3 spôsoby určenia plochy kužeľa

Plocha kužeľa je súčtom bočnej plochy a plochy podstavy. Ak poznáte polomer podstavy a šikmú výšku kužeľa, môžete ľahko zistiť celkový povrch pomocou štandardného vzorca. Niekedy však môžete mať polomer a nejakú inú mieru, napríklad výšku alebo objem kužeľa. V týchto prípadoch môžete použiť Pytagorovu vetu a vzorec pre objem na odvodenie šikmej výšky, a teda aj plochy kužeľa.

Metóda 1 z 3:Ak poznáte polomer a výšku šikminy


Nastavte vzorec pre povrch kužeľa. Vzorec je

SA=(π)(r)(s)+(π)(r2){\displaystyle {\text{SA}}=(\pi )(r)(s)+(\pi )(r^{2})}

, kde

SA{\displaystyle {\text{SA}}

sa rovná ploche kužeľa,

r{\displaystyle r}

sa rovná dĺžke polomeru podstavy kužeľa a

s{\displaystyle s}

sa rovná šikmej výške kužeľa.[1]

  • Celková plocha kužeľa sa rovná súčtu bočných plôch (
    (π)(r)(s){\displaystyle (\pi )(r)(s)}

    ) a plochu podstavy (

    (π)(r2){\displaystyle (\pi )(r^{2})}

    ) Keďže podstava kužeľa je kružnica.

  • Šikmá výška je uhlopriečna vzdialenosť od horného vrcholu kužeľa po hranu podstavy.[2]
  • Dbajte na to, aby ste si nezamieňali „výšku šikmej plochy“ s „výškou“, čo je kolmá vzdialenosť medzi horným vrcholom a základňou.[3]


Dosadíme hodnotu polomeru do vzorca. Táto dĺžka by mala byť daná, alebo by ste ju mali vedieť zmerať. Uistite sa, že ste nahradili oba

r{\displaystyle r}

premenné vo vzorci.

  • Ak je napríklad polomer podstavy kužeľa 5 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    SA=(π)(5)(s)+(π)(52){\displaystyle {\text{SA}}=(\pi )(5)(s)+(\pi )(5^{2})}

    .


Do vzorca dosadíme hodnotu šikmej výšky. Táto dĺžka by mala byť daná alebo by ste ju mali byť schopní zmerať.

  • Ak je napríklad výška šikmého kužeľa 10 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    SA=(π)(5)(10)+(π)(52){\displaystyle {\text{SA}}=(\pi )(5)(10)+(\pi )(5^{2})}

    .


Vypočítajte bočnú plochu kužeľa (

(π)(r)(s){\displaystyle (\pi )(r)(s)}

). Na tento účel vynásobte polomer, výšku šikmej plochy a

π{\displaystyle \pi }

. Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3.14 ako hodnota

π{\displaystyle \pi }

.

  • Napríklad:
    SA=(π)(5)(10)+(π)(52){\displaystyle {\text{SA}}=(\pi )(5)(10)+(\pi )(5^{2})}

    SA=(3.14)(5)(10)+(π)(52){\displaystyle {\text{SA}}=(3.14)(5)(10)+(\pi )(5^{2})}

    SA=157+(π)(52){\displaystyle {\text{SA}}=157+(\pi )(5^{2})}


Vypočítajte plochu podstavy kužeľa (

(π)(r2){\displaystyle (\pi )(r^{2})}

). Na tento účel odmocnite polomer základne a potom vynásobte

π{\displaystyle \pi }

. Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3.14 ako hodnota

π{\displaystyle \pi }

.

  • Napríklad:
    SA=157+(π)(52){\displaystyle {\text{SA}}=157+(\pi )(5^{2})}

    SA=157+(3.14)(25){\displaystyle {\text{SA}}=157+(3.14)(25)}

    SA=157+78.5{\displaystyle {\text{SA}}=157+78.5}


Súčet bočnej plochy a plochy podstavy kužeľa. Takto získame celkový povrch kužeľa v štvorcových jednotkách.

  • Napríklad:
    SA=157+78.5=235.5{\displaystyle {\text{SA}}=157+78.5=235.5}

    Takže plocha kužeľa s polomerom 5 cm a výškou šikmej plochy 10 cm je 235.5 štvorcových centimetrov.

Metóda 2 z 3:Ak poznáte polomer a kolmú výšku


Nastavte vzorec pre Pytagorovu vetu. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sa rovnajú dĺžkam strán pravouhlého trojuholníka a

c{\displaystyle c}

sa rovná dĺžke hypotenzy (strany oproti pravému uhlu).[4]

  • Dbajte na to, aby ste si nezamieňali výšku kužeľa s výškou šikmou, čo je uhlopriečna vzdialenosť od horného vrcholu kužeľa k okraju podstavy.[5]
  • Výška je kolmá vzdialenosť medzi horným vrcholom a základňou.[6]


Dĺžku polomeru a výšku dosaďte do vzorca. Polomer a výšku kužeľa použijete ako dve strany pravouhlého trojuholníka. Nahraďte polomer za premennú

a{\displaystyle a}

a výška pre premennú

b{\displaystyle b}

.

  • Ak je napríklad polomer kužeľa 5 cm a výška 12 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    52+122=c2{\displaystyle 5^{2}+12^{2}=c^{2}}

    .


Odpočítajte dĺžky polomeru a výšky a potom pripočítajte. Nezabudnite, že vynásobenie čísla štvorcom znamená vynásobiť ho samým sebou.

  • Napríklad:
    52+122=c2{\displaystyle 5^{2}+12^{2}=c^{2}}

    25+144=c2{\displaystyle 25+144=c^{2}}

    169=c2{\displaystyle 169=c^{2}}


Z každej strany rovnice zoberte druhú odmocninu. Takto získate dĺžku prepony pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná výške šikmej časti kužeľa.[7]

  • Napríklad:
    169=c2{\displaystyle 169=c^{2}}

    169=c2{\displaystyle {\sqrt {169}}={\sqrt {c^{2}}}}

    13=c{\displaystyle 13=c}

    Takže šikmá výška kužeľa je 13 cm.


Stanovte vzorec pre povrch kužeľa. Vzorec je

SA=(π)(r)(s)+(π)(r2){\displaystyle {\text{SA}}=(\pi )(r)(s)+(\pi )(r^{2})}

, kde

SA{\displaystyle {\text{SA}}

sa rovná ploche kužeľa,

r{\displaystyle r}

sa rovná dĺžke polomeru podstavy kužeľa a

s{\displaystyle s}

sa rovná šikmej výške kužeľa.[8]

  • Celková plocha kužeľa sa rovná súčtu bočných plôch (
    (π)(r)(s){\displaystyle (\pi )(r)(s)}

    ) a plocha podstavy (

    (π)(r2){\displaystyle (\pi )(r^{2})}

    , keďže podstava kužeľa je kružnica).


Dosadiť všetky známe hodnoty do vzorca. Polomer by mal byť daný a výšku šikmej plochy ste už vypočítali. Uistite sa, že vo vzorci pre povrch použijete šikmú výšku, nie (kolmú) výšku. Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3.14 pre

π{\displaystyle \pi }
  • Napríklad pre kužeľ s polomerom 5 cm a šikmou výškou 13 cm bude váš vzorec vyzerať takto:
    SA=(3.14)(5)(13)+(3.14)(52){\displaystyle {\text{SA}}=(3.14)(5)(13)+(3.14)(5^{2})}

    .


Vynásobením zistíme bočnú plochu a plochu základne. Potom tieto produkty sčítajte. Súčet vám dá celkový povrch kužeľa v štvorcových jednotkách.

  • Napríklad:
    SA=(3.14)(5)(13)+(3.14)(52){\displaystyle {\text{SA}}=(3.14)(5)(13)+(3.14)(5^{2})}

    SA=204.1+(3.14)(25){\displaystyle {\text{SA}}=204.1+(3.14)(25)}

    SA=204.1+78.5{\displaystyle {\text{SA}}=204.1+78.5}

    SA=282.6{\displaystyle {\text{SA}}=282.6}

    Takže plocha kužeľa s polomerom 5 cm a výškou 12 cm je 282.6 štvorcových centimetrov.

Metóda 3 z 3:Ak poznáte polomer a objem


Stanovte vzorec pre objem kužeľa. Vzorec je

V=13(π)(r2)(h){\displaystyle V={\frac {1}{3}}(\pi )(r^{2})(h)}

, kde

V{\displaystyle V}

sa rovná objemu kužeľa,

r{\displaystyle r}

sa rovná polomeru podstavy kužeľa a

h{\displaystyle h}

sa rovná kolmej výške kužeľa.[9]

  • Dbajte na to, aby ste si nezamieňali výšku kužeľa so šikmou výškou, čo je uhlopriečna vzdialenosť od horného vrcholu kužeľa po hranu podstavy.[10]
  • Výška je kolmá vzdialenosť medzi horným vrcholom a základňou.[11]


Dosadíme známe hodnoty do vzorca. Mali by ste poznať objem a dĺžku polomeru. Ak nie, nemôžete použiť túto metódu. Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3.14 pre

π{\displaystyle \pi }

.

  • Ak napríklad viete, že kužeľ má objem 950 centimetrov kubických a polomer 6 centimetrov, váš vzorec bude vyzerať takto:
    950=13(3.14)(62)(h){\displaystyle 950={\frac {1}{3}}(3.14)(6^{2})(h)}

    .


Dokončite násobenie. Najprv odmocnite polomer a potom túto hodnotu vynásobte

π{\displaystyle \pi }

. Potom tento súčin vynásobte

13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

. Takto získate koeficient pre

h{\displaystyle h}

premenná.

  • Napríklad:
    950=13(3.14)(62)(h){\displaystyle 950={\frac {1}{3}}(3.14)(6^{2})(h)}

    950=13(3.14)(36)(h){\displaystyle 950={\frac {1}{3}}(3.14)(36)(h)}

    950=13(113.04)(h){\displaystyle 950={\frac {1}{3}}(113.04)(h)}

    950=37.68h{\displaystyle 950=37.68h}


Každú stranu vydeľte

h{\displaystyle h}

koeficient. Takto získate hodnotu

h{\displaystyle h}

, čo je kolmá výška kužeľa. Túto informáciu budete potrebovať na zistenie šikmej výšky kužeľa, ktorú je potrebné vedieť pri riešení plochy.

  • Napríklad:
    950=37.68h{\displaystyle 950=37.68h}

    95037.68=37.68h37.68{\displaystyle {\frac {950}{37.68}}={\frac {37.68h}{37.68}}}

    25.21=h{\displaystyle 25.21=h}

    Takže výška kužeľa je 25.21 cm.


Vytvorte vzorec pre Pytagorovu vetu. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sa rovnajú dĺžkam strán pravouhlého trojuholníka a

c{\displaystyle c}

sa rovná dĺžke hypotenzy (strany oproti pravému uhlu).[12]


Dĺžku polomeru a výšku dosadíme do vzorca. Polomer a výšku kužeľa použijete ako dve strany pravouhlého trojuholníka. Nahraďte polomer za premennú

a{\displaystyle a}

a výška pre premennú

b{\displaystyle b}
  • Ak je napríklad polomer kužeľa 6 cm a výška 25.21 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    62+25.212=c2{\displaystyle 6^{2}+25.21^{2}=c^{2}}

    .


Riešenie pre

c{\displaystyle c}

. Takto získame dĺžku prepony pravouhlého trojuholníka, ktorá je zároveň šikmou výškou kužeľa.

  • Napríklad:
    62+25.212=c2{\displaystyle 6^{2}+25.21^{2}=c^{2}}

    36+635.54=c2{\displaystyle 36+635.54=c^{2}}

    671.54=c2{\displaystyle 671.54=c^{2}}

    671.54=c2{\displaystyle {\sqrt {671.54}}={\sqrt {c^{2}}}}

    25.91=c{\displaystyle 25.91=c}

    Takže šikmá výška kužeľa je 25.91 cm.


Vytvorte vzorec pre povrch kužeľa. Vzorec je

SA=(π)(r)(s)+(π)(r2){\displaystyle {\text{SA}}=(\pi )(r)(s)+(\pi )(r^{2})}

, kde

SA{\displaystyle {\text{SA}}

sa rovná ploche kužeľa,

r{\displaystyle r}

sa rovná dĺžke polomeru podstavy kužeľa a

s{\displaystyle s}

sa rovná šikmej výške kužeľa.[13]

  • Celkový povrch kužeľa sa rovná súčtu bočných povrchov (
    (π)(r)(s){\displaystyle (\pi )(r)(s)}

    ) a základnú plochu (

    (π)(r2){\displaystyle (\pi )(r^{2})}

    , keďže podstavou kužeľa je kružnica).


Dosadiť všetky známe hodnoty do vzorca. Uistite sa, že vo vzorci pre povrchovú plochu používate šikmú výšku, nie (kolmú) výšku. Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3.14 pre

π{\displaystyle \pi }
  • Napríklad pre kužeľ s polomerom 6 cm a šikmou výškou 25.91 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    SA=(3.14)(6)(25.91)+(3.14)(62){\displaystyle {\text{SA}}=(3.14)(6)(25.91)+(3.14)(6^{2})}

    .


  • Vynásobením zistíme bočnú plochu a plochu základne. Potom tieto súčiny sčítajte. Súčet vám dá celkovú plochu kužeľa v štvorcových jednotkách.

    • Napríklad:
      SA=(3.14)(6)(25.91)+(3.14)(62){\displaystyle {\text{SA}}=(3.14)(6)(25.91)+(3.14)(6^{2})}

      SA=488.14+(3.14)(36){\displaystyle {\text{SA}}=488.14+(3.14)(36)}

      SA=488.14+113.04{\displaystyle {\text{SA}}=488.14+113.04}

      SA=601.18{\displaystyle {\text{SA}}=601.18}

      Takže povrch kužeľa s polomerom 6 cm a objemom 950 cm3 je 601.18 štvorcových centimetrov.

  • Odkazy