3 spôsoby výpočtu uhlového zrýchlenia

Väčšina ľudí má všeobecnú predstavu o rýchlosti a zrýchlení. Rýchlosť je mierou toho, ako rýchlo sa objekt pohybuje, a zrýchlenie je mierou toho, ako rýchlo sa rýchlosť objektu mení (i.e., zrýchlenie alebo spomalenie). Keď sa objekt pohybuje po kružnici, napríklad rotujúca pneumatika alebo rotujúce CD, rýchlosť a zrýchlenie sa vo všeobecnosti merajú uhlom otáčania. Potom sa nazývajú uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie. Ak poznáte rýchlosť objektu za určité časové obdobie, môžete vypočítať jeho priemerné uhlové zrýchlenie. Prípadne môžete mať funkciu na výpočet polohy objektu. S týmito informáciami môžete vypočítať jej uhlové zrýchlenie v ľubovoľnom zvolenom okamihu.

Metóda 1 z 3:Výpočet okamžitého uhlového zrýchlenia


Určenie funkcie pre uhlovú polohu. V niektorých prípadoch môžete mať k dispozícii funkciu alebo vzorec, ktorý predpovedá alebo priraďuje polohu objektu vzhľadom na čas. V ostatných prípadoch môžete funkciu odvodiť z opakovaných experimentov alebo pozorovaní. Pre tento článok predpokladáme, že funkcia bola poskytnutá alebo predtým vypočítaná.[1]

  • Pre vyššie uvedený príklad viedli štúdie k funkcii
    θ(t)=2t3{\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}

    , kde

    θ(t){\displaystyle \theta (t)}

    je uhlovou mierou polohy otáčania v danom čase a

    t{\displaystyle t}

    predstavuje čas.


Nájdite funkciu pre uhlovú rýchlosť. Rýchlosť je miera toho, ako rýchlo objekt mení svoju polohu. Laicky povedané, predstavujeme si to ako jeho rýchlosť. Z matematického hľadiska možno zmenu polohy v čase zistiť nájdením derivácie funkcie polohy. Symbol pre uhlovú rýchlosť je

ω{\displaystyle \omega }

. Uhlová rýchlosť sa všeobecne meria v jednotkách radiánov delených časom (radiány za minútu, radiány za sekundu atď.).[2]

  • V tomto príklade nájdite prvú deriváciu funkcie polohy
    θ(t)=2t3{\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}

    :

    • ω(t)=dθdt=6t2{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}=6t^{2}}
  • V prípade potreby by sa táto funkcia mohla použiť na výpočet uhlovej rýchlosti otáčajúceho sa objektu v ľubovoľnom požadovanom čase
    t{\displaystyle t}

    . Pre tento konkrétny výpočet je funkcia uhlovej rýchlosti len medzikrokom k zisteniu uhlového zrýchlenia.


Nájdite funkciu pre uhlové zrýchlenie. Zrýchlenie je miera toho, ako rýchlo sa mení rýchlosť objektu v čase. Uhlové zrýchlenie môžete matematicky vypočítať tak, že nájdete deriváciu funkcie pre uhlovú rýchlosť. Uhlové zrýchlenie sa všeobecne symbolizuje pomocou

α{\displaystyle \alpha }

, grécke písmeno alfa. Uhlové zrýchlenie sa udáva v jednotkách rýchlosti za čas alebo všeobecne v radiánoch delených štvorcom času (radiány za sekundu na druhú, radiány za minútu na druhú atď.).[3]

  • V predchádzajúcom kroku ste použili funkciu pre polohu na zistenie uhlovej rýchlosti
    ω(t)=6t2{\displaystyle \omega (t)=6t^{2}}

    . Teraz nájdite funkciu zrýchlenia ako deriváciu

    ω{\displaystyle \omega }

    :

    • α=dωdt=12t{\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t}

      .


Použite údaje na nájdenie okamžitého zrýchlenia. Keď ste odvodili funkciu pre okamžité zrýchlenie ako deriváciu rýchlosti, ktorá je zase deriváciou polohy, ste pripravení vypočítať okamžité uhlové zrýchlenie objektu v ľubovoľnom zvolenom čase.[4]

  • Pre vzorový problém na obrázku predpokladajte, že viete, že funkcia pre polohu rotujúceho objektu je
    θ(t)=2t3{\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}

    , ), pričom sa vás opýta na uhlové zrýchlenie objektu po tom, čo sa otáčal 6.5 sekúnd. Použite odvodený vzorec pre

    α{\displaystyle \alpha }

    a vložte informácie takto:

    • α=dωdt=12t{\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t}
    • α=(12)(6.5){\displaystyle \alpha =(12)(6.5)}
    • α=78.0{\displaystyle \alpha =78.0}
  • Váš výsledok by sa mal uvádzať v jednotkách radiánov za sekundu na druhú. Teda uhlové zrýchlenie pre tento rotujúci objekt, keď sa otáčal 6.5 sekúnd je 78.0 radiánov za sekundu na druhú.

Metóda 2 z 3: Výpočet priemerného uhlového zrýchlenia


Meranie počiatočnej uhlovej rýchlosti. Prvá metóda výpočtu uhlového zrýchlenia (

α{\displaystyle \alpha }

) je delenie zmeny uhlovej rýchlosti (

ω{\displaystyle \omega }

) za určitý časový úsek meraným časom. Vzorec pre tento výpočet možno zapísať takto: [5]

  • α=ΔωΔt=konečná rýchlosť – počiatočná rýchlosťuplynulý čas{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{konečná rýchlosť – počiatočná rýchlosť}}{\text{uplynulý čas}}}}
  • Uvažujme kompaktný disk v okamihu, keď ho vložíte do CD prehrávača. Jeho počiatočná rýchlosť je nulová.
  • Ako alternatívny príklad predpokladajme, že z testovacích meraní viete, že kolesá horskej dráhy sa otáčajú rýchlosťou 400 otáčok za sekundu, čo zodpovedá 2513 radiánom za sekundu. Ak chcete zmerať záporné zrýchlenie na brzdnej dráhe, môžete túto hodnotu použiť ako počiatočnú rýchlosť.


Meranie konečnej uhlovej rýchlosti. Druhá informácia, ktorú potrebujete, je uhlová rýchlosť rotujúceho alebo otáčajúceho sa objektu na konci časového úseku, ktorý chcete merať. Táto rýchlosť sa nazýva „konečná“ rýchlosť.[6]

  • Kompaktný disk hrá v stroji tak, že sa otáča uhlovou rýchlosťou 160 radiánov za sekundu.
  • Horská dráha po zabrzdení otáčajúcich sa kolies nakoniec dosiahne nulovú uhlovú rýchlosť, keď sa zastaví. Toto bude jeho konečná uhlová rýchlosť.


Zmerajte uplynulý čas. Na výpočet priemernej uhlovej rýchlosti rotujúceho alebo otáčajúceho sa objektu potrebujete poznať čas, ktorý uplynie počas vášho pozorovania. Túto hodnotu možno zistiť priamym pozorovaním a meraním alebo možno poskytnúť informácie o danom probléme.[7]

  • V návode na obsluhu prehrávača CD je uvedená informácia, že CD dosiahne rýchlosť prehrávania za 4.0 sekúnd.
  • Z pozorovaní testovaných horských dráh sa zistilo, že sa môžu úplne zastaviť do 2.2 sekundy od počiatočného zabrzdenia.


Vypočítajte priemerné uhlové zrýchlenie. Ak poznáte počiatočnú uhlovú rýchlosť, konečnú uhlovú rýchlosť a uplynulý čas, doplňte tieto údaje do rovnice a zistite priemerné uhlové zrýchlenie.[8]

  • Pre príklad CD prehrávača je výpočet nasledovný:
    • α=ΔωΔt=konečná rýchlosť – počiatočná rýchlosťuplynutého času{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{konečná rýchlosť – počiatočná rýchlosť}}{\text{uplynulý čas}}}}
    • α=16004.0{\displaystyle \alpha ={\frac {160-0}{4.0}}}
    • α=1604.0{\displaystyle \alpha ={\frac {160}{4.0}}}
    • α=40{\displaystyle \alpha =40}

      radiánov za sekundu na druhú.

  • V prípade príkladu s horskou dráhou vyzerá výpočet takto:
    • α=ΔωΔt=konečná rýchlosť – počiatočná rýchlosťuplynulý čas{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{konečná rýchlosť – počiatočná rýchlosť}}{\text{uplynulý čas}}}}
    • α=025132.2{\displaystyle \alpha ={\frac {0-2513}{2.2}}}
    • α=25132.2{\displaystyle \alpha ={\frac {-2513}{2.2}}}
    • α=1142.3{\displaystyle \alpha =-1142.3}

      radiánov za sekundu na druhú.

  • Všimnite si, že zrýchlenie bude vždy v jednotkách určitej mernej vzdialenosti „na“ druhú stranu času. Pri uhlovom zrýchlení sa vzdialenosť zvyčajne meria v radiánoch, hoci ak chcete, môžete to prepočítať na počet otáčok.

Metóda 3 z 3:Prehľad uhlového zrýchlenia


Pochopiť pojem uhlového pohybu. Keď ľudia uvažujú o rýchlosti objektu, často berú do úvahy lineárny pohyb – teda objekty pohybujúce sa väčšinou po priamke. To by mohlo zahŕňať auto, lietadlo, loptu, ktorá je hodená, alebo akýkoľvek iný počet predmetov. Avšak uhlový pohyb opisuje objekty, ktoré sa otáčajú alebo rotujú. Predstavte si Zem, ktorá sa otáča okolo svojej osi. Polohu alebo rýchlosť Zeme možno merať pomocou uhlových veličín. Rotujúci kompaktný disk (alebo gramofón, ak ste dostatočne starí), elektróny na svojich osiach alebo kolesá auta na náprave sú ďalšími príkladmi rotujúcich objektov, ktoré možno merať pomocou uhlového pohybu.[9]


Vizualizácia uhlovej polohy. Keď meriate napríklad polohu pohybujúceho sa vozidla, môžete merať vzdialenosť, ktorú prešlo po priamke od východiskového bodu. Pri rotujúcom objekte sa meranie spravidla vykonáva v zmysle uhla okolo kružnice. Podľa konvencie je východiskovým alebo „nulovým“ bodom spravidla vodorovný polomer od stredu k pravej strane kružnice. Prejdená vzdialenosť sa meria veľkosťou uhla

θ{\displaystyle \theta }

, merané z tohto horizontálneho polomeru.[10]

  • Uhol, ktorý sa meria, sa bežne znázorňuje
    θ{\displaystyle \theta }

    , grécke písmeno theta.

  • Kladný pohyb sa meria v protismere hodinových ručičiek. Záporný pohyb sa meria v smere hodinových ručičiek.


Meranie uhlového pohybu v radiánoch. Lineárna dráha sa vo všeobecnosti meria v nejakej jednotke vzdialenosti, napríklad v míľach, metroch, palcoch alebo v inej jednotke dĺžky. Otáčavý alebo uhlový pohyb sa vo všeobecnosti meria v jednotkách nazývaných radián. Radián je zlomok kruhu. Na štandardné referenčné účely matematici používajú „jednotkový kruh“, ktorý má štandardný polomer 1 jednotky.[11]

  • Hovorí sa, že jedna úplná rotácia okolo jednotkovej kružnice meria 2π radiánov. Polkruh má teda hodnotu π radiánov a štvrťkruh má hodnotu π/2 radiánov.
  • Niekedy je užitočné previesť radiány na stupne. Ak si spomeniete, že plný kruh má 360 stupňov, prepočet nájdete takto:
    • 360 stupňov=2π radiánov{\displaystyle 360\ {\text{stupne}}=2\pi \ {\text{radiány}}
    • 3602π stupňov=1 radián{\displaystyle {\frac {360}{2\pi }}\ {\text{stupne}}=1\ {\text{radián}}
    • 57.3 stupňov=1 radian{\displaystyle 57.3\ {\text{stupne}}=1\ {\text{radián}}
  • Jeden radián sa teda približne rovná 57.3 stupne.

  • Pochopiť pojem uhlového zrýchlenia. Uhlové zrýchlenie je meranie toho, ako rýchlo alebo pomaly rotujúci objekt mení svoju rýchlosť. Inými slovami, či sa otáčanie zrýchľuje alebo spomaľuje? Ak poznáte uhlovú rýchlosť v čase začiatku a potom v neskoršom čase konca, môžete vypočítať priemerné uhlové zrýchlenie v tomto časovom intervale. Ak poznáte funkciu pre polohu objektu, môžete pomocou výpočtu odvodiť okamžité uhlové zrýchlenie v ľubovoľnom zvolenom čase.[12]

    • Ľudia často používajú slovo „zrýchlenie“ na označenie zrýchlenia a „spomalenie“ na označenie spomalenia. V matematických a fyzikálnych termínoch sa však používa len slovo „zrýchlenie“. Ak sa objekt zrýchľuje, zrýchlenie je kladné. Ak sa spomaľuje, zrýchlenie je záporné.
  • Odkazy