3 spôsoby riešenia rovníc s premennými na oboch stranách

Pri štúdiu algebry sa stretnete s rovnicami, ktoré majú premennú na jednej strane, ale neskôr sa často stretnete s rovnicami, ktoré majú premenné na oboch stranách. Pri riešení takýchto rovníc je najdôležitejšie si zapamätať, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou. Pomocou tohto pravidla je ľahké premiestňovať premenné tak, aby ste ich mohli izolovať a použiť základné operácie na zistenie ich hodnoty.

Kroky

Metóda 1 z 3:Riešenie rovníc s jednou premennou na oboch stranách

V prípade potreby použite distribučnú vlastnosť. Distributívna vlastnosť hovorí, že

${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$

.[1]
Toto pravidlo umožňuje zrušiť zátvorky vynásobením každého člena v zátvorke číslom mimo zátvorky.[2]

• Napríklad, ak je vaša rovnica
  ${\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}$

  , použite distribučnú vlastnosť a vynásobte výrazy v zátvorkách číslom mimo zátvoriek:

  ${\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}$
  ${\displaystyle 20-4x=8x+8}$

Zrušiť premennú na jednej strane rovnice. Ak chcete zrušiť premennú, vykonajte opačnú operáciu, ako je uvedená v rovnici. Ak je napríklad v rovnici odčítaný člen, zrušte ho pripočítaním. Ak je člen v rovnici pridaný, zrušte ho odčítaním. Zvyčajne je najjednoduchšie zrušiť premennú s menším koeficientom.

• Napríklad v rovnici
  ${\displaystyle 20-4x=8x+8}$

  , zrušiť člen

  ${\displaystyle -4x}$

  sčítaním

  ${\displaystyle 4x}$

  :

  ${\displaystyle 20-4x+4x=8x+8}$

  .

Udržujte rovnicu v rovnováhe. Čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou. Ak teda sčítaním alebo odčítaním zrušíte premennú na jednej strane rovnice, musíte sčítať alebo odčítať aj na druhej strane.

• Napríklad, ak ste pridali
  ${\displaystyle 4x}$

  na jednej strane rovnice, aby ste zrušili premennú, musíte tiež pridať

  ${\displaystyle 4x}$

  na druhú stranu rovnice:

  ${\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x}$

Zjednodušte rovnicu spojením podobných členov. Teraz by ste mali mať premennú na jednej strane rovnice.

• Napríklad:
  ${\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x}$
  ${\displaystyle 20=12x+8}$

V prípade potreby presuňte konštanty na jednu stranu rovnice. chcete mať premenný člen na jednej strane a konštantu na druhej strane. Ak chcete presunúť konštantu na jednu stranu, pridajte alebo odčítajte z každej strany rovnice, aby ste zrušili člen na jednej strane.[3]

• Napríklad na zrušenie
  ${\displaystyle +8}$

  konštantu na strane premennej, odčítajte 8 z oboch strán rovnice:

  ${\displaystyle 20=12x+8}$
  ${\displaystyle 20-8=12x+8-8}$
  ${\displaystyle 12=12x}$

Zrušte koeficient premennej. Ak to chcete urobiť, vykonajte operáciu opačnú, ako je označená v rovnici. Zvyčajne to znamená delenie na zrušenie koeficientu, ktorým sa násobí premenná.[4]
Nezabudnite, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou rovnice.

• Napríklad, ak chcete z rovnice odstrániť koeficient 12, vydelíte každú stranu rovnice číslom 12:
  ${\displaystyle 12=12x}$
  ${\displaystyle {\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}}$
  ${\displaystyle 1=x}$

Skontrolujte svoju prácu. Ak sa chcete uistiť, že vaša odpoveď je správna, dosaďte svoje riešenie späť do pôvodnej rovnice. Ak je rovnica pravdivá, vaša odpoveď je správna.

• Napríklad, ak
  ${\displaystyle 1=x}$

  , Nahraďte 1 za premennú v rovnici a vypočítajte:

  ${\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}$
  ${\displaystyle 2(10-2(1))=4(2(1)+2)}$
  ${\displaystyle 2(10-2)=4(2+2)}$
  ${\displaystyle 20-4=8+8}$
  ${\displaystyle 16=16}$

Metóda 2 z 3:Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými

Izolácia premennej v jednej rovnici. Toto už môže byť hotové. Ak nie, použite pravidlá algebry na izolovanie premennej na jednej strane rovnice. Nezabudnite, že čokoľvek urobíte s jednou stranou rovnice, musíte urobiť aj s druhou stranou.

• Napríklad pre rovnicu
  ${\displaystyle y+1=x-1}$

  , na izoláciu

  ${\displaystyle y}$

  premennej, odčítali by ste 1 od oboch strán:

  ${\displaystyle y+1=x-1}$
  ${\displaystyle y+1-1=x-1-1}$
  ${\displaystyle y=x-2}$

Nahraďte hodnotu izolovanej premennej do druhej rovnice. Uistite sa, že ste nahradili celý výraz za premennú. Získate tak rovnicu len s jednou premennou, čo vám umožní vyriešiť premennú.[5]

• Napríklad, ak je vaša prvá rovnica
  ${\displaystyle 2x=20-2y}$

  , a určili ste

  ${\displaystyle y=x-2}$

  v druhej rovnici by ste nahradili

  ${\displaystyle x-2}$

  pre

  ${\displaystyle y}$

  v prvej rovnici:

  ${\displaystyle 2x=20-2y}$
  ${\displaystyle 2x=20-2(x-2)}$

Vyriešte premennú. Ak to chcete urobiť, presuňte premennú na jednu stranu rovnice. Potom presunieme konštanty na jednu stranu rovnice. Potom izolujte premennú pomocou násobenia alebo delenia.

• Napríklad:
  ${\displaystyle 2x=20-2(x-2)}$
  ${\displaystyle 2x=20-2x+4}$
  ${\displaystyle 2x=24-2x}$
  ${\displaystyle 2x+2x=24-2x+2x}$
  ${\displaystyle 4x=24}$
  ${\displaystyle {\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}}$
  ${\displaystyle x=6}$

Vyriešte zostávajúcu premennú. Ak to chcete urobiť, dosaďte hodnotu premennej, ktorú ste už vyriešili, do jednej z rovníc. Takto dostaneme rovnicu s jednou premennou. Riešte premennú pomocou pravidiel algebry. Na riešenie zostávajúcej premennej môžete použiť ktorúkoľvek z týchto rovníc.

• Ak ste napríklad zistili, že
  ${\displaystyle x=6}$

  , môžete nahradiť 6 za

  ${\displaystyle x}$

  v druhej rovnici:

  ${\displaystyle y=x-2}$
  ${\displaystyle y=(6)-2}$
  ${\displaystyle y=4}$

Skontrolujte si svoju prácu. Dosadiť hodnoty oboch premenných do jednej z rovníc. Ak je rovnica pravdivá, vaše riešenia sú správne.

• Ak ste napríklad zistili, že
  ${\displaystyle x=6}$

  a

  ${\displaystyle y=4}$

  , Zapojte ich späť do pôvodnej rovnice a vyriešte:

  ${\displaystyle 2x=20-2y}$
  ${\displaystyle 2(6)=20-2(4)}$
  ${\displaystyle 12=20-8}$
  ${\displaystyle 12=12}$

Metóda 3 z 3:Riešenie príkladových úloh

Vyskúšajte túto úlohu s využitím distribučnej vlastnosti s jednou premennou:

${\displaystyle 5(x+4)=6x-5}$

.

• Na zrušenie zátvoriek použite distribučnú vlastnosť:
  ${\displaystyle 5(x+4)=6x-5}$
  ${\displaystyle 5x+20=6x-5}$
• Zrušiť
  ${\displaystyle 5x}$

  na ľavej strane rovnice odčítaním

  ${\displaystyle 5x}$

  z oboch strán:

  ${\displaystyle 5x+20=6x-5}$
  ${\displaystyle 5x+20-5x=6x-5-5x}$
  ${\displaystyle 20=x-5}$
• Izolujte premennú pripočítaním 5 na každú stranu rovnice:
  ${\displaystyle 20=x-5}$
  ${\displaystyle 20+5=x-5+5}$
  ${\displaystyle 25=x}$

Vyskúšajte túto úlohu zahŕňajúcu zlomok:

${\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}$

.

• Odstráňte zlomok. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice menovateľom zlomku:
  ${\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}$
  ${\displaystyle 2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})}$
  ${\displaystyle -14+6x=7-x}$
• Zrušiť
  ${\displaystyle -x}$

  na pravej strane rovnice pridaním

  ${\displaystyle x}$

  na každú stranu rovnice:

  ${\displaystyle -14+6x=7-x}$
  ${\displaystyle -14+6x+x=7-x+x}$
  ${\displaystyle -14+7x=7}$
• Presuňte konštanty na jednu stranu rovnice tak, že ku každej strane pripočítate 14:
  ${\displaystyle -14+7x=7}$
  ${\displaystyle -14+7x+14=7+14}$
  ${\displaystyle 7x=21}$
• Zrušte koeficient vydelením každej strany rovnice číslom 7:
  ${\displaystyle 7x=21}$
  ${\displaystyle {\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}}$
  ${\displaystyle x=3}$

Skúste vyriešiť túto sústavu rovníc:

${\displaystyle 9x+15=12y;9y=9x+27}$

• Izolujte
  ${\displaystyle y}$

  premennej v druhej rovnici:

  ${\displaystyle 9y=9x+27}$
  ${\displaystyle 9y=9(x+3)}$
  ${\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}}$
  ${\displaystyle y=x+3}$
• Zapojte
  ${\displaystyle x+3}$

  pre

  ${\displaystyle y}$

  v prvej rovnici:

  ${\displaystyle 9x+15=12y}$
  ${\displaystyle 9x+15=12(x+3)}$
• Použite distribučnú vlastnosť na zrušenie zátvoriek:
  ${\displaystyle 9x+15=12x+36}$
• Zrušte premennú na ľavej strane rovnice odčítaním
  ${\displaystyle 9x}$

  z každej strany:

  ${\displaystyle 9x+15=12x+36}$
  ${\displaystyle 9x+15-9x=12x+36-9x}$
  ${\displaystyle 15=3x+36}$
• Presuňte konštanty na jednu stranu tak, že od každej strany odčítate 36:
  ${\displaystyle 15=3x+36}$
  ${\displaystyle 15-36=3x+36-36}$
  ${\displaystyle -21=3x}$
• Koeficient zrušte vydelením každej strany číslom 3:
  ${\displaystyle -21=3x}$
  ${\displaystyle {\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}}$
  ${\displaystyle -7=x}$
• Riešte pre
  ${\displaystyle y}$

  pripojením hodnoty

  ${\displaystyle x}$

  do ktorejkoľvek z rovníc:

  ${\displaystyle 9y=9x+27}$
  ${\displaystyle 9y=9(-7)+27}$
  ${\displaystyle 9y=-63+27}$
  ${\displaystyle 9y=-36}$
  ${\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}}$
  ${\displaystyle y=-4}$

Odkazy