3 spôsoby riešenia sústav algebraických rovníc obsahujúcich dve premenné

V „sústave rovníc“ máte vyriešiť dve alebo viac rovníc súčasne. Keď sú v nich dve rôzne premenné, napríklad x a y alebo a a b, môže byť na prvý pohľad zložité zistiť, ako ich vyriešiť. Našťastie, keď už viete, čo máte robiť, na vyriešenie problému vám stačia základné znalosti algebry (a niekedy aj znalosti zlomkov). Ak sa učíš názorne alebo ak to vyžaduje tvoj učiteľ, nauč sa rovnice aj graficky znázorniť. Grafické znázornenie môže byť užitočné na to, aby ste „videli, čo sa deje“, alebo na kontrolu svojej práce, ale môže byť pomalšie ako ostatné metódy a nefunguje dobre pre všetky sústavy rovníc.

Metóda 1 z 3:Použitie substitučnej metódy


Presuňte premenné na rôzne strany rovnice. Táto „substitučná“ metóda začína „riešením pre x“ (alebo akúkoľvek inú premennú) v jednej z rovníc. Povedzme, že vaše rovnice sú napríklad 4x + 2y = 8 a 5x + 3y = 9. Začnite tým, že sa pozriete len na prvú rovnicu. Preusporiadajte ju tak, že od každej strany odčítate 2y, a dostanete: 4x = 8 – 2y.

  • Pri tejto metóde sa neskôr často používajú zlomky. Ak nemáte radi zlomky, môžete namiesto toho vyskúšať nižšie uvedenú eliminačnú metódu.


Vydeľte obe strany rovnice, aby ste „vyriešili x. Keď máte člen x (alebo ktorúkoľvek premennú, ktorú používate) na jednej strane rovnice, vydeľte obe strany rovnice, aby ste získali samotnú premennú. Napríklad:

  • 4x = 8 – 2y
  • (4x)/4 = (8/4) – (2y/4)
  • x = 2 – ½y


Zapojte to späť do druhej rovnice. Uistite sa, že ste sa vrátili k iné rovnica, nie tá, ktorú ste už použili. V tejto rovnici nahraďte premennú, ktorú ste riešili, aby zostala len jedna premenná. Napríklad:

  • Viete, že x = 2 – ½y.
  • Vaša druhá rovnica, ktorú ste ešte nezmenili, je 5x + 3y = 9.
  • V druhej rovnici nahraďte x číslom „2 – ½y“: 5(2 – ½y) + 3y = 9.


Vyriešte zostávajúcu premennú. Teraz máte rovnicu len s jednou premennou. Použite bežné algebrické techniky na riešenie tejto premennej. Ak sa vaše premenné rušia, prejdite na posledný krok. V opačnom prípade skončíte s odpoveďou pre jednu z premenných:

  • 5(2 – ½y) + 3y = 9
  • 10 – (5/2)y + 3y = 9
  • 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Ak tomuto kroku nerozumiete, naučte sa sčítať zlomky. Pri tejto metóde je to často, ale nie vždy, potrebné.)
  • 10 + ½y = 9
  • ½y = -1
  • y = -2


Odpoveď použite na riešenie druhej premennej. Nerobte chybu, ak necháte úlohu nedokončenú. Odpoveď, ktorú ste dostali, musíte dosadiť späť do jednej z pôvodných rovníc, aby ste mohli vyriešiť druhú premennú:

  • Viete, že y = -2
  • Jedna z pôvodných rovníc je 4x + 2y = 8. (Na tento krok môžete použiť ktorúkoľvek rovnicu.)
  • Namiesto y dosaďte -2: 4x + 2(-2) = 8.
  • 4x – 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3


Vedieť, čo robiť, keď sa obe premenné rušia. Keď zapojíte x=3y+2 alebo podobnú odpoveď do inej rovnice, snažíte sa získať rovnicu len s jednou premennou. Niekedy skončíte s rovnicou s nie namiesto premenných. Dvakrát si skontrolujte svoju prácu a uistite sa, že dosadzujete (preusporiadanú) rovnicu jedna do rovnice dva, nie len späť do rovnice jedna. Ak ste si istí, že ste neurobili žiadnu chybu, máte jeden z nasledujúcich výsledkov: [1]

  • Ak skončíte s rovnicou, ktorá nemá premenné a nie je pravdivá (napríklad 3 = 5), problém má žiadne riešenie. (Ak by ste si obe rovnice zakreslili do grafu, videli by ste, že sú rovnobežné a nikdy sa nepretínajú.)
  • Ak skončíte s rovnicou bez premenných, ktorá je pravdivé (napríklad 3 = 3), problém má nekonečné riešenia. Dve rovnice sa navzájom presne rovnajú. (Ak by ste tieto dve rovnice zakreslili do grafu, videli by ste, že ide o tú istú priamku.)

Metóda 2 z 3:Použitie eliminačnej metódy


Nájdite premennú, ktorá ruší. Niekedy sa v rovniciach už „zruší“ premenná, keď ich sčítate. Napríklad, keď spojíte rovnice 3x + 2y = 11 a 5x – 2y = 13, „+2y“ a „-2y“ sa navzájom zrušia, čím sa z rovnice odstránia všetky „y“. Pozrite sa na rovnice v úlohe a zistite, či sa jedna z premenných zruší takto. Ak ani jeden z nich nebude, prečítajte si ďalší krok, kde vám poradíme.


Vynásobte jednu rovnicu tak, aby sa premenná zrušila. (Tento krok vynechajte, ak sa už premenné rušia.) Ak rovnice nemajú premennú, ktorá sa prirodzene ruší, zmeňte jednu z rovníc tak, aby sa rušila. Najjednoduchšie je to sledovať na príklade:

  • Máte sústavu rovníc 3x – y = 3 a -x + 2y = 4.
  • Zmeňme prvú rovnicu tak, aby y sa zruší. (Môžete si vybrať x namiesto toho, a nakoniec dostanete rovnakú odpoveď.)
  • – y na prvej rovnici sa musí zrušiť s + 2y v druhej rovnici. Môžeme to dosiahnuť vynásobením – y do 2.
  • Vynásobte obe strany prvej rovnice číslom 2, takto: 2(3x – y)=2(3), so 6x – 2y = 6. Teraz – 2y sa zruší s +2y v druhej rovnici.


Spojte obe rovnice. Ak chcete spojiť dve rovnice, sčítajte ľavé strany a pravé strany sčítajte. Ak ste rovnicu nastavili správne, jedna z premenných by sa mala zrušiť. Tu je príklad s použitím rovnakých rovníc ako v poslednom kroku:

  • Vaše rovnice sú 6x – 2y = 6 a -x + 2y = 4.
  • Spojte ľavé strany: 6x – 2y – x + 2y = ?
  • Spojte správne strany: 6x – 2y – x + 2y = 6 + 4.


Vyriešte poslednú premennú. Zjednodušte kombinovanú rovnicu a potom pomocou základnej algebry vyriešte poslednú premennú. ‚Ak po zjednodušení neexistujú žiadne premenné, preskočte radšej na posledný krok v tejto časti. Inak by ste mali skončiť s jednoduchou odpoveďou na jednu z vašich premenných. Napríklad:

  • Máte 6x – 2y – x + 2y = 6 + 4.
  • Zoskupujte x a y premenné spolu: 6x – x – 2y + 2y = 6 + 4.
  • Zjednodušte: 5x = 10
  • Vyriešte x: (5x)/5 = 10/5, Takže x = 2.


Vyriešte druhú premennú. Našli ste jednu premennú, ale ešte nie ste celkom hotoví. Zapojte svoju odpoveď do jednej z pôvodných rovníc, aby ste mohli vyriešiť druhú premennú. Napríklad:

  • Viete, že x = 2, a jedna z vašich pôvodných rovníc je 3x – y = 3.
  • Namiesto x dosaďte 2: 3(2) – y = 3.
  • Vyriešte y v rovnici: 6 – y = 3
  • 6 – y + y = 3 + y, takže 6 = 3 + y
  • 3 = y


Vedieť, čo robiť, keď sa obe premenné zrušia. Niekedy spojenie dvoch rovníc vedie k rovnici, ktorá nedáva zmysel, alebo vám aspoň nepomôže vyriešiť problém. Dvakrát si skontrolujte svoju prácu od začiatku, ale ak ste neurobili chybu, zapíšte si ako odpoveď jednu z nasledujúcich možností: [2]

  • Ak vaša kombinovaná rovnica neobsahuje žiadne premenné a nie je pravdivá (napr. 2 = 7), existuje žiadne riešenie ktorá bude fungovať na oboch rovniciach. (Ak obe rovnice znázorníte graficky, uvidíte, že sú rovnobežné a nikdy sa nepretínajú.)
  • Ak vaša kombinovaná rovnica nemá žiadne premenné a je pravdivá (ako 0 = 0), existujú nekonečné riešenie. Dve rovnice sú vlastne totožné. (Ak ich znázorníte graficky, uvidíte, že ide o tú istú priamku.)

Metóda 3 z 3:Grafické znázornenie rovníc


Túto metódu používajte len vtedy, keď vám to povieme. Ak nepoužívate počítač alebo grafickú kalkulačku, mnohé sústavy rovníc sa dajú touto metódou vyriešiť len približne.[3]
Učiteľ alebo učebnica matematiky môžu vyžadovať, aby ste používali túto metódu, aby ste sa oboznámili s grafickým znázornením rovníc ako úsečiek. Túto metódu môžete použiť aj na dvojitú kontrolu odpovedí z jednej z ostatných metód.

  • Základnou myšlienkou je nakresliť graf oboch rovníc a nájsť bod, v ktorom sa pretínajú. Hodnoty x a y v tomto bode nám určia hodnotu x a hodnotu y v sústave rovníc.


Vyriešte obe rovnice pre y. Ak chcete tieto dve rovnice oddeliť, použite algebru na to, aby ste každú rovnicu zmenili na tvar „y = __x + __“.[4]
Napríklad:

  • Vaša prvá rovnica je 2x + y = 5. Zmeňte to na y = -2x + 5.
  • Vaša druhá rovnica je -3x + 6y = 0. Zmeňte to na 6y = 3x + 0, potom zjednodušte na y = ½x + 0.
  • Ak sú obe rovnice rovnaké, bude celá priamka „priesečníkom“. Napíšte nekonečné riešenie.


Nakreslite súradnicové osi. Na kus grafického papiera nakreslite vertikálnu „os y“ a horizontálnu „os x“.“ Počnúc bodom, v ktorom sa pretínajú, označte čísla 1, 2, 3, 4 atď. posunutím nahor po osi y a opäť doprava po osi x. Označte čísla -1, -2 atď. pohybujúc sa na osi y smerom nadol a na osi x smerom doľava.

  • Ak nemáte grafický papier, použite pravítko, aby ste sa uistili, že sú čísla presne rozmiestnené.
  • Ak používate veľké čísla alebo desatinné čísla, možno budete musieť zmeniť mierku grafu. (Napríklad 10, 20, 30 alebo 0.1, 0.2, 0.3 namiesto 1, 2, 3).


Nakreslite y-intercept pre každú priamku. Keď máte rovnicu v tvare y = __x + __, Graf môžete začať kresliť tak, že nakreslíte bodku v mieste, kde priamka pretína os y. Vždy to bude pri hodnote y rovnej poslednému číslu v tejto rovnici.

  • V našich predchádzajúcich príkladoch je jeden riadok (y = -2x + 5) pretína os y v bode 5. Druhá (y = ½x + 0) zachytáva pri 0. (Toto sú body (0,5) a (0,0) na grafe.)
  • Ak je to možné, použite pre obe čiary rôzne farebné perá alebo ceruzky.


Na pokračovanie priamky použite sklon. Vo forme y = __x + __, číslo pred x je sklon priamky. Vždy, keď sa x zväčší o jednotku, hodnota y sa zväčší o veľkosť sklonu. Použite tieto informácie na vykreslenie bodu na grafe pre každú priamku, keď x = 1. (Prípadne do každej rovnice dosaďte x = 1 a vyriešte y.)

  • V našom príklade je riadok y = -2x + 5 má sklon -2. Pri x = 1 sa úsečka posunie dole 2 z bodu x = 0. Nakreslite úsečku medzi (0,5) a (1,3).
  • Riadok y = ½x + 0 má sklon ½. Pri x = 1 sa čiara pohybuje nahor ½ z bodu x=0. Nakreslite úsečku medzi (0,0) a (1,½).
  • Ak majú priamky rovnaký sklon, Priamky sa nikdy nebudú pretínať, takže na sústavu rovníc neexistuje odpoveď. Napíšte žiadne riešenie.


Pokračujte v kreslení priamok, kým sa nepretnú. Zastavte sa a pozrite sa na graf. Ak sa už čiary pretínajú, prejdite na ďalší krok. V opačnom prípade sa rozhodnite na základe toho, čo robia riadky:

  • Ak sa priamky pohybujú smerom k sebe, pokračujte v zakresľovaní bodov v tomto smere.
  • Ak sa priamky od seba vzďaľujú, vráťte sa späť a nakreslite body v opačnom smere, počnúc x = -1.
  • Ak sa priamky nenachádzajú nikde blízko seba, skúste skočiť dopredu a zakresliť vzdialenejšie body, napríklad pri x = 10.

  • Nájdite odpoveď v priesečníku. Keď sa tieto dve priamky pretnú, hodnoty x a y v tomto bode sú odpoveďou na váš problém. Ak budete mať šťastie, odpoveď bude celé číslo. Napríklad v našich príkladoch sa tieto dve priamky pretínajú v bode (2,1) tak vaša odpoveď je x = 2 a y = 1. V niektorých sústavách rovníc sa priamky pretnú na hodnote medzi dvoma celými číslami, a ak váš graf nie je mimoriadne presný, bude ťažké určiť, kde sa to nachádza. Ak sa tak stane, môžete napísať odpoveď, napríklad „x je medzi 1 a 2“, alebo použiť substitučnú alebo eliminačnú metódu na nájdenie presnej odpovede.
  • Odkazy