3 spôsoby snímania derivátov

Derivácia je operátor, ktorý zisťuje okamžitú rýchlosť zmeny veličiny, zvyčajne sklonu. Deriváty možno použiť na získanie užitočných charakteristík funkcie, ako sú jej extrémy a korene.[1]
Nájsť derivát z jeho definície môže byť zdĺhavé, ale existuje mnoho techník, ako to obísť a ľahšie nájsť deriváty.

Metóda 1 z 3: Predbežné kroky


Pochopte definíciu derivátu. Hoci sa to takmer nikdy nepoužije na skutočné zhotovenie derivátov, pochopenie tohto konceptu je napriek tomu nevyhnutné.

  • Pripomeňme si, že lineárna funkcia má tvar
    y=mx+b.{\displaystyle y=mx+b.}

    Zistenie sklonu

    m{\displaystyle m}

    tejto funkcie sa vezmú dva body na priamke a ich súradnice sa dosadia do vzťahu

    m=y2y1x2x1.{\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

    Samozrejme, tento postup sa dá použiť len pri lineárnych grafoch.

  • V prípade nelineárnych funkcií bude priamka zakrivená, takže z rozdielu dvoch bodov možno získať len priemernú rýchlosť zmeny medzi nimi. Priamka, ktorá pretína tieto dva body, sa nazýva sekantnej priamky, so sklonom
    m=f(x+Δx)f(x)Δx,{\displaystyle m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}

    kde

    Δx=x2x1{\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}

    je zmena

    x,{\displaystyle x,}

    a nahradili sme

    y{\displaystyle y}

    s

    f(x).{\displaystyle f(x).}

    Toto je rovnaká rovnica ako predchádzajúca rovnica.

  • Pojem derivácie sa objaví, keď vezmeme limitu
    Δx0.{\displaystyle \Delta x\na 0.}

    Keď sa tak stane, vzdialenosť medzi dvoma bodmi sa zmenší a sekantná priamka lepšie aproximuje rýchlosť zmeny funkcie. Keď pošleme limitu na 0, dostaneme okamžitá rýchlosť zmeny a získame sklon dotyčnicu ku krivke (pozri animáciu vyššie).[2]
    Potom dostaneme definíciu derivácie, kde prvočíslo označuje deriváciu funkcie

    f.{\displaystyle f.}
    • f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx{\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
  • Nájdenie derivácie z tejto definície vyplýva z rozšírenia čitateľa, zrušenia a následného vyhodnotenia limity, pretože okamžité vyhodnotenie limity dá v menovateli 0.


Pochopenie zápisu derivácie. Existujú dva bežné zápisy pre deriváciu, hoci existujú aj iné.

  • Lagrangeov zápis. V predchádzajúcom kroku sme použili tento zápis na označenie derivácie funkcie

    f(x){\displaystyle f(x)}

    pridaním prvočísla.

    • f(x){\displaystyle f^{\prime }(x)}
    • Tento zápis sa vyslovuje „
      f{\displaystyle f}

      prvočíslo

      x.{\displaystyle x.}

      “ Ak chcete vytvoriť derivácie vyššieho rádu, jednoducho pridajte ďalší prvočíselný symbol. Ak sa berú derivácie štvrtého alebo vyššieho rádu, zápis sa mení na

      f(4)(x),{\displaystyle f^{(4)}(x),}

      kde toto predstavuje štvrtú deriváciu.

  • Leibnizov zápis. Toto je ďalší bežne používaný zápis a budeme ho používať aj vo zvyšku článku.

    • dfdx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}
    • (Pri kratších výrazoch možno funkciu umiestniť do čitateľa.) Tento zápis doslova znamená „derivácia
      f{\displaystyle f}

      vzhľadom na

      x.{\displaystyle x.}

      “ Môže byť užitočné predstaviť si to ako

      ΔyΔx{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}

      pre hodnoty

      x{\displaystyle x}

      a

      y{\displaystyle y}

      ktoré sa od seba nekonečne líšia. Pri použití tohto zápisu pre vyššie derivácie musíte napísať

      d2fdx2,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},}

      kde toto predstavuje druhú deriváciu.

    • (Všimnite si, že v menovateli by „mali“ byť zátvorky, ale nikto ich nikdy nepíše, pretože každý aj bez nich pochopí, čo máme na mysli.)

Metóda 2 z 3:Základné techniky

Použitie definície


Nahraďte

(x+Δx){\displaystyle (x+\Delta x)}

do funkcie. Pre tento príklad budeme definovať

f(x)=2x2+6x.{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x.}
  • f(x+Δx)=2(x+Δx)2+6(x+Δx)=2(x2+2xΔx+(Δx)2)+6x+6Δx=2x2+4xΔx+2(Δx)2+6x+6Δx.{\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\Delta x)&=2(x+\Delta x)^{2}+6(x+\Delta x)\\&=2(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2})+6x+6\Delta x\&=2x^{2}+4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6x+6\Delta x.\end{aligned}}


Nahraďte funkciu do limitu. Potom vyhodnoťte limitu.

  • ddxf(x)=limΔx0(2x2+4xΔx+2(Δx)2+6x+6Δx)(2x2+6x)Δx=limΔx04xΔx+2(Δx)2+6ΔxΔx=limΔx0Δx(4x+2Δx+6)Δx=limΔx04x+2Δx+6=4x+6.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&=\lim _{\Delta x\na 0}{\frac {(2x^{2}+4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6x+6\Delta x)-(2x^{2}+6x)}{\Delta x}}\&=\lim _{\Delta x\na 0}{\frac {4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6\Delta x}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x(4x+2\Delta x+6)}{\Delta x}}\&=\lim _{\Delta x\do 0}4x+2\Delta x+6\\&=4x+6.\end{aligned}}
  • To je veľa práce pre takú jednoduchú funkciu. Uvidíme, že existuje veľa pravidiel pre derivácie, ktoré umožňujú obísť tento typ vyhodnocovania.
  • Sklon môžete nájsť kdekoľvek na funkcii
    f(x)=2x2+6x.{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x.}

    Do derivácie stačí dosadiť ľubovoľnú hodnotu x

    df(x)dx=4x+6.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=4x+6.}

Mocninové pravidlo


Použite mocninové pravidlo[3]
keď

f(x){\displaystyle f(x)}

je polynomická funkcia stupňa n. Vynásobte exponent koeficientom a znížte mocninu o jednotku.

  • Vzorec je
    ddx(xn)=nxn1.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n})=nx^{n-1}.}
  • Hoci sa zdá, že táto intuitívna metóda platí len pre exponenty prirodzených čísel, možno ju zovšeobecniť na všetky reálne čísla, t. j,
    nR.{\displaystyle n\in \mathbb {R} .}


Použite predchádzajúci príklad.

f(x)=2x2+6x.{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x.}

Pamätajte, že

x=x1.{\displaystyle x=x^{1}.}
  • f(x)=2x2+6xddxf(x)=(2)2x21+(1)6x11=4x+6.{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x^{2}+6x\{\{frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&=(2)2x^{2-1}+(1)6x^{1-1}\\&=4x+6.\end{aligned}}
  • Využili sme vlastnosť, že derivácia súčtu je súčtom derivácií (technicky to môžeme urobiť preto, lebo derivácia je lineárny operátor). Je zrejmé, že mocninové pravidlo výrazne uľahčuje hľadanie derivácií polynómov.
  • Predtým, ako budeme pokračovať, je dôležité poznamenať, že derivácia konštanty je 0, pretože derivácia meria rýchlosť zmeny a pri konštante takáto zmena neexistuje.

Deriváty vyššieho rádu


Opäť diferencujte. Vziať deriváciu funkcie vyššieho rádu jednoducho znamená, že vezmete deriváciu derivácie (pre rád 2). Ak sa vás napríklad pýta na tretiu deriváciu, jednoducho diferencujte funkciu trikrát.[4]
Pre polynomické funkcie stupňa

n,{\displaystyle n,} n+1{\displaystyle n+1}

derivácia rádu bude 0.


Vezmite tretiu deriváciu predchádzajúceho príkladu

f(x)=2x2+6x{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}

.

  • ddxf(x)=4x+6d2dx2f(x)=4d3dx3f(x)=0{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&=4x+6\{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)&=4\\{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}f(x)&=0\end{zarovnané}}
  • Vo väčšine aplikácií derivácií, najmä vo fyzike a technike, budete diferencovať nanajvýš dvakrát, prípadne trikrát.

Pravidlá súčinu a kvocientu


Pozrite si tento článok, v ktorom nájdete úplné spracovanie pravidla súčinu. Vo všeobecnosti platí, že derivácia súčinu robí nie sa rovná súčinu derivácií. Každá funkcia sa skôr „dostane na rad“ pri diferenciácii.

  • ddx(fg)=dfdxg+fdgdx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(fg)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}g+f{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}


Použite pravidlo kvocientu na deriváciu racionálnych funkcií. Rovnako ako pri súčinoch vo všeobecnosti, derivácia kvocientu nie sa rovná kvocientu derivácií.

  • ddx(fg)=gdfdxfdgdxg2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}({\frac {f}{g}}})={\frac {g{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}-f{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}{g^{2}}}}
  • Užitočnou mnemotechnickou pomôckou pre čitateľa derivácie je „dole-dole, hore-dole“, pretože znamienko mínus znamená, že na poradí záleží.
  • Uvažujme napríklad funkciu
    f(x)=x2+2x21x3.{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2x-21}{x-3}}.}

    Nech

    g(x)=x2+2x21{\displaystyle g(x)=x^{2}+2x-21}

    a

    h(x)=x3.{\displaystyle h(x)=x-3.}

    Potom použite pravidlo kvocientu.

    • ddx(gh)=(x3)(2x+2)(x2+2x21)(1)(x3)2=x26x+15(x3)2{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}({\frac {g}{h}}){vľavo)&={\frac {(x-3)(2x+2)-(x^{2}+2x-21)(1)}{(x-3)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-6x+15}{(x-3)^{2}}}\end{aligned}}}
  • Uistite sa, že vaša algebra je na úrovni. Odvodeniny zahŕňajúce takéto kvocienty sa môžu rýchlo stať ťažkopádnymi z hľadiska príslušnej algebry. To znamená, že by ste mali byť spokojní s faktorizáciou konštánt a so sledovaním záporných znamienok.

Reťazové pravidlo


Použite reťazové pravidlo[5]
pre vnorené funkcie.
Uvažujme napríklad scenár, v ktorom

z(y){\displaystyle z(y)}

je diferencovateľná funkcia

y{\displaystyle y}

a

y(x){\displaystyle y(x)}

je diferencovateľná funkcia

x.{\displaystyle x.}

Potom existuje zložená funkcia

z(y(x)),{\displaystyle z(y(x)),}

alebo

z{\displaystyle z}

ako funkcia

x,{\displaystyle x,}

že môžeme vziať deriváciu.

  • ddxz(y(x))=dzdydydx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}z(y(x))={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}
  • Rovnako ako pravidlo súčinu, aj toto pravidlo funguje s ľubovoľným počtom funkcií; preto sa používa „reťazové“ pravidlo. Tu je jednoduchý spôsob, ako vidieť, ako to funguje, ak si predstavíme a
    dydy{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} y}}}

    vložené medzi

    dzdx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}.}


Uvažujme funkciu

f(x)=(2x4x)3{\displaystyle f(x)=(2x^{4}-x)^{3}}

. Všimnite si, že túto funkciu možno rozložiť na dve základné funkcie,

g(x)=2x4x{\displaystyle g(x)=2x^{4}-x}

a

h(g)=g3.{\displaystyle h(g)=g^{3}.}

Potom chceme nájsť deriváciu zloženia

f(x)=h(g(x)).{\displaystyle f(x)=h(g(x)).}
  • Použite reťazové pravidlo
    ddxh(g(x))=dhdgdgdx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}h(g(x))={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} g}}{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}.}

    Deriváciu sme teraz zapísali v termínoch derivácií, ktoré sa ľahšie prijímajú. Potom,

  • ddxh(g(x))=3(2x4x)2(8x31).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}h(g(x))=3(2x^{4}-x)^{2}(8x^{3}-1).}
  • S praxou zistíte, že použitie reťazového pravidla je najjednoduchšie, ak „olúpete cibuľu“.“ Prvá vrstva je všetko, čo je v zátvorkách, v kocke. Druhá vrstva je funkcia vnútri zátvoriek. Pri riešení zložitejších funkcií tento spôsob myslenia pomáha udržať si prehľad a nestratiť sa v tom, aké funkcie sa berú vzhľadom na aké premenné atď.

Ďalšie dôležité deriváty


Pozri tento článok pre úplné spracovanie implicitnej diferenciácie. Pochopenie reťazového pravidla je nevyhnutné na to, aby sme mohli implicitne diferencovať.


Pozri tento článok pre úplné spracovanie diferencovania exponenciálnych funkcií.

  • ddxex=ex{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}
  • ddxax=axlna{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=a^{x}\ln a}
  • ddxlnx=1x{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}ln x={\frac {1}{x}}}
  • ddxlogax=1xlna{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}log _{a}x={\frac {1}{x\ln a}}}


Zapamätať si základné trigonometrické derivácie a ich odvodenie.

  • ddxsinx=cosx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x}
  • ddxcosx=sinx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos x=-\sin x}
  • ddxtanx=sek2x{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=\sec ^{2}x}
  • ddxcotx=csc2x{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-\csc ^{2}x}
  • ddxsekx=sekxtanx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x=\sec x\tan x}
  • ddxcscx=cscxcotx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc x=-\csc x\cot x}

Metóda 3 z 3:Použitie kalkulačky

Stlačte Alfa F2. Tým sa otvorí tlačidlo „Okno“, kde uvidíte veľa možností. Prejdite na kartu FUNC, ak tam ešte nie ste.[6]

  • Tieto pokyny sa týkajú nových modelov TI-84 a TI-84 Plus. Staršie modely sa môžu mierne líšiť.

Vyberte nDeriv(. Je to tretia možnosť na zozname. Keď sa k nemu dostanete, môžete ho vybrať stlačením tlačidla „enter“.[7]

Do rovnice zadajte svoj vzorec. Keď stlačíte možnosť derivácie, kalkulačka vám ponúkne prázdnu rovnicu, ktorá vyzerá takto:

(d/d[])([])|x=[]{\displaystyle (d/d[])([])|x=[]}

. Pokračujte a zadajte do rovnice svoje konkrétne čísla.[8]

  • Ak by ste napríklad hľadali deriváciu funkcie
    x2{\displaystyle x^{2}}

    kde

    x=2{\displaystyle x=2}

    , zadáte

    (d/dx)(x2)|x=2{\displaystyle (d/dx)(x^{2})|x=2}

    .

  • Ak máte v grafe Y kalkulačky vykreslenú rovnicu, môžete ich zadať do prázdneho poľa stlačením vars > Y-VARS > Funkcia.
  • Stlačte „enter“, aby ste našli deriváciu. Po zadaní všetkých čísel môžete na kalkulačke vybrať „enter“ a získať odpoveď. (dúfajme), že vám dá odpoveď v zrozumiteľnej celočíselnej forme.[9]

    • Napríklad vo vyššie uvedenej rovnici je derivácia 4.
  • Odkazy