3 spôsoby zjednodušenia algebraických zlomkov

Algebraické zlomky vyzerajú na prvý pohľad neuveriteľne zložito a pre netrénovaného žiaka sa môžu zdať náročné na zvládnutie. Pri zmesi premenných, čísel a dokonca aj exponentov je ťažké vedieť, kde začať. Našťastie však rovnaké pravidlá potrebné na zjednodušenie obyčajných zlomkov, ako je 15/25, platia aj pre algebraické zlomky.

Metóda 1 z 3:Zjednodušovanie zlomkov


Poznať slovnú zásobu algebraických zlomkov. V príkladoch sa budú používať nasledujúce pojmy, ktoré sú bežné v úlohách týkajúcich sa algebraických zlomkov:

  • Čitateľ: Horná časť zlomku (t. j. (x+5)/(2x+3)).
  • Menovateľ: Spodná časť zlomku (t. j. (x+5)/(2x+3)).
  • Spoločný menovateľ: Toto je číslo, ktoré môžete vydeliť z hornej aj dolnej časti zlomku. Napríklad v zlomku 3/9 je spoločným menovateľom číslo 3, pretože obidve čísla možno deliť číslom 3.
  • Faktor: Jedno číslo, ktoré sa násobí a vytvára iné číslo. Napríklad činitele čísla 15 sú 1, 3, 5 a 15. Činiteľmi čísla 4 sú 1, 2 a 4.
  • Zjednodušená rovnica: Ide o odstránenie všetkých spoločných činiteľov a zoskupenie podobných premenných (5x + x = 6x), kým nezískate najzákladnejší tvar zlomku, rovnice alebo problému. Ak so zlomkom nemôžete urobiť nič viac, je zjednodušený.


Zopakujte si, ako riešiť jednoduché zlomky. Toto sú presne tie isté kroky, ktoré budete robiť pri riešení algebraických zlomkov.[1]
Vezmite si príklad 15/35. Aby sme mohli zlomok zjednodušiť, musíme nájdite spoločného menovateľa. V tomto prípade sa obe čísla dajú deliť piatimi, takže zo zlomku môžete odstrániť číslo 5:


155 * 3
35 → 5 * 7


Teraz môžete prečiarknite podobné členy. V tomto prípade môžete prečiarknuť dve päťky a ponechať si zjednodušenú odpoveď, 3/7.


Odstráňte činitele z algebraických výrazov rovnako ako z normálnych čísel.[2]
V predchádzajúcom príklade ste mohli ľahko odstrániť číslo 5 z čísla 15. Rovnaký princíp platí aj pre zložitejšie výrazy, napríklad 15x – 5. Nájdite činiteľ, ktorý majú obe čísla spoločný. Tu je odpoveď 5, pretože číslo 15x aj -5 môžete vydeliť číslom päť. Podobne ako predtým, odstráňte spoločný faktor a vynásobte ho tým, čo „zostalo.“

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Ak chcete skontrolovať svoju prácu, jednoducho vynásobte päť späť do nového výrazu – dostanete tie isté čísla, s ktorými ste začali.


Vedzte, že zložené výrazy môžete odstrániť rovnako ako jednoduché výrazy. Rovnaký princíp ako pri obyčajných zlomkoch funguje aj pri algebraických zlomkoch. Toto je najjednoduchší spôsob, ako zjednodušiť zlomky počas práce.[3]
Vezmite si zlomok:


(x+2)(x-3)
(x+2)(x+10)


Všimnite si, že výraz (x+2) je spoločný v čitateli (hore) aj v menovateli (dole). Ako takú ju môžete odstrániť, aby ste zjednodušili algebraický zlomok, rovnako ako ste odstránili 5 z 15/35:

(x+2)(x-3)(x-3)
(x+2)(x+10) → (x+10)

Takto nám zostáva naša konečná odpoveď: (x-3)/(x+10)

Metóda 2 z 3:Zjednodušovanie algebraických zlomkov


Nájdite spoločný činiteľ v čitateli alebo hornej časti zlomku. Pri zjednodušovaní algebraického zlomku je potrebné najprv zjednodušiť každú časť zlomku. Začnite hornou časťou a vyfakturujte čo najviac čísel.[4]
V tejto časti bude ako príklad použitá úloha:


9x-3
15x+6


Začnite čitateľom: 9x – 3. 9x aj -3 majú spoločného činiteľa: 3. Vypočítajte číslo 3 ako akékoľvek iné číslo, takže vám zostane 3 * (3x-1). Toto je váš nový čitateľ:

3(3x-1)
15x+6


Nájdite spoločný činiteľ v menovateli.[5]
Pokračujúc v príklade z predchádzajúcej kapitoly, izolujte menovateľa, 15x+6. Opäť hľadajte číslo, ktoré sa môže deliť na obe časti. Tu môžete opäť vynásobiť 3, takže dostanete 3 * (5x +2). Zapíšte si nového menovateľa:


3(3x-1)
3(5x+2)


Odstráňte podobné výrazy. Toto je fáza, v ktorej si skutočne zjednodušíte zlomok. Vezmite všetky výrazy, ktoré sú v čitateli aj menovateli, a odstráňte ich. V tomto prípade môžeme odstrániť 3 z hornej aj dolnej časti.


3(3x-1)(3x-1)
3(5x+2) → (5x+2)


Vedieť, kedy je rovnica úplne zjednodušená. Zlomok sa zjednoduší, keď v hornej alebo dolnej časti nie je viac spoločných činiteľov. Nezabudnite, že nemôžete odstrániť činitele zvnútra zátvorky – v príkladovej úlohe nemôžete vyfaktorizovať x z 3x a 5x, pretože plné členy sú vlastne (3x -1) a (5x + 2). Príklad je teda úplne zjednodušený, takže konečnú odpoveď:


(3x-1)
(5x+2)


Vyskúšajte cvičný problém. Najlepší spôsob, ako sa to naučiť, je neustále sa snažiť zjednodušovať algebraické zlomky. Odpovede sú pod úlohami.


4(x+2)(x-13)
(4x+8)

Odpoveď: (x=13)

2×2-x
5x

Odpoveď:(2x-1)/5

Metóda 3 z 3:Triky na riešenie zložitých problémov


„Obráťte“ časti zlomku vynásobením záporných čísel. Napríklad, povedzme, že máme rovnicu:


3(x-4)
5(4-x)


Všimnite si, že (x-4) a (4-x) sú “takmer“ identické, ale nemôžete ich vyškrtnúť, pretože sú opačné. (x – 4) však môžete zapísať ako -1 * (4 – x) rovnakým spôsobom, ako keď (4 + 2x) prepíšete ako 2 * (2 + x). Toto sa nazýva „vynásobenie záporných.“

-1 * 3(4-x)
5(4-x)


Teraz môžeme ľahko odstrániť dve rovnaké (4-x):

-1 * 3(4-x)
5(4-x)


Zostáva nám posledná odpoveď -3/5


Rozpoznajte rozdiel dvoch štvorcov pri práci. Rozdiel dvoch štvorcov je jednoducho jedno štvorcové číslo odčítané od druhého, podobne ako výraz (a2 – b2). Rozdiel dokonalých štvorcov sa vždy zjednoduší na dve časti, sčítaním a odčítaním odmocnín. V každom prípade môžete rozdiel dokonalého štvorca zjednodušiť nasledovne:

a2 – b2 = (a+b)(a-b)

Môže to byť neuveriteľne užitočné pri hľadaní podobných výrazov v algebraických zlomkoch.

  • Príklad: x2 – 25 = (x+5)(x-5)


Zjednodušte ľubovoľný polynomický výraz. Polynómy sú zložité algebraické výrazy s viac ako dvoma členmi, napríklad x2 + 4x + 3. Našťastie sa mnohé polynómy dajú zjednodušiť pomocou faktorizácie polynómov. Predchádzajúci výraz možno prepísať napríklad ako (x+3)(x+1).


  • Nezabudnite, že je možné zohľadniť aj premenné. To je užitočné najmä pri výrazoch s exponentmi, ako napríklad x4 + x2. Najväčší exponent môžete odstrániť ako činiteľ. V tomto prípade x4 + x2 = x2(x2 + 1).
  • Odkazy