3 spôsoby výpočtu objemu štvorcovej pyramídy

Štvorboká pyramída je trojrozmerné teleso charakterizované štvorcovou základňou a šikmými trojuholníkovými stranami, ktoré sa stretávajú v jednom bode nad základňou. Ak

s{\displaystyle s}

predstavuje dĺžku jednej zo strán štvorcovej základne a

h{\displaystyle h}

predstavuje výšku pyramídy (kolmá vzdialenosť od podstavy k bodu), objem štvorcovej pyramídy možno vypočítať podľa vzorca

V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h}

. Nezáleží na tom, či je pyramída veľká ako ťažítko na papier alebo väčšia ako Veľká pyramída v Gíze – tento vzorec funguje pre akúkoľvek štvorcovú pyramídu. Objem možno vypočítať aj pomocou tzv. šikmej výšky pyramídy.

Metóda 1 z 3:Určenie objemu pomocou plochy základne a výšky


Meranie dĺžky strany podstavy. Keďže podľa definície majú štvorcové pyramídy podstavy, ktoré sú dokonale štvorcové, všetky strany podstavy by mali mať rovnakú dĺžku. V prípade štvorcovej pyramídy teda stačí zistiť dĺžku jednej strany.[1]

  • Uvažujme pyramídu, ktorej podstavou je štvorec s dĺžkami strán
    s=5cm{\displaystyle s=5{\text{cm}}

    . Túto hodnotu použijete na zistenie plochy základne.

  • Ak strany podstavy nie sú rovnako dlhé, máte obdĺžnikový pyramídový tvar namiesto štvorcovej pyramídy. Vzorec pre objem pravouhlých pyramíd je veľmi podobný vzorcu pre štvorcové pyramídy. Ak
    l{\displaystyle l}

    predstavuje dĺžku základne pravouhlého pyramídu a

    w{\displaystyle w}

    predstavuje jeho šírku, objem pyramídy je

    V=13hlw{\displaystyle V={\frac {1}{3}}h*l*w}

    .


Vypočítajte plochu základne. Zisťovanie objemu začína zistením dvojrozmernej plochy podstavy. To sa vykoná vynásobením dĺžky základne krát jej šírka. Keďže základňa štvorcovej pyramídy je štvorec, všetky jej strany majú rovnakú dĺžku, takže plocha základne sa rovná dĺžke jednej strany na druhú (krát sama seba).[2]

  • Keďže v príklade sú všetky dĺžky strán podstavy pyramídy 5 cm, môžete plochu podstavy nájsť ako:
    • plocha=s2=(5cm)2=25cm2{\displaystyle {\text{area}}=s^{2}=(5{\text{cm}})^{2}=25{\text{cm}}^{2}}
  • Nezabudnite, že dvojrozmerné plochy sa vyjadrujú v štvorcových jednotkách – štvorcových centimetroch, štvorcových metroch, štvorcových míľach atď.


Vynásobte plochu základne výškou pyramídy. Potom vynásobte plochu základne výškou pyramídy. Pripomíname, že výška je vzdialenosť úsečky tiahnucej sa od vrcholu pyramídy k rovine podstavy pod kolmými uhlami na obe.[3]

  • V príklade predpokladajme, že pyramída má výšku 9 cm. V tomto prípade vynásobte plochu základne touto hodnotou takto:
    • 25cm29cm=225cm3{\displaystyle 25{\text{cm}}^{2}*9{\text{cm}}=225{\text{cm}}^{3}}
  • Nezabudnite, že objemy sa vyjadrujú v kubických jednotkách. V tomto prípade, keďže všetky lineárne miery sú v centimetroch, objem je v kubických centimetroch.


Túto odpoveď vydeľte číslom 3. Nakoniec zistite objem pyramídy tak, že hodnotu, ktorú ste práve zistili vynásobením plochy základne a výšky, vydelíte 3. Takto získate konečnú odpoveď, ktorá predstavuje objem štvorcovej pyramídy.[4]

  • V príklade vydeľte 225 cm3 číslom 3 a dostanete odpoveď 75 cm3 pre objem.

Metóda 2 z 3:Určenie objemu pomocou šikmej výšky


Zmerajte výšku šikmej strany pyramídy. Niekedy vám nebude povedaná kolmá výška pyramídy. Namiesto toho vám môže byť povedané – alebo budete musieť zmerať – šikmú výšku pyramídy. Pri šikmej výške budete môcť použiť Pytagorovu vetu na výpočet kolmej výšky.[5]

  • Šikmá výška pyramídy je vzdialenosť od jej vrcholu po stred jednej zo strán podstavy. Merajte do stredu strany a nie do jedného z rohov podstavy. V tomto príklade predpokladajte, že ste namerali výšku šikminy 13 cm a bolo vám povedané, že dĺžka strany je 10 cm.
  • Pripomeňme si, že Pytagorovu vetu možno vyjadriť ako rovnicu
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    , kde

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    sú kolmé odvesny pravouhlého trojuholníka a

    c{\displaystyle c}

    je hypotenza.


Predstavte si pravouhlý trojuholník. Na použitie Pytagorovej vety potrebujete pravouhlý trojuholník. Predstavte si pravouhlý trojuholník pretínajúci stred pyramídy a kolmý na jej základňu. Šikmá výška pyramídy, tzv

l{\displaystyle l}

, je prepona tohto pravouhlého trojuholníka. Základňa tohto pravouhlého trojuholníka má polovicu dĺžky

s{\displaystyle s}

, strana štvorcovej základne pyramídy.[6]


Priradenie premenných k hodnotám. Pytagorova veta používa premenné a, b a c, ale pomôže vám, ak ich nahradíte premennými, ktoré majú význam pre váš problém. Šikmá výška

l{\displaystyle l}

nahrádza

c{\displaystyle c}

v Pytagorovej vete. Odnož pravouhlého trojuholníka, ktorá je

s2{\displaystyle {\frac {s}{2}}}

, nahrádza

b.{\displaystyle b.}

Budete riešiť výšku pyramídy,

h{\displaystyle h}

, ktorý je na mieste

a{\displaystyle a}

v Pytagorovej vete.

  • Táto substitúcia bude vyzerať takto:
    • a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
    • h2+(s2)2=l2{\displaystyle h^{2}+({\frac {s}{2}})^{2}=l^{2}}


Na výpočet kolmej výšky použite Pytagorovu vetu. Vložte namerané hodnoty

s=10{\displaystyle s=10}

a

l=13{\displaystyle l=13}

. Potom pokračujte v riešení rovnice:

  • h2=l2(s2)2{\displaystyle h^{2}=l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}}

    …..(pôvodná rovnica)

  • h=l2(s2)2{\displaystyle h={\sqrt {l^{2}-({\frac {s}{2}})^{2}}}}

    …..(odmocnina z oboch strán)

  • h=132(102)2{\displaystyle h={\sqrt {13^{2}-({\frac {10}{2}})^{2}}}}

    …..(náhradné hodnoty)

  • h=16952{\displaystyle h={\sqrt {169-5^{2}}}}

    …..(zjednodušiť zlomok)

  • h=16925{\displaystyle h={\sqrt {169-25}}}

    …..(zjednodušiť štvorec)

  • h=144{\displaystyle h={\sqrt {144}}}

    …..(odčítajte)

  • h=12{\displaystyle h=12}

    …..(zjednodušte druhú odmocninu)


Na výpočet objemu použite výšku a základňu. Po použití výpočtov s Pytagorovou vetou máte teraz informácie, ktoré potrebujete na výpočet objemu pyramídy bežným spôsobom. Použite vzorec

V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h}

a vyriešte, pričom sa uistite, že ste odpoveď označili v kubických jednotkách.[7]

  • Z výpočtov vyplýva, že výška pyramídy je 12 cm. Použite túto hodnotu a základnú stranu 10 cm. na výpočet objemu pyramídy:
    • V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h}
    • V=13(102)12{\displaystyle V={\frac {1}{3}}(10^{2})12}
    • V=13(100)(12){\displaystyle V={\frac {1}{3}}(100)(12)}
    • V=400cm3{\displaystyle V=400{\text{cm}}^{3}}

Metóda 3 z 3:Určenie objemu pomocou výšky hrany


Zmerajte výšku hrany pyramídy. Výška hrany je dĺžka hrany pyramídy meraná od vrcholu po jeden z rohov základne pyramídy. Ako predtým, aj teraz použijete Pytagorovu vetu na výpočet kolmej výšky pyramídy.[8]

  • Pre tento príklad predpokladajte, že výšku hrany možno zmerať na 11 cm a máte dané, že kolmá výška je 5 cm.


Predstavte si pravouhlý trojuholník. Tak ako predtým, na použitie Pytagorovej vety potrebujete pravouhlý trojuholník. V tomto prípade je však vašou neznámou hodnota základne pyramídy. Poznáte kolmú výšku a výšku okraja. Ak si predstavíte, že pyramídu rozrežete šikmo z jedného rohu do protiľahlého a otvoríte ju, odhalená vnútorná strana je trojuholník. Výška tohto trojuholníka je kolmá výška pyramídy. Rozdelí vystavaný trojuholník na dva symetrické pravouhlé trojuholníky. Hypotenzus ktoréhokoľvek pravouhlého trojuholníka je výška hrany pyramídy. Základňa ktoréhokoľvek pravouhlého trojuholníka je polovica uhlopriečky základne pyramídy.


Priradenie premenných. Použite tento imaginárny pravouhlý trojuholník a priraďte hodnoty k Pytagorovej vete. Poznáte kolmú výšku,

h,{\displaystyle h,}

čo je jedno rameno Pytagorovej vety,

a{\displaystyle a}

. Výška hrany pyramídy,

l,{\displaystyle l,}

je prepona tohto pomyselného pravouhlého trojuholníka, takže zaberá miesto

c{\displaystyle c}

. Neznáma uhlopriečka základne pyramídy je zvyšná odvesna pravouhlého trojuholníka,

b.{\displaystyle b.}

Po vykonaní týchto substitúcií bude rovnica vyzerať takto:

  • a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  • h2+b2=l2{\displaystyle h^{2}+b^{2}=l^{2}}


Vypočítajte uhlopriečku štvorcovej základne. Budete musieť zmeniť usporiadanie rovnice, aby ste vyčlenili premennú

b{\displaystyle b}

a potom vyriešte jej hodnotu.[9]

  • h2+b2=l2{\displaystyle h^{2}+b^{2}=l^{2}}

    ……….(upravená rovnica)

  • b2=l2h2{\displaystyle b^{2}=l^{2}-h^{2}}

    ……….(nahraďte h2 z oboch strán)

  • b=l2h2{\displaystyle b={\sqrt {l^{2}-h^{2}}}}

    ……….(odmocnina z oboch strán)

  • b=11252{\displaystyle b={\sqrt {11^{2}-5^{2}}}}

    ……….(vložte číselné hodnoty)

  • b=12125{\displaystyle b={\sqrt {121-25}}}

    ……….(zjednodušiť štvorce)

  • b=96{\displaystyle b={\sqrt {96}}}

    ……….(odčítanie hodnôt)

  • b=9.80{\displaystyle b=9.80}

    ……….(zjednodušenie odmocniny)

  • Zdvojnásobením tejto hodnoty zistíte uhlopriečku štvorcovej základne pyramídy. Uhlopriečka základne pyramídy je teda 9.8*2=19.6 cm.


Nájdite stranu základne od uhlopriečky. Základňa pyramídy je štvorec. Uhlopriečka ľubovoľného štvorca sa rovná dĺžke strany krát odmocnina z 2. Naopak, stranu štvorca môžete zistiť z jeho uhlopriečky vydelením druhou odmocninou z 2.[10]

  • Pre túto vzorovú pyramídu bola vypočítaná uhlopriečka 19.6 cm. Strana sa teda rovná:
    • s=19.62=19.61.41=13.90{\displaystyle s={\frac {19.6}{\sqrt {2}}={\frac {19.6}{1.41}}=13.90}

  • Na výpočet objemu použite stranu a výšku. Vráťte sa k pôvodnému vzorcu na výpočet objemu pomocou strany a kolmej výšky.[11]

    • V=13s2h{\displaystyle V={\frac {1}{3}}s^{2}h}
    • V=1313.925{\displaystyle V={\frac {1}{3}}13.9^{2}*5}
    • V=13193.235{\displaystyle V={\frac {1}{3}}193.23*5}
    • V=322.02cm3{\displaystyle V=322.02{\text{cm}}^{3}}
  • Odkazy