3 spôsoby riešenia logaritmov

Logaritmy môžu naháňať strach, ale riešenie logaritmu je oveľa jednoduchšie, keď si uvedomíte, že logaritmy sú len iným spôsobom zápisu exponenciálnych rovníc. Po prepísaní logaritmu do známejšieho tvaru by ste ho mali byť schopní vyriešiť tak, ako by ste riešili akúkoľvek štandardnú exponenciálnu rovnicu.

Kroky

Skôr ako začnete: Naučte sa vyjadriť logaritmickú rovnicu exponenciálne[1]
[2]


Poznajte definíciu logaritmu. Predtým, ako budete môcť riešiť logaritmy, musíte pochopiť, že logaritmus je v podstate iný spôsob zápisu exponenciálnej rovnice. Jeho presná definícia je nasledovná:

  • y = logb (x)

    • Ak a len ak: by = x
  • Všimnite si, že b je základ logaritmu. Musí tiež platiť, že:
    • b > 0
    • b sa nerovná 1
  • V tej istej rovnici, y je exponent a x je exponenciálny výraz, ktorého logaritmus sa rovná.


Pozrite sa na rovnicu. Pri pohľade na rovnicu problému identifikujte základ (b), exponent (y) a exponenciálny výraz (x).

  • Príklad: 5 = log4(1024)

    • b = 4
    • y = 5
    • x = 1024


Presuňte exponenciálny výraz na jednu stranu rovnice. Nastavte hodnotu vášho exponenciálneho výrazu, x, na jednu stranu znamienka rovnosti.

  • Príklad: 1024 = ?


Aplikujte exponent na základ. Hodnota vášho základu, b, je potrebné vynásobiť samým sebou toľkokrát, koľkokrát je uvedený váš exponent, y.

  • Príklad: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

    • Toto by sa dalo zapísať aj ako: 45


Prepíšte svoju konečnú odpoveď. Teraz by ste mali byť schopní prepísať logaritmus ako exponenciálny výraz. Overte si správnosť svojej odpovede tak, že sa uistíte, že obe strany rovnice sú rovnaké.

  • Príklad: 45 = 1024

Metóda 1 z 3:Prvá metóda: Riešenie pre X


Izolujte logaritmus. Použite inverzné operácie na presunutie akejkoľvek časti rovnice, ktorá nie je súčasťou logaritmu, na opačnú stranu rovnice.

  • Príklad: log3(x + 5) + 6 = 10

    • log3(x + 5) + 6 – 6 = 10 – 6
    • log3(x + 5) = 4


Prepíšte rovnicu v exponenciálnom tvare. S využitím toho, čo teraz viete o vzťahu medzi logaritmami a exponenciálnymi rovnicami, rozdeľte logaritmus a prepíšte rovnicu do jednoduchšieho, riešiteľného exponenciálneho tvaru.

  • Príklad:log3(x + 5) = 4

    • Porovnajte túto rovnicu s definíciou [y = logb (x)], môžete dospieť k záveru, že: y = 4; b = 3; x = x + 5
    • Prepíšte rovnicu tak, aby: by = x
    • 34 = x + 5


Riešte pre x. Keď ste úlohu zjednodušili na základnú exponenciálnu rovnicu, mali by ste ju byť schopní vyriešiť tak, ako by ste riešili akúkoľvek exponenciálnu rovnicu.

  • Príklad: 34 = x + 5

    • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
    • 81 = x + 5
    • 81 – 5 = x + 5 – 5
    • 76 = x


Napíšte svoju konečnú odpoveď. Odpoveď, ktorú ste dostali pri riešení pre x je riešením vášho pôvodného logaritmu.

  • Príklad: x = 76

Metóda 2 z 3:Druhá metóda: Riešenie pre X Použitie pravidla o logaritmickom súčine[3]
[4]


Poznajte pravidlo súčinu. Prvá vlastnosť logaritmov, známa ako „pravidlo súčinu“, hovorí, že logaritmus násobeného súčinu sa rovná súčtu logaritmov oboch činiteľov. Zapísané vo forme rovnice:

  • logb(m * n) = logb(m) + logb(n)
  • Všimnite si tiež, že musí platiť nasledujúce:
    • m > 0
    • n > 0


Izolujte logaritmus na jednu stranu rovnice. Použite inverzné operácie na posunutie častí rovnice tak, aby všetky logaritmy boli na jednej strane rovnice, zatiaľ čo všetky ostatné prvky na opačnej strane.

  • Príklad: log4(x + 6) = 2 – log4(x)

    • log4(x + 6) + log4(x) = 2 – log4(x) + log4(x)
    • log4(x + 6) + log4(x) = 2


Použite pravidlo súčinu. Ak sa v rovnici sčítajú dva logaritmy, môžete použiť pravidlo súčinu na spojenie týchto dvoch logaritmov do jedného.

  • Príklad: log4(x + 6) + log4(x) = 2

    • log4[(x + 6) * x] = 2
    • log4(x2 + 6x) = 2


Prepíšte rovnicu v exponenciálnom tvare. Nezabudnite, že logaritmus je len iný spôsob zápisu exponenciálnej rovnice. Použite definíciu logaritmu na prepísanie rovnice do jej riešiteľného tvaru.

  • Príklad: log4(x2 + 6x) = 2

    • Porovnaním tejto rovnice s definíciou [y = logb (x)], môžete dospieť k záveru, že: y = 2; b = 4 ; x = x2 + 6x
    • Prepíšte rovnicu tak, že: by = x
    • 42 = x2 + 6x


Riešenie pre x. Teraz, keď sa z rovnice stala štandardná exponenciálna rovnica, použite svoje znalosti o exponenciálnych rovniciach na vyriešenie x ako zvyčajne.

  • Príklad: 42 = x2 + 6x

    • 4 * 4 = x2 + 6x
    • 16 = x2 + 6x
    • 16 – 16 = x2 + 6x – 16
    • 0 = x2 + 6x – 16
    • 0 = (x – 2) * (x + 8)
    • x = 2; x = -8


Napíšte svoju odpoveď. V tomto bode by ste mali mať riešenie rovnice. Napíšte ju do priestoru určeného pre vašu odpoveď.

  • Príklad: x = 2
  • Všimnite si, že logaritmus nemôže mať záporné riešenie, takže ho môžete vyradiť x – 8 ako riešenie.

Metóda 3 z 3:Tretia metóda: Riešenie pre X Použitie pravidla o logaritmickom kvociente[5]


Poznajte pravidlo kvocientu. Podľa druhej vlastnosti logaritmov, známej ako „kvocientové pravidlo“, možno logaritmus kvocientu prepísať tak, že od logaritmu menovateľa odčítame logaritmus čitateľa. Zapísané ako rovnica:

  • logb(m / n) = logb(m) – logb(n)
  • Všimnite si tiež, že musí platiť nasledujúce:
    • m > 0
    • n > 0


Izolujte logaritmus na jednu stranu rovnice. Predtým, ako budete môcť vyriešiť logaritmus, musíte posunúť všetky logaritmy v rovnici na jednu stranu znamienka rovnosti. Všetky ostatné časti rovnice by mali byť posunuté na opačnú stranu rovnice. Použite na to inverzné operácie.

  • Príklad: log3(x + 6) = 2 + log3(x – 2)

    • log3(x + 6) – log3(x – 2) = 2 + log3(x – 2) – log3(x – 2)
    • log3(x + 6) – log3(x – 2) = 2


Použite pravidlo kvocientu. Ak sú v rovnici dva logaritmy a jeden z nich treba odčítať od druhého, môžete a mali by ste použiť pravidlo kvocientu na spojenie dvoch logaritmov do jedného.

  • Príklad: log3(x + 6) – log3(x – 2) = 2

    • log3[(x + 6) / (x – 2)] = 2


Prepíšte rovnicu v exponenciálnom tvare. Teraz, keď je v rovnici len jeden logaritmus, použite definíciu logaritmov na prepísanie rovnice do exponenciálneho tvaru, čím odstránite log.

  • Príklad: log3[(x + 6) / (x – 2)] = 2

    • Porovnanie tejto rovnice s definíciou [y = logb (x)], môžete konštatovať, že: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x – 2)
    • Prepíšte rovnicu tak, že: by = x
    • 32 = (x + 6) / (x – 2)


Vyriešte pre x. Keď je teraz rovnica v exponenciálnom tvare, mali by ste byť schopní vyriešiť x ako zvyčajne.

  • Príklad: 32 = (x + 6) / (x – 2)

    • 3 * 3 = (x + 6) / (x – 2)
    • 9 = (x + 6) / (x – 2)
    • 9 * (x – 2) = [(x + 6) / (x – 2)] * (x – 2)
    • 9x – 18 = x + 6
    • 9x – x – 18 + 18 = x – x + 6 + 18
    • 8x = 24
    • 8x / 8 = 24 / 8
    • x = 3

  • Napíšte svoju konečnú odpoveď. Vráťte sa späť a dvakrát skontrolujte svoje kroky. Keď si budete istí, že máte správne riešenie, zapíšte ho.

    • Príklad: x = 3
  • Odkazy