3 spôsoby určenia trojuholníka a kruhu s rovnakou plochou

Plocha uzavretého útvaru je vnútorný priestor meraný v štvorcových jednotkách. Pre väčšinu mnohouholníkov, ako sú trojuholníky, sa plocha vypočíta pomocou dĺžky základne a výšky. Keďže kruh nemá základňu ani výšku, plocha sa vypočíta pomocou polomeru. Napriek týmto rozdielom môžete použiť rôzne metódy na vytvorenie trojuholníka, ktorý má rovnakú plochu ako daná kružnica, a naopak.

Metóda 1 z 3:Použitie Archimedovej vety

Zistite dĺžku polomeru kruhu. Táto informácia by mala byť daná, inak by ste ju mali vedieť zmerať. Ak nepoznáte polomer kružnice, nemôžete použiť túto metódu.

  • Napríklad môžete mať kruh s polomerom 4 cm.

Vytvorte vzorec pre Archimedovu vetu. Táto veta hovorí, že plocha ľubovoľnej kružnice sa rovná ploche pravouhlého trojuholníka, ktorého základňa je rovná polomeru kružnice a výška je rovná obvodu kružnice. Matematicky sa to vyjadruje vzorcom

π(r2)=12r(2π(r)){\displaystyle \pi (r^{2})={\frac {1}{2}}r(2\pi (r))}

, kde

r{\displaystyle r}

je polomer kruhu.[1]

  • Všimnite si, že
    π(r2){\displaystyle \pi (r^{2})}

    je vzorec pre plochu kruhu a

    12základ×výška{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\text{základ}}}časy {\text{výška}}

    je vzorec pre plochu trojuholníka.[2]
    Vzorec je zostavený tak, aby ukázal, že trojuholník bude mať základňu rovnú polomeru (

    r{\displaystyle r}

    ) a výšku rovnú obvodu kruhu (

    2π(r){\displaystyle 2\pi (r)}

    ).[3]

Dĺžku polomeru dosadíme do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili všetky tri prípady

r{\displaystyle r}

.

  • Ak je napríklad polomer 4 cm, rovnica bude vyzerať takto:
    π(42)=124(2π(4)){\displaystyle \pi (4^{2})={\frac {1}{2}}4(2\pi (4))}

    .

Vypočítajte plochu kruhu. To bude zároveň plocha trojuholníka. Toto je znázornené vo vzorci

π(r2){\displaystyle \pi (r^{2})}

. Ak nepoužívate vedeckú kalkulačku, použite 3.14 ako hodnota

π{\displaystyle \pi }

.

  • Napríklad:
    π(r4)=124(2π(4)){\displaystyle \pi (r^{4})={\frac {1}{2}}4(2\pi (4))}

    π(42)=124(2π(4)){\displaystyle \pi (4^{2})={\frac {1}{2}}4(2\pi (4))}

    16π=124(2π(4)){\displaystyle 16\pi ={\frac {1}{2}}4(2\pi (4))}

    16(3.14)=124(2(3.14)(4))=50.24{\displaystyle 16(3.14)={\frac {1}{2}}4(2(3.14)(4))=50.24}
  • Takže plocha kruhu a trojuholníka je približne 50.24 štvorcových centimetrov.

Vypočítajte obvod kruhu. Takto získate výšku trojuholníka. (Nezabudnite, že základňa trojuholníka sa rovná polomeru kružnice). Obvod sa vo vzorci zobrazí takto

2π(r){\displaystyle 2\pi (r)}

. Ak nepoužívate vedeckú kalkulačku, použite 3.14 ako hodnota

π{\displaystyle \pi }

.

  • Napríklad:
    50.24=124(2(3.14)(4)){\displaystyle 50.24={\frac {1}{2}}4(2(3.14)(4))}

    50.24=124(25.12){\\displaystyle 50.24={\frac {1}{2}}4(25.12)}
  • Takže výška trojuholníka je približne 25.12 cm.

Skontrolujte svoju prácu. Doplňte výpočty do rovnice, aby ste sa uistili, že obe strany sú rovnaké. Všimnite si, že ak ste zaokrúhlili na 3.14, ak použijete

π{\displaystyle \pi }

rovnica môže byť o niekoľko desatinných miest menšia.

  • Napríklad:
    50.24=124(25.12){\displaystyle 50.24={\frac {1}{2}}4(25.12)}

    50.24=12(100.56){\displaystyle 50.24={\frac {1}{2}}(100.56)}

    50.24=50.28{\displaystyle 50.24=50.28}
  • Keďže ste zaokrúhlili na 3.14 a rovnica je chybná len o 2 stotiny, môžete predpokladať, že plochy sú rovnaké, a teda vaše výpočty sú správne. Teda plocha kruhu s polomerom 4 cm sa rovná ploche pravouhlého trojuholníka so základňou 4 cm a výškou 25.12 cm.

Metóda 2 z 3:Použitie polomeru kružnice a výšky trojuholníka

Nastavte vzorec pre plochu kruhu. Vzorec je nasledovný

A=π(r2){\displaystyle A=\pi (r^{2})}

, kde

A{\displaystyle A}

sa rovná ploche kruhu a

r{\displaystyle r}

sa rovná polomeru kruhu.[4]

Do vzorca dosadíme dĺžku polomeru a odmocníme ju. Nezabudnite nahradiť premennú

r{\displaystyle r}

.

  • Napríklad, ak má kruh polomer 4 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    A=π(42){\displaystyle A=\pi (4^{2})}

    A=π(16){\displaystyle A=\pi (16)}

    .

Vynásobte

π{\displaystyle \pi }

. Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3.14 pre

π{\displaystyle \pi }

. Takto získate plochu kruhu.

  • Napríklad:
    A=π(16){\displaystyle A=\pi (16)}

    A=3.14(16){\displaystyle A=3.14(16)}

    A=50.24{\displaystyle A=50.24}
  • Takže plocha kruhu je približne 50.24 cm.

Nastavte vzorec pre plochu trojuholníka. Vzorec je

A=12bh{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}

, kde

A{\displaystyle A}

sa rovná ploche trojuholníka,

b{\displaystyle b}

sa rovná dĺžke základne trojuholníka a

h{\displaystyle h}

sa rovná výške trojuholníka.[5]

Dosadíme plochu do vzorca pre trojuholník. Keďže chcete, aby plocha každého z týchto čísel bola rovnaká, použite plochu, ktorú ste predtým vypočítali pre kružnicu.

  • Ak ste napríklad zistili, že plocha kruhu je 50.24 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    50.24=12bh{\displaystyle 50.24={\frac {1}{2}}bh}

    .

Dosadíme výšku trojuholníka do vzorca. Túto metódu môžete použiť aj vtedy, ak je daná dĺžka základne (

b{\displaystyle b}

). Stačí, ak do príslušnej premennej dosadíte príslušnú hodnotu.

  • Ak je napríklad výška trojuholníka 10 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    50.24=12b(10){\displaystyle 50.24={\frac {1}{2}}b(10)}

    .

Vynásobte výšku trojuholníka

12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

. Potom vydeľte každú stranu rovnice týmto súčinom. Takto získate dĺžku základne vášho trojuholníka.

  • Napríklad:
    50.24=5b{\a6}displej 50.24=5b}

    50.245=5b5{\displaystyle {\frac {50.24}{5}}={\frac {5b}{5}}}

    10.05=b{\displaystyle 10.05=b}
  • Plocha kruhu s polomerom 4 cm sa teda rovná ploche trojuholníka s výškou 10 cm a základňou približne 10 cm.

Metóda 3 z 3: Použitie základne a výšky trojuholníka

Stanovte vzorec pre plochu trojuholníka. Vzorec je

A=12bh{\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}

, kde

A{\displaystyle A}

sa rovná ploche trojuholníka,

b{\displaystyle b}

sa rovná dĺžke základne trojuholníka a

h{\displaystyle h}

sa rovná výške trojuholníka.[6]

Doplňte dĺžku základne a výšku do vzorca. Tieto hodnoty by vám mali byť dané, alebo by ste ich mali byť schopní zmerať.

  • Ak je napríklad základňa trojuholníka 5 cm a výška trojuholníka je 20 cm, potom vaša rovnica bude vyzerať takto:
    A=12(5)(20){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(5)(20)}

    .

Vynásobte základňu a výšku, potom vynásobte súčin

12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

. Tým získate plochu trojuholníka.

  • Napríklad:
    A=12(5)(20){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(5)(20)}

    A=12(100){\displaystyle A={\frac {1}{2}}(100)}

    A=50{\displaystyle A=50}
  • Plocha trojuholníka je teda 50 cm2.

Vytvorte vzorec pre plochu kruhu. Vzorec je

A=π(r2){\displaystyle A=\pi (r^{2})}

, kde

A{\displaystyle A}

sa rovná ploche kruhu a

r{\displaystyle r}

sa rovná polomeru kružnice.[7]

Dosadíme plochu do vzorca pre kružnicu. Keďže chcete, aby plocha každého z obrázkov bola rovnaká, použite plochu, ktorú ste predtým vypočítali pre trojuholník.

  • Ak ste napríklad zistili, že plocha trojuholníka je 50 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    50=π(r2){\displaystyle 50=\pi (r^{2})}

    .

Každú stranu rovnice vydeľte

π{\displaystyle \pi }

. Ak nepoužívate vedeckú kalkulačku, môžete zaokrúhliť

π{\displaystyle \pi }

do 3.14.

  • Napríklad:
    50=π(r2){\displaystyle 50=\pi (r^{2})}

    50=3.14(r2){\displaystyle 50=3.14(r^{2})}

    503.14=3.14(r2)3.14{\displaystyle {\frac {50}{3.14}}={\frac {3.14(r^{2})}{3.14}}}

    15.92=r2{\displaystyle 15.92=r^{2}}
  • Odmocnite druhú odmocninu z každej strany rovnice. Takto získate dĺžku polomeru kružnice s plochou rovnou ploche trojuholníka.

    • Napríklad:
      15.92=r2{\displaystyle 15.92=r^{2}}

      15.92=r2{\displaystyle {\sqrt {15.92}}={\sqrt {r^{2}}}}

      3.99=r{\a6}Displej 3.99=r}

      .

    • Takže plocha kruhu s polomerom približne 4 cm sa rovná ploche trojuholníka so základňou 5 cm a výškou 20 cm.
  • Odkazy