3 spôsoby riešenia kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica je polynomická rovnica v jednej premennej, kde najvyšší exponent premennej je 2.[1]
Existujú tri hlavné spôsoby riešenia kvadratických rovníc: Kvadratickú rovnicu môžete riešiť nasledovne: 1) vynásobiť kvadratickou rovnicou, ak to viete, 2) použiť kvadratický vzorec alebo 3) doplniť štvorec. Ak chcete vedieť, ako zvládnuť tieto tri metódy, stačí postupovať podľa týchto krokov.

Metóda 1 z 3:
Faktorovanie rovnice


Spojte všetky podobné členy a presuňte ich na jednu stranu rovnice. Prvým krokom k faktorizácii rovnice je presunúť všetky členy na jednu stranu rovnice, pričom sa zachová

x2{\displaystyle x^{2}}

výraz pozitívny. Ak chcete spojiť výrazy, pridajte alebo odčítajte všetky

x2{\displaystyle x^{2}}

členov, je

x{\displaystyle x}

členov a konštanty (celočíselné členy), pričom ich presunieme na jednu stranu rovnice tak, aby na druhej strane nič nezostalo. Keď na druhej strane nezostanú žiadne výrazy, môžete na túto stranu znamienka rovnosti jednoducho napísať „0“. Tu je návod, ako to urobiť:[2]

  • 2x28x4=3xx2{\displaystyle 2x^{2}-8x-4=3x-x^{2}}
  • 2x2+x28x3x4=0{\displaystyle 2x^{2}+x^{2}-8x-3x-4=0}
  • 3x211x4=0{\displaystyle 3x^{2}-11x-4=0}


Faktor výrazu. Ak chcete výraz vynásobiť, musíte použiť činitele

x2{\displaystyle x^{2}}

člen (3) a činitele konštantného člena (-4), aby sa vynásobili a potom sčítali do stredného člena, (-11). Urobte to takto:

  • Keďže
    3x2{\displaystyle 3x^{2}}

    má len jednu sadu možných faktorov,

    3x{\displaystyle 3x}

    a

    x{\displaystyle x}

    , môžete ich napísať do zátvoriek:

    (3x±?)(x±?)=0{\displaystyle (3x\pm ?) (x\pm ?)=0}

    .

  • Potom použite eliminačný proces na zapojenie činiteľov 4, aby ste našli kombináciu, ktorá po vynásobení dáva -11x. Môžete použiť buď kombináciu 4 a 1, alebo 2 a 2, pretože obe tieto čísla sa vynásobia a dostanú 4. Len nezabudnite, že jeden z výrazov by mal byť záporný, pretože výraz je -4.[3]
  • Pokusom a omylom vyskúšajte túto kombináciu faktorov
    (3x+1)(x4){\displaystyle (3x+1)(x-4)}

    . Keď ich vynásobíte, dostanete

    3x212x+x4{\displaystyle 3x^{2}-12x+x-4}

    . Ak spojíte výrazy

    12x{\displaystyle -12x}

    a

    x{\displaystyle x}

    , dostanete

    11x{\displaystyle -11x}

    , čo je stredný výraz, na ktorý ste sa zamerali. Práve ste vyfaktúrovali kvadratickú rovnicu.

  • Ako príklad pokusu a omylu si skúsme overiť faktoringovú kombináciu pre
    3x211x4=0{\displaystyle 3x^{2}-11x-4=0}

    to je chyba (nefunguje):

    (3x2)(x+2){\displaystyle (3x-2)(x+2)}

    =

    3x2+6x2x4{\displaystyle 3x^{2}+6x-2x-4}

    . Ak tieto výrazy skombinujete, dostanete

    3x24x4{\displaystyle 3x^{2}-4x-4}

    . Hoci sa činitele -2 a 2 násobia, aby vzniklo -4, stredný člen nefunguje, pretože ste potrebovali získať

    11x{\displaystyle -11x}

    , nie

    4x{\displaystyle -4x}

    .


Nastavte každú sadu zátvoriek na nulu ako samostatné rovnice. To vás dovedie k nájdeniu dvoch hodnôt pre

x{\displaystyle x}

čím sa celá rovnica bude rovnať nule,

(3x+1)(x4){\displaystyle (3x+1)(x-4)}

= 0. Teraz, keď ste rovnicu vyfaktúrovali, stačí, keď výraz v každej sústave zátvoriek bude rovný nule. Ale prečo? — pretože na získanie nuly násobením máme „zásadu, pravidlo alebo vlastnosť“, že jeden činiteľ musí byť nula, potom aspoň jeden z činiteľov v zátvorke, ako

(3x+1)(x4){\displaystyle (3x+1)(x-4)}

musí byť nula; takže buď (3x + 1), alebo (x – 4) sa musí rovnať nule. Takže by ste napísali

3x+1=0{\displaystyle 3x+1=0}

a tiež

x4=0{\displaystyle x-4=0}

.


Vyriešte každú „nulovú“ rovnicu samostatne. V kvadratickej rovnici budú dve možné hodnoty x. Nájdite x pre každú možnú hodnotu x postupne izolovaním premennej a zapíšte dve riešenia pre x ako konečné riešenie. Takto to urobíte:

  • Riešenie 3x + 1 = 0
    • 3x = -1 ….. odčítaním
    • 3x/3 = -1/3 ….. delením
    • x = -1/3 ….. zjednodušené
  • Riešenie x – 4 = 0
    • x = 4 ….. odčítaním
  • x = (-1/3, 4) ….. vytvorením množiny možných samostatných riešení, čo znamená, že x = -1/3 alebo x = 4 sa zdá byť dobré.


Skontrolujte x = -1/3 v (3x + 1)(x – 4) = 0:

Máme (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ….. nahradením (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ….. zjednodušením (0)(-4 1/3) = 0 ….. vynásobením teda 0 = 0 ….. Áno, x = -1/3 funguje


Skontrolujte, či x = 4 v (3x + 1)(x – 4) = 0:

Máme (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ….. dosadením (13)(4 – 4) ?=? 0 ….. zjednodušením (13)(0) = 0 ….. vynásobením 0 = 0 ….. Áno, x = 4 práce

  • Obe riešenia teda „skontrolujte“ samostatne a obe sú overené ako funkčné a správne pre dve rôzne riešenia.

Metóda 2 z 3:Použitie kvadratického vzorca


Spojte všetky podobné členy a presuňte ich na jednu stranu rovnice. Presuňte všetky členy na jednu stranu znamienka rovnosti, pričom

x2{\displaystyle x^{2}}

člen kladný. Zapíšte výrazy v zostupnom poradí podľa stupňov tak, aby

x2{\displaystyle x^{2}}

Najskôr sa objaví člen, za ktorým nasleduje

x{\displaystyle x}

člen a konštantný člen.[4]
Tu je uvedený postup:

  • 4×2 – 5x – 13 = x2 -5
  • 4×2 – x2 – 5x – 13 +5 = 0
  • 3×2 – 5x – 8 = 0


Zapíšte kvadratický vzorec. Kvadratický vzorec je:

b±b24ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

[5]


Určite hodnoty a, b a c v kvadratickej rovnici. Premenná a je koeficient výrazu x2, b je koeficient člena x a c je konštantná. Pre rovnicu 3×2 -5x – 8 = 0, a = 3, b = -5 a c = -8. Zapíšte si to.


Do rovnice dosadíme hodnoty a, b a c. Teraz, keď poznáte hodnoty troch premenných, môžete ich jednoducho dosadiť do rovnice takto:

  • {-b +/-√ (b2 – 4ac)}/2
  • {-(-5) +/-√ ((-5)2 – 4(3)(-8))}/2(3) =
  • {-(-5) +/-√ ((-5)2 – (-96))}/2(3)


Vypočítajte. Po zapojení čísel vykonajte zostávajúce matematické úkony, aby ste zjednodušili kladné alebo záporné znamienka, vynásobili alebo odmocnili zostávajúce členy. Takto to urobíte:

  • {-(-5) +/-√ ((-5)2 – (-96))}/2(3) =
  • {5 +/-√(25 + 96)}/6
  • {5 +/-√(121)}/6


Zjednodušte druhú odmocninu. Ak je číslo pod symbolom radikálu dokonalý štvorec, dostanete celé číslo. Ak číslo nie je dokonalý štvorec, zjednodušte ho na jeho najjednoduchšiu radikálovú verziu. Ak je číslo záporné, a ste si istí, že to má byť negatívne, potom budú korene komplexné. V tomto príklade √(121) = 11. Môžete napísať, že x = (5 +/- 11)/6.


Riešenie kladných a záporných odpovedí. Ak ste odstránili symbol odmocniny, môžete pokračovať, kým nenájdete kladné a záporné výsledky pre x. Teraz, keď máte (5 +/- 11)/6, môžete napísať dve možnosti:

  • (5 + 11)/6
  • (5 – 11)/6


Vyriešte kladné a záporné odpovede. Jednoducho si to spočítajte:

  • (5 + 11)/6 = 16/6
  • (5-11)/6 = -6/6


Zjednodušte. Ak chcete zjednodušiť každú odpoveď, stačí ich vydeliť najväčším číslom, ktoré je rovnomerne deliteľné oboma číslami. Prvý zlomok vydeľte dvomi a druhý zlomok vydeľte šiestimi a vyriešili ste x.

  • 16/6 = 8/3
  • -6/6 = -1
  • x = (-1, 8/3)

Metóda 3 z 3:
Dokončenie štvorca


Presuňte všetky výrazy na jednu stranu rovnice. Uistite sa, že a alebo x2 výraz je kladný. Takto to urobíte:[6]

  • 2×2 – 9 = 12x =
  • 2×2 – 12x – 9 = 0
    • V tejto rovnici a Termín je 2 b termín je -12 a c termín je -9.


Presuňte c člena alebo konštanty na druhú stranu. Konštantný člen je číselný člen bez premennej. Presuňte ju na pravú stranu rovnice:

  • 2×2 – 12x – 9 = 0
  • 2×2 – 12x = 9


Obe strany vydeľte koeficientom a alebo člen x2. Ak x2 nemá pred sebou žiadny výraz a má len koeficient 1, môžete tento krok preskočiť. V tomto prípade budete musieť všetky členy vydeliť číslom 2, napríklad takto:

  • 2×2/2 – 12x/2 = 9/2 =
  • x2 – 6x = 9/2


Rozdeľte b dvomi, odmocnite a výsledok pripočítajte k obom stranám. Na stránke sa nachádzajú tieto úlohy: b člen v tomto príklade je -6. Tu je postup, ako to urobiť:

  • -6/2 = -3 =
  • (-3)2 = 9 =
  • x2 – 6x + 9 = 9/2 + 9


Zjednodušte obe strany. Vynásobte členy na ľavej strane a dostanete (x-3)(x-3) alebo (x-3)2. Sčítaním členov na pravej strane získate 9/2 + 9 alebo 9/2 + 18/2, čo je v súčte 27/2.


Nájdite druhú odmocninu z oboch strán. Odmocnina z (x-3)2 je jednoducho (x-3). Odmocninu z 27/2 môžete zapísať ako ±√(27/2). Preto x – 3 = ±√(27/2).


  • Zjednodušte radikál a vyriešte x. Ak chcete zjednodušiť ±√(27/2), hľadajte dokonalý štvorec v číslach 27 alebo 2 alebo v ich činiteľoch. Dokonalý štvorec 9 možno nájsť v 27, pretože 9 x 3 = 27. Ak chcete odstrániť číslo 9 zo znamienka radikálu, vytiahnite číslo 9 z radikálu a mimo znamienka radikálu napíšte číslo 3, jeho druhú odmocninu. V čitateli zlomku pod znamienkom radikálu ponechajte 3, pretože tento činiteľ 27 sa nedá odstrániť, a dole ponechajte 2. Potom posuňte konštantu 3 na ľavej strane rovnice doprava a zapíšte svoje dve riešenia pre x:

    • x = 3 + 3(√6)/2
    • x = 3 – 3(√6)/2)
  • Odkazy