3 spôsoby riešenia viacrozmerných lineárnych rovníc v algebre

Viacrozmerné lineárne rovnice sú rovnice, ktoré majú dve alebo viac neznámych (vo všeobecnosti reprezentované písmenami „x“ a „y“). Tieto rovnice môžete riešiť viacerými spôsobmi vrátane eliminácie a substitúcie.

Metóda 1 z 3:Pochopenie zložiek lineárnych rovníc


Pochopiť, čo sú rovnice s viacerými premennými. Dve alebo viac lineárnych rovníc, ktoré sú zoskupené, sa nazývajú sústava. To znamená, že o sústavu lineárnych rovníc ide vtedy, keď sa súčasne riešia dve alebo viac lineárnych rovníc.[1]
Steward, J., Lothar, R., Watson, S., Algebra a trigonometria. Druhé vydanie. Singapur: Thomson Learning Asia,
Napríklad:

  • 8x – 3y = -3
  • 5x – 2y = -1
  • Ide o dve lineárne rovnice, ktoré musíte riešiť súčasne, čo znamená, že na riešenie oboch rovníc musíte použiť obe rovnice.


Vedzte, že sa snažíte zistiť hodnoty premenných alebo neznámych. Odpoveďou na úlohu s lineárnymi rovnicami je usporiadaná dvojica čísel, ktorá spôsobí, že obe rovnice budú pravdivé.

  • V prípade nášho príkladu sa snažíte zistiť, aké čísla „x“ a „y“ predstavujú, aby boli obe rovnice pravdivé. V prípade tohto príkladu je x = -3 a y = -7. Zapojte ich. 8(-3) – 3(-7) = -3. Toto je PRAVDA. 5(-3) -2(-7) = -1. Toto je tiež PRAVDA.


Vedieť, čo je číselný koeficient. Číselný koeficient je jednoducho číslo, ktoré sa nachádza pred premennou.[2]
Pri použití eliminačnej metódy použijete tieto číselné koeficienty. V našich príkladoch rovníc sú číselné koeficienty:

  • 8 a 3 pre prvú rovnicu; 5 a 2 pre druhú rovnicu.


Pochopiť rozdiel medzi riešením pomocou eliminácie a riešením pomocou substitúcie. Keď pri riešení lineárnej rovnice s viacerými premennými použijete elimináciu, zbavíte sa jednej z premenných, s ktorou pracujete (napríklad „x“), aby ste mohli riešiť druhú premennú („y“). Keď nájdete premennú „y“, môžete ju dosadiť do rovnice a vyriešiť premennú „x“ (nebojte sa, podrobne sa tomu budeme venovať v metóde 2).

  • Na druhej strane, pri substitúcii začnete pracovať len s jednou rovnicou, aby ste mohli opäť riešiť jednu premennú. Keď vyriešite jednu rovnicu, môžete svoje zistenia dosadiť do druhej rovnice, čím vlastne z dvoch menších rovníc vytvoríte jednu veľkú rovnicu. Opäť sa nemusíte obávať – podrobne sa tým budeme zaoberať v metóde 3.


Pochopte, že môžu existovať lineárne rovnice, ktoré majú tri alebo viac premenných. Riešenie rovníc s tromi premennými možno v skutočnosti vykonať rovnakým spôsobom, ako sa riešia rovnice s dvoma premennými. Môžete použiť elimináciu a substitúciu, len budú trvať o niečo dlhšie ako riešenie dvoch, ale ide o rovnaký postup.

Metóda 2 z 3:Riešenie lineárnej rovnice pomocou eliminácie


Pozrite sa na svoju rovnicu. Aby ste mohli vyriešiť úlohu, budete sa musieť oboznámiť so zložkami rovníc. Na nasledujúcom príklade sa naučíme, ako eliminovať premenné:

  • 8x – 3y = -3
  • 5x – 2y = -1


Vyberte premennú, ktorú chcete odstrániť. Ak chcete eliminovať premennú, číselný koeficient (číslo pred premennou) premennej musí byť navzájom opačný (napríklad 5 a -5 sú protikladné). Cieľom je zbaviť sa jednej premennej, aby ste mohli vyriešiť druhú premennú elimináciou jednej prostredníctvom odčítania. To znamená, že koeficienty tej istej premennej v oboch rovniciach sa navzájom vyrušia.[3]
Steward, J., Lothar, R., Watson, S., Algebra a trigonometria. Druhé vydanie. Singapur: Thomson Learning Asia,
Napríklad:

  • V rovnici 8x – 3y = -3 (rovnica A) a 5x – 2y = -1 (rovnica B) môžete rovnicu A vynásobiť číslom 2 a rovnicu B číslom 3, takže v rovnici A dostanete 6y a v rovnici B 6y.
  • Vyzeralo by to takto: rovnica A: 2(8x – 3y =-3) = 16x -6y = -6.
  • Rovnica B: 3(5x – 2y = -1) = 15x -6y =-3


Sčítaním alebo odčítaním týchto dvoch rovníc odstráňte jednu z premenných a vyriešte druhú premennú. Teraz, keď máte premennú, ktorú môžete eliminovať, môžete tak urobiť pridaním alebo odčítaním. To, či budete sčítavať alebo odčítavať, bude závisieť od toho, ako budete môcť odstrániť premennú. V našej rovnici by sme odčítali, pretože 6y je v každej z rovníc:

  • (16x – 6y = -6) – (15x – 6y = -3) = 1x = -3. x = -3.
  • V ostatných prípadoch, ak číselný koeficient x nie je po sčítaní alebo odčítaní 1, musíme obe strany vydeliť číselným koeficientom, aby sme rovnicu zjednodušili.


Zapojte svoje riešenie, aby ste vyriešili zostávajúcu premennú. Teraz, keď ste zistili, čomu sa rovná „x“, môžete toto číslo dosadiť do jednej z pôvodných rovníc a vyriešiť tak „y.[4]
Keď viete, že to funguje v jednej z rovníc, môžete to skúsiť zapojiť do druhej rovnice, aby ste sa uistili:

  • Rovnica B: 5(-3) – 2y = -1 takže -15 -2y = -1. Pridajte 15 k obom stranám, takže -2y = 14. Obe strany vydeľte číslom -2 tak, aby y = -7.
  • Preto x = -3 a y = -7.


Doplňte svoje zistenia do oboch rovníc, aby ste sa uistili, že sú správne. Keď ste našli svoje premenné, doplňte ich do pôvodných rovníc, aby ste sa uistili, že sú správne. Ak niektorá z rovníc nefunguje s nájdenými premennými, budete to musieť skúsiť znova.

  • 8(-3) – 3(-7) = -3, takže -24 +21 = -3 PRAVDA.
  • 5(-3) -2(-7) = -1 takže -15 + 14 = -1 PRAVDA.
  • Preto sú premenné, ktoré sme našli, správne.

Metóda 3 z 3:Riešenie lineárnej rovnice pomocou substitúcie


Začnite riešením jednej rovnice pre ktorúkoľvek premennú. Nezáleží na tom, s ktorou rovnicou sa rozhodnete pracovať, ani na tom, ktorú premennú si vyberiete na riešenie, pretože by ste mali nájsť rovnaké riešenie bez ohľadu na to, čo. Avšak chcete, aby bol tento proces čo najjednoduchší. Mali by ste si vybrať rovnicu, s ktorou sa vám bude pracovať najľahšie.[5]
Napríklad, ak existuje rovnica, kde jeden z koeficientov je 1, ako napríklad x – 3y = 7, vyberiete si ju, pretože bude ľahké vyriešiť „x“. Povedzme, že naše rovnice sú napríklad:

  • x – 2y = 10 (rovnica A) a -3x -4y = 10 (rovnica B). Rozhodli ste sa pracovať s x – 2y = 10, pretože koeficient x v tejto rovnici je 1.
  • Riešenie x v rovnici A by znamenalo pripočítanie 2y k obom stranám. Preto x = 10 + 2y.


Nahraďte svoje zistenia z kroku 1 do druhej rovnice. V tomto kroku budete musieť vložiť (alebo nahradiť) vaše riešenie pre „x“ do druhého riešenia, s ktorým ste nepracovali. To vám umožní nájsť druhú premennú, v tomto prípade ‚y‘.[6]
Steward, J., Lothar, R., Watson, S., Algebra a trigonometria. Druhé vydanie. Singapur: Thomson Learning Asia,
Vyskúšajme si to:

  • Do rovnice A vložte „x“ z rovnice B: -3(10 + 2y) -4y = 10. Vidíte, že sme z rovnice vyňali „x“ a vložili sme do nej to, čomu sa „x“ rovná.


Vyriešte druhú premennú. Teraz, keď ste z rovnice odstránili jednu z premenných, môžete vyriešiť druhú premennú. Toto je jednoduché riešenie regulárnej lineárnej rovnice jednej premennej. Vyriešme náš problém:

  • -3(10 + 2y) -4y = 10, takže -30 -6y -4y = 10.
  • Spojte y: -30 – 10y = 10.
  • Presuňte -30 na druhú stranu: -10y = 40.
  • Riešenie pre y: y = -4.


Vyriešte druhú premennú. Ak to chcete urobiť, dosaďte svoje zistenia pre „y“ alebo prvú premennú do jednej z rovníc. Potom vyriešte druhú premennú, v tomto prípade „x“. Vyskúšajme si to:

  • Riešte „x“ v rovnici A dosadením y = -4: x – 2(-4) = 10.
  • Jednoducho rovnica: x + 8 = 10.
  • Riešenie pre x: x = 2.

  • Dvakrát skontrolujte, či premenné, ktoré ste našli, fungujú pre obe rovnice. Do každej rovnice dosaďte obe premenné, aby ste sa uistili, že vytvárajú pravdivé rovnice. Pozrime sa, či tie naše fungujú:

    • Rovnica A: 2 – 2(-4) = 10 je PRAVDA.
    • Rovnica B: -3(2) -4(-4) = 10 je PRAVDA.
  • Odkazy

      Steward, J., Lothar, R., Watson, S., Algebra a trigonometria. Druhé vydanie. Singapur: Thomson Learning Asia,

      http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut49_systwo.htm

      Steward, J., Lothar, R., Watson, S., Algebra a trigonometria. Druhé vydanie. Singapur: Thomson Learning Asia,

      http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut49_systwo.htm

      http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut49_systwo.htm

      Steward, J., Lothar, R., Watson, S., Algebra a trigonometria. Druhé vydanie. Singapur: Thomson Learning Asia,