3 spôsoby vykonávania faktoriálov

Faktoriály sa bežne používajú pri výpočte pravdepodobnosti a permutácií alebo možných poradí udalostí.[1]
Faktoriál sa označuje a

!{\displaystyle !}

znamienko a znamená to, že vynásobíme spolu všetky čísla zostupne od faktoriálového čísla. Keď pochopíte, čo je faktoriál, je jednoduché ho vypočítať, najmä s pomocou vedeckej kalkulačky.

Metóda 1 z 3: Výpočet faktoriálu


Určte číslo, pre ktoré vypočítavate faktoriál. Faktoriál sa označuje celým kladným číslom a výkričníkom.

  • Ak napríklad potrebujete vypočítať faktoriál pre 5, uvidíte
    5!{\displaystyle 5!}

    .


Vypíšte postupnosť čísel, ktoré sa majú vynásobiť. Faktoriál je jednoducho násobenie prirodzených čísel, ktoré postupne klesajú od faktoriálneho čísla až po 1.[2]
Hovoriť podľa vzorca,

n!=n(n1)21{\displaystyle n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}

, kde

n{\displaystyle n}

sa rovná ľubovoľnému celému kladnému číslu.[3]

  • Ak napríklad počítate
    5!{\displaystyle 5!}

    , by ste vypočítali

    5(51)(52)(53)(54){\displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}

    alebo jednoduchšie:

    54321{\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}

    .


Vynásobte čísla spolu. Faktoriál môžete rýchlo vypočítať pomocou vedeckej kalkulačky, ktorá by mala mať

x!{\displaystyle x!}

znak. Ak počítate ručne, aby ste si to uľahčili, najprv vyhľadajte dvojice faktorov, ktoré sa násobia tak, aby sa rovnali 10.[4]
Samozrejme, 1 môžete aj ignorovať, pretože každé číslo vynásobené 1 sa rovná tomuto číslu.

  • Napríklad, ak vypočítame
    5!=54321{\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}

    , neberte do úvahy 1 a najprv vypočítajte

    52=10{\displaystyle 5\cdot 2=10}

    . Teraz vám zostáva len

    43=12{\displaystyle 4\cdot 3=12}

    . Keďže

    1012=120{\displaystyle 10\cdot 12=120}

    , viete, že

    5!=120{\displaystyle 5!=120}

    .

Metóda 2 z 3:Zjednodušenie faktoriálu


Určite výraz, ktorý zjednodušujete. Často sa uvádza ako zlomok.

  • Môžete napríklad potrebovať zjednodušenie
    7!5!4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}}

    .


Vypíšte faktory každého faktoriálu. Keďže faktoriál

n!{\displayystyle n!}

je faktoriálom každého faktoriálu väčšieho ako on, pre zjednodušenie musíte hľadať faktory, ktoré môžete zrušiť.[5]
To je jednoduché, ak vypíšete každý člen.

  • Ak napríklad zjednodušíme
    7!5!4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}}

    , prepíšte ako

    1234567(12345)(1234){\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}


Zrušte všetky členy spoločné pre čitateľa a menovateľa.[6]
Tým sa zjednodušia zvyšné čísla, ktoré potrebujete vynásobiť.

  • Napríklad, keďže
    5!{\\displaystyle 5!}

    je koeficientom

    7!{\displaystyle 7!}

    , môžete zrušiť

    5!{\displaystyle 5!}

    z čitateľa a menovateľa:

    1234567(12345)(1234)=67(1234){\displaystyle {\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\cdot 6\cdot 7}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}={\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}}


Dokončite výpočty. Zjednodušte, ak je to možné. Takto získate konečný, zjednodušený výraz.

  • Napríklad:
    67(1234){\displaystyle {\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}

    =4224{\displaystyle ={\frac {42}{24}}}

    =74{\displaystyle ={\frac {7}{4}}}

    Takže,

    7!5!4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}}

    zjednodušene je

    74{\displaystyle {\frac {7}{4}}}

    .

Metóda 3 z 3:Riešenie vzorových faktorových úloh


Vyhodnoťte výraz 8!.

  • Ak používate vedeckú kalkulačku, stlačte tlačidlo
    8{\displaystyle 8}

    kláves, po ktorom nasleduje

    x!{\displaystyle x!}

    kľúč.

  • Ak riešite ručne, vypíšte činitele, ktoré sa majú vynásobiť:
    87654321{\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}
  • Neberte do úvahy 1:
    87654321{\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}}
  • Vytiahnite
    52{\displaystyle 5\cdot 2}

    :

    (52)87643{\displaystyle (5\cdot 2)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}

    =(10)87643{\displaystyle =(10)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}
  • Najprv zoskupte všetky ostatné ľahko násobiteľné čísla a potom vynásobte všetky súčiny spolu:
    (10)(43)(76)(8){\displaystyle (10)(4\cdot 3)(7\cdot 6)(8)}

    =(10)(12)(42)(8){\displaystyle =(10)(12)(42)(8)}

    =(120)(336){\displaystyle =(120)(336)}

    =40320{\displaystyle =40320}

    Takže,

    8!=40,320{\displaystyle 8!=40,320}

    .


Zjednodušte výraz:

12!6!3!{\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}}

.

  • Vypíšte faktory každého faktoriálu:
    123456789101112(123456)(123){\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(1\cdot 2\cdot 3)}}
  • Zrušte členy spoločné pre čitateľa a menovateľa:
    123456789101112(123456)(123)=789101112123{\displaystyle {\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot }}7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}})(1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}
  • Dokončite výpočty:
    789101112123{\displaystyle {\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}

    =665,2806{\displaystyle ={\frac {665,280}{6}}}

    =110,880{\displaystyle =110,880}

    Takže výraz

    12!6!3!{\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}}

    sa zjednoduší na

    110,880{\displaystyle 110,880}

    .


Vyskúšajte nasledujúci problém. Máte 6 obrazov, ktoré by ste chceli vystaviť v rade na stene. Koľkými rôznymi spôsobmi môžete zoradiť obrazy?

  • Keďže hľadáte rôzne spôsoby, ako môžete predmety zoradiť, môžete to jednoducho vyriešiť nájdením faktoriálu pre počet predmetov.
  • Počet možných usporiadaní pre 6 obrazov zavesených za sebou možno vyriešiť nájdením
    6!{\displaystyle 6!}

    .

  • Ak používate vedeckú kalkulačku, stlačte tlačidlo
    6{\displaystyle 6}

    kláves, po ktorom nasleduje

    x!{\displaystyle x!}

    kľúč.

  • Ak riešite ručne, vypíšte činitele, ktoré treba vynásobiť:
    654321{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}
  • Neberte do úvahy 1:
    654321{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}
  • Vytiahnite
    52{\displaystyle 5\cdot 2}

    :

    (52)643{\displaystyle (5\cdot 2)6\cdot 4\cdot 3}

    =(10)643{\displaystyle =(10)6\cdot 4\cdot 3}
  • Najprv zoskupte všetky ostatné ľahko vynásobiteľné čísla a potom vynásobte všetky súčiny spolu:
    (10)(43)(6){\displaystyle (10)(4\cdot 3)(6)}

    =(10)(12)(6){\displaystyle =(10)(12)(6)}

    =(120)(6){\displaystyle =(120)(6)}

    =720{\displaystyle =720}

    Takže 6 obrazov zavesených za sebou môže byť usporiadaných 720 rôznymi spôsobmi.


  • Vyskúšajte nasledujúci problém. Máte 6 obrazov. Chceli by ste si na stenu vystaviť 3 z nich v rade za sebou. Koľkými rôznymi spôsobmi si môžete objednať 3 obrazy?

    • Keďže máte 6 rôznych obrazov, ale vyberáte len 3 z nich, stačí vynásobiť prvé 3 čísla v postupnosti pre faktoriál 6. Môžete tiež použiť vzorec
      n!(nr)!{\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!}}}

      , kde

      n{\displaystyle n}

      sa rovná počtu predmetov, z ktorých si vyberáte, a

      r{\displaystyle r}

      rovná sa počtu predmetov, ktoré používate. Tento vzorec funguje len vtedy, ak nemáte žiadne opakovania (objekt nemožno vybrať viac ako raz) a záleží na poradí (to znamená, že chcete zistiť, koľkými rôznymi spôsobmi možno veci zoradiť).[7]

    • Počet možných usporiadaní pre 3 obrazy vybrané zo 6 a zavesené v rade možno vyriešiť nájdením
      6!(63)!{\displaystyle {\frac {6!}{(6-3)!}}}

      .

    • Odčítajte čísla v menovateli:
      6!(63)!{\displaystyle {\frac {6!}{(6-3)!}}}

      =6!3!{\displaystyle ={\frac {6!}{3!}}}
    • Napíšte činitele každého faktoriálu:
      654321321{\displaystyle {\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}}
    • Zrušte výrazy spoločné pre čitateľa a menovateľa:
      654321321{\displaystyle {\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}{\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}}
    • Dokončite výpočty:
      654=120{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4=120}

      Takže 3 obrazy vybrané zo 6 sa dajú zoradiť 120 rôznymi spôsobmi, ak sú zavesené za sebou.

  • Odkazy