3 spôsoby výpočtu krížového súčinu dvoch vektorov

Krížový súčin je typ vektorového násobenia definovaný len v troch a siedmich rozmeroch, ktorého výstupom je iný vektor. Táto operácia, ktorá sa používa takmer výlučne v troch rozmeroch, je užitočná pre aplikácie vo fyzike a technike. V tomto článku vypočítame krížový súčin dvoch trojrozmerných vektorov definovaných v karteziánskych súradniciach.

Cheat Sheet


Diagram krížového súčinu vektorov

Podporte wikiHow a odomknúť všetky vzorky.

Metóda 1 z 2:Výpočet krížového súčinu

Uvažujme dva všeobecné trojrozmerné vektory definované v karteziánskych súradniciach.

  • a=Ai+Bj+Ckb=Di+Ej+Fk{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=A\mathbf {i} +B\mathbf {j} +C\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=D\mathbf {i} +E\mathbf {j} +F\mathbf {k} \end{aligned}}
  • Tu,
    i,j,k{\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }

    sú jednotkové vektory a

    A,B,C,D,E,F{\displaystyle A,B,C,D,E,F}

    sú konštanty.

Nastavte maticu. Jedným z najjednoduchších spôsobov výpočtu krížového súčinu je nastavenie jednotkových vektorov s dvoma vektormi v matici.

  • a×b=|ijkABCDEF|{\displaystyle \mathbf {a} \časy \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A&B&C\\D&E&F\end{vmatrix}}

Vypočítajte determinant matice. Nižšie použijeme kofaktorový rozklad (rozklad pomocou mínusov).

  • a×b=(BFEC)i(AFDC)j+(AEDB)k{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(BF-EC)\mathbf {i} -(AF-DC)\mathbf {j} +(AE-DB)\mathbf {k} }
  • Tento vektor je ortogonálny k obom
    a{\displaystyle \mathbf {a} }

    a

    b.{\displaystyle \mathbf {b} .}

Metóda 2 z 2: Príklad

Uvažujme dva nižšie uvedené vektory.

  • u=2ij+3kv=5i+7j4k{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=2\mathbf {i} -\mathbf {j} +3\mathbf {k} \\\mathbf {v} &=5\mathbf {i} +7\mathbf {j} -4\mathbf {k} \end{aligned}}

Nastavte maticu.

  • u×v=|ijk213574|{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&-1&3\\5&7&-4\end{vmatrix}}
  • Vypočítajte determinant matice.

    • u×v=(421)i(815)j+(14+5)k=17i+23j+19k{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} &=(4-21)\mathbf {i} -(-8-15)\mathbf {j} +(14+5)\mathbf {k} \\&=-17\mathbf {i} +23\mathbf {j} +19\mathbf {k} \end{aligned}}