viac práce, ale nájde sa v podstate rovnakým spôsobom ako

Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

. Doplňte príslušné hodnoty do vzorca

2b39abc+27a2d{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}

aby ste získali hodnotu pre

Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

.[14]

  • Príklad vyriešte takto:
    2(3)39(1)(3)(3)+27(1)2(1){\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}
    2(27)9(9)+27(1){\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}
    54+8127{\displaystyle -54+81-27}
    8181=0=Δ1{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}


Vypočítajte:

Δ=(Δ124Δ03)÷27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}

. Ďalej vypočítame diskriminant kubického súčtu z hodnôt

Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

a

Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

. V prípade kubickej rovnice, ak je diskriminant kladný, potom má rovnica tri reálne riešenia. Ak je diskriminant nulový, potom má rovnica buď jedno, alebo dve reálne riešenia a niektoré z týchto riešení sú spoločné. Ak je záporná, potom má rovnica len jedno riešenie.[15]

  • Kubická rovnica má vždy aspoň jedno reálne riešenie, pretože graf vždy aspoň raz pretne os x.
  • V príklade, keďže obidve
    Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

    a

    Δ1{\displaystyle \Delta _{1}} =0{\displaystyle =0}

    , zistenie

    Δ{\displaystyle \Delta }

    je relatívne jednoduché. Riešte takto:

    (Δ124Δ03)÷(27a2){\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}
    ((0)24(0)3)÷(27(1)2){\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}
    00÷27{\displaystyle 0-0\div 27}
    0=Δ{\displaystyle 0=\Delta }

    , takže rovnica má jednu alebo dve odpovede.


Vypočítajte:

C=3(Δ124Δ03+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}

. Posledná dôležitá hodnota, ktorú musíme vypočítať, je

C{\displaystyle C}

. Táto dôležitá veličina nám umožní konečne nájsť naše tri korene. Riešte normálne, substituujúc

Δ1{\displaystyle \Delta _{1}}

a

Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}

podľa potreby.

  • Vo vašom príklade nájdite
    C{\displaystyle C}

    takto:

    3(Δ124Δ03)+Δ1÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}
    3(024(0)3)+(0)÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}
    3(00)+0÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}
    0=C{\displaystyle 0=C}

  • Vypočítajte tri korene pomocou svojich premenných. Korene (odpovede) vašej kubickej rovnice sú dané vzorcom

    (b+unC+Δ0÷(unC))÷3a{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}

    , kde

    u=(1+3)÷2{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2}

    a n je buď 1, 2, alebo 3. Pri riešení vložte hodnoty podľa potreby – vyžaduje si to veľa matematickej práce, ale mali by ste dostať tri reálne odpovede!

    • Príklad môžete vyriešiť zaškrtnutím odpovede, keď n sa rovná 1, 2, a 3. Odpovede, ktoré získate z týchto testov, sú možné odpovede na kubickú rovnicu – všetky, ktoré dávajú odpoveď 0 po dosadení do rovnice sú správne.
    • Napríklad, keďže zapojenie 1 na
      x33x2+3x1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}

      dáva odpoveď 0, 1 je jednou z odpovedí na vašu kubickú rovnicu.

  • Odkazy