3 spôsoby riešenia rovníc s premennými na oboch stranách

Pri štúdiu algebry sa stretnete s rovnicami, ktoré majú premennú na jednej strane, ale neskôr sa často stretnete s rovnicami, ktoré majú premenné na oboch stranách. Pri riešení takýchto rovníc je najdôležitejšie si zapamätať, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou. Pomocou tohto pravidla je ľahké premiestňovať premenné tak, aby ste ich mohli izolovať a použiť základné operácie na zistenie ich hodnoty.

Metóda 1 z 3:Riešenie rovníc s jednou premennou na oboch stranách


V prípade potreby použite distribučnú vlastnosť. Distributívna vlastnosť hovorí, že

a(b+c)=ab+ac{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}

.[1]
Toto pravidlo umožňuje zrušiť zátvorky vynásobením každého člena v zátvorke číslom mimo zátvorky.[2]

  • Napríklad, ak je vaša rovnica
    2(102x)=4(2x+2){\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}

    , použite distribučnú vlastnosť a vynásobte výrazy v zátvorkách číslom mimo zátvoriek:

    2(102x)=4(2x+2){\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}

    204x=8x+8{\displaystyle 20-4x=8x+8}


Zrušiť premennú na jednej strane rovnice. Ak chcete zrušiť premennú, vykonajte opačnú operáciu, ako je uvedená v rovnici. Ak je napríklad v rovnici odčítaný člen, zrušte ho pripočítaním. Ak je člen v rovnici pridaný, zrušte ho odčítaním. Zvyčajne je najjednoduchšie zrušiť premennú s menším koeficientom.

  • Napríklad v rovnici
    204x=8x+8{\displaystyle 20-4x=8x+8}

    , zrušiť člen

    4x{\displaystyle -4x}

    sčítaním

    4x{\displaystyle 4x}

    :

    204x+4x=8x+8{\displaystyle 20-4x+4x=8x+8}

    .


Udržujte rovnicu v rovnováhe. Čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou. Ak teda sčítaním alebo odčítaním zrušíte premennú na jednej strane rovnice, musíte sčítať alebo odčítať aj na druhej strane.

  • Napríklad, ak ste pridali
    4x{\displaystyle 4x}

    na jednej strane rovnice, aby ste zrušili premennú, musíte tiež pridať

    4x{\displaystyle 4x}

    na druhú stranu rovnice:

    204x+4x=8x+8+4x{\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x}


Zjednodušte rovnicu spojením podobných členov. Teraz by ste mali mať premennú na jednej strane rovnice.

  • Napríklad:
    204x+4x=8x+8+4x{\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x}

    20=12x+8{\displaystyle 20=12x+8}


V prípade potreby presuňte konštanty na jednu stranu rovnice. chcete mať premenný člen na jednej strane a konštantu na druhej strane. Ak chcete presunúť konštantu na jednu stranu, pridajte alebo odčítajte z každej strany rovnice, aby ste zrušili člen na jednej strane.[3]

  • Napríklad na zrušenie
    +8{\displaystyle +8}

    konštantu na strane premennej, odčítajte 8 z oboch strán rovnice:

    20=12x+8{\displaystyle 20=12x+8}

    208=12x+88{\displaystyle 20-8=12x+8-8}

    12=12x{\displaystyle 12=12x}


Zrušte koeficient premennej. Ak to chcete urobiť, vykonajte operáciu opačnú, ako je označená v rovnici. Zvyčajne to znamená delenie na zrušenie koeficientu, ktorým sa násobí premenná.[4]
Nezabudnite, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou rovnice.

  • Napríklad, ak chcete z rovnice odstrániť koeficient 12, vydelíte každú stranu rovnice číslom 12:
    12=12x{\displaystyle 12=12x}

    1212=12x12{\displaystyle {\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}}

    1=x{\displaystyle 1=x}


Skontrolujte svoju prácu. Ak sa chcete uistiť, že vaša odpoveď je správna, dosaďte svoje riešenie späť do pôvodnej rovnice. Ak je rovnica pravdivá, vaša odpoveď je správna.

  • Napríklad, ak
    1=x{\displaystyle 1=x}

    , Nahraďte 1 za premennú v rovnici a vypočítajte:

    2(102x)=4(2x+2){\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}

    2(102(1))=4(2(1)+2){\displaystyle 2(10-2(1))=4(2(1)+2)}

    2(102)=4(2+2){\displaystyle 2(10-2)=4(2+2)}

    204=8+8{\displaystyle 20-4=8+8}

    16=16{\displaystyle 16=16}

Metóda 2 z 3:Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými


Izolácia premennej v jednej rovnici. Toto už môže byť hotové. Ak nie, použite pravidlá algebry na izolovanie premennej na jednej strane rovnice. Nezabudnite, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou.

  • Napríklad pre rovnicu
    y+1=x1{\displaystyle y+1=x-1}

    , na izoláciu

    y{\displaystyle y}

    premennej, odčítali by ste 1 od oboch strán:

    y+1=x1{\displaystyle y+1=x-1}

    y+11=x11{\displaystyle y+1-1=x-1-1}

    y=x2{\displaystyle y=x-2}


Nahraďte hodnotu izolovanej premennej do druhej rovnice. Uistite sa, že ste nahradili celý výraz za premennú. Získate tak rovnicu len s jednou premennou, čo vám umožní vyriešiť premennú.[5]

  • Napríklad, ak je vaša prvá rovnica
    2x=202y{\displaystyle 2x=20-2y}

    , a určili ste

    y=x2{\displaystyle y=x-2}

    v druhej rovnici by ste nahradili

    x2{\displaystyle x-2}

    pre

    y{\displaystyle y}

    v prvej rovnici:

    2x=202y{\displaystyle 2x=20-2y}

    2x=202(x2){\displaystyle 2x=20-2(x-2)}


Vyriešte premennú. Ak to chcete urobiť, presuňte premennú na jednu stranu rovnice. Potom presunieme konštanty na jednu stranu rovnice. Potom izolujte premennú pomocou násobenia alebo delenia.

  • Napríklad:
    2x=202(x2){\displaystyle 2x=20-2(x-2)}

    2x=202x+4{\displaystyle 2x=20-2x+4}

    2x=242x{\displaystyle 2x=24-2x}

    2x+2x=242x+2x{\displaystyle 2x+2x=24-2x+2x}

    4x=24{\displaystyle 4x=24}

    4x4=244{\displaystyle {\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}}

    x=6{\displaystyle x=6}


Vyriešte zostávajúcu premennú. Ak to chcete urobiť, dosaďte hodnotu premennej, ktorú ste už vyriešili, do jednej z rovníc. Takto dostaneme rovnicu s jednou premennou. Riešte premennú pomocou pravidiel algebry. Na riešenie zostávajúcej premennej môžete použiť ktorúkoľvek z týchto rovníc.

  • Ak ste napríklad zistili, že
    x=6{\displaystyle x=6}

    , môžete nahradiť 6 za

    x{\displaystyle x}

    v druhej rovnici:

    y=x2{\displaystyle y=x-2}

    y=(6)2{\displaystyle y=(6)-2}

    y=4{\displaystyle y=4}


Skontrolujte si svoju prácu. Dosadiť hodnoty oboch premenných do jednej z rovníc. Ak je rovnica pravdivá, vaše riešenia sú správne.

  • Ak ste napríklad zistili, že
    x=6{\displaystyle x=6}

    a

    y=4{\displaystyle y=4}

    , Zapojte ich späť do pôvodnej rovnice a vyriešte:

    2x=202y{\displaystyle 2x=20-2y}

    2(6)=202(4){\displaystyle 2(6)=20-2(4)}

    12=208{\displaystyle 12=20-8}

    12=12{\displaystyle 12=12}

Metóda 3 z 3:Riešenie príkladových úloh


Vyskúšajte túto úlohu s využitím distribučnej vlastnosti s jednou premennou:

5(x+4)=6x5{\displaystyle 5(x+4)=6x-5}

.

  • Na zrušenie zátvoriek použite distribučnú vlastnosť:
    5(x+4)=6x5{\displaystyle 5(x+4)=6x-5}

    5x+20=6x5{\displaystyle 5x+20=6x-5}
  • Zrušiť
    5x{\displaystyle 5x}

    na ľavej strane rovnice odčítaním

    5x{\displaystyle 5x}

    z oboch strán:

    5x+20=6x5{\displaystyle 5x+20=6x-5}

    5x+205x=6x55x{\displaystyle 5x+20-5x=6x-5-5x}

    20=x5{\displaystyle 20=x-5}
  • Izolujte premennú pripočítaním 5 na každú stranu rovnice:
    20=x5{\displaystyle 20=x-5}

    20+5=x5+5{\displaystyle 20+5=x-5+5}

    25=x{\displaystyle 25=x}


Vyskúšajte túto úlohu zahŕňajúcu zlomok:

7+3x=7x2{\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}

.

  • Odstráňte zlomok. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice menovateľom zlomku:
    7+3x=7x2{\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}

    2(7+3x)=2(7x2){\displaystyle 2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})}

    14+6x=7x{\displaystyle -14+6x=7-x}
  • Zrušiť
    x{\displaystyle -x}

    na pravej strane rovnice pridaním

    x{\displaystyle x}

    na každú stranu rovnice:

    14+6x=7x{\displaystyle -14+6x=7-x}

    14+6x+x=7x+x{\displaystyle -14+6x+x=7-x+x}

    14+7x=7{\displaystyle -14+7x=7}
  • Presuňte konštanty na jednu stranu rovnice tak, že ku každej strane pripočítate 14:
    14+7x=7{\displaystyle -14+7x=7}

    14+7x+14=7+14{\displaystyle -14+7x+14=7+14}

    7x=21{\displaystyle 7x=21}
  • Zrušte koeficient vydelením každej strany rovnice číslom 7:
    7x=21{\displaystyle 7x=21}

    7x7=217{\displaystyle {\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}}

    x=3{\displaystyle x=3}

  • Skúste vyriešiť túto sústavu rovníc:

    9x+15=12y;9y=9x+27{\displaystyle 9x+15=12y;9y=9x+27}
    • Izolujte
      y{\displaystyle y}

      premennej v druhej rovnici:

      9y=9x+27{\displaystyle 9y=9x+27}

      9y=9(x+3){\displaystyle 9y=9(x+3)}

      9y9=9(x+3)9{\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}}

      y=x+3{\displaystyle y=x+3}
    • Zapojte
      x+3{\displaystyle x+3}

      pre

      y{\displaystyle y}

      v prvej rovnici:

      9x+15=12y{\displaystyle 9x+15=12y}

      9x+15=12(x+3){\displaystyle 9x+15=12(x+3)}
    • Použite distribučnú vlastnosť na zrušenie zátvoriek:
      9x+15=12x+36{\displaystyle 9x+15=12x+36}
    • Zrušte premennú na ľavej strane rovnice odčítaním
      9x{\displaystyle 9x}

      z každej strany:

      9x+15=12x+36{\displaystyle 9x+15=12x+36}

      9x+159x=12x+369x{\displaystyle 9x+15-9x=12x+36-9x}

      15=3x+36{\displaystyle 15=3x+36}
    • Presuňte konštanty na jednu stranu tak, že od každej strany odčítate 36:
      15=3x+36{\displaystyle 15=3x+36}

      1536=3x+3636{\displaystyle 15-36=3x+36-36}

      21=3x{\displaystyle -21=3x}
    • Koeficient zrušte vydelením každej strany číslom 3:
      21=3x{\displaystyle -21=3x}

      213=3x3{\displaystyle {\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}}

      7=x{\displaystyle -7=x}
    • Riešte pre
      y{\displaystyle y}

      pripojením hodnoty

      x{\displaystyle x}

      do ktorejkoľvek z rovníc:

      9y=9x+27{\displaystyle 9y=9x+27}

      9y=9(7)+27{\displaystyle 9y=9(-7)+27}

      9y=63+27{\displaystyle 9y=-63+27}

      9y=36{\displaystyle 9y=-36}

      9y9=369{\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}}

      y=4{\displaystyle y=-4}
  • Odkazy