3 spôsoby zjednodušenia odmocniny

Zjednodušenie odmocniny nie je také ťažké, ako to vyzerá. Ak chcete zjednodušiť odmocninu, stačí číslo vynásobiť a vytiahnuť korene všetkých nájdených dokonalých štvorcov zo znamienka radikálu. Keď si zapamätáte niekoľko bežných dokonalých štvorcov a budete vedieť, ako vynásobiť číslo, budete na dobrej ceste k zjednodušeniu odmocniny.

Metóda 1 z 3:Zjednodušenie odmocniny faktorovaním


Pochopte faktoring. Cieľom zjednodušenia odmocniny je prepísať ju do tvaru, ktorý je ľahko pochopiteľný a použiteľný v matematických úlohách. Faktoring rozkladá veľké číslo na dve alebo viac menších faktory, napríklad premeniť 9 na 3 x 3. Keď nájdeme tieto činitele, môžeme odmocninu prepísať do jednoduchšieho tvaru, niekedy ju dokonca zmeniť na normálne celé číslo. Napríklad √9 = √(3×3) = 3. Postupujte podľa nižšie uvedených krokov, aby ste sa naučili tento postup pre zložitejšie odmocniny.[1]


Delenie najmenším možným prvočíslom. Ak je číslo pod odmocninou párne, vydeľte ho dvomi. Ak je vaše číslo nepárne, skúste ho namiesto toho vydeliť číslom 3. Ak ani jeden z týchto spôsobov nedá celé číslo, postupujte ďalej po tomto zozname a skúšajte ďalšie prvočísla, kým nedostanete výsledok v podobe celého čísla. Stačí testovať iba prvočísla, pretože všetky ostatné čísla majú ako činitele prvočísla. Nemusíte napríklad skúšať číslo 4, pretože každé číslo deliteľné číslom 4 je deliteľné aj číslom 2, čo ste si už vyskúšali.[2]

  • 2
  • 3
  • 5
  • 7
  • 11
  • 13
  • 17


Prepíšte odmocninu ako problém násobenia. Nechajte všetko pod znamienkom odmocniny a nezabudnite zahrnúť oba činitele. Ak sa napríklad snažíte zjednodušiť √98, postupujte podľa vyššie uvedeného kroku a zistíte, že 98 ÷ 2 = 49, takže 98 = 2 x 49. Na základe týchto informácií prepíšeme „98“ v pôvodnej odmocnine: √98 = √(2 x 49).[3]


Opakujte s jedným zo zvyšných čísel. Predtým, ako môžeme odmocninu zjednodušiť, ju musíme vynásobiť, kým ju nerozložíme na dve rovnaké časti. Dáva to zmysel, ak sa zamyslíte nad tým, čo znamená odmocnina: výraz √(2 x 2) znamená „číslo, ktoré môžete vynásobiť samým sebou, aby sa rovnalo 2 x 2.“ Je zrejmé, že toto číslo je 2! S týmto cieľom si zopakujme vyššie uvedené kroky pre náš príklad problému √(2 x 49):

  • 2 je už vyfakturovaná tak nízko, ako to len pôjde. (Inými slovami, je to jedno z tých prvočísiel, ktoré sú uvedené v zozname vyššie.) Zatiaľ to budeme ignorovať a namiesto toho skúsime vydeliť 49.
  • 49 sa nedá rovnomerne deliť 2, ani 3, ani 5. Môžete si to vyskúšať sami pomocou kalkulačky alebo dlhého delenia. Keďže nám tieto úlohy nedávajú pekné, celočíselné výsledky, budeme ich ignorovať a budeme sa o ne pokúšať ďalej.
  • 49 môže byť rovnomerne rozdelené siedmimi. 49 ÷ 7 = 7, takže 49 = 7 x 7.
  • Prepíšte úlohu: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).


Dokončite zjednodušenie „vytiahnutím“ celého čísla. Keď ste problém rozdelili na dva rovnaké činitele, môžete ho premeniť na obyčajné celé číslo mimo odmocniny. Všetky ostatné činitele ponechajte vo vnútri odmocniny. Napríklad √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).[4]

  • Aj keď je možné pokračovať v delení, nemusíte pokračovať, keď ste našli dva rovnaké činitele. Napríklad √(16) = √(4 x 4) = 4. Ak by sme pokračovali vo vynásobení, dostali by sme rovnakú odpoveď, ale museli by sme vykonať viac práce: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.


Vynásobte celé čísla, ak ich je viac ako jedno. S niektorými veľkými odmocninami môžete zjednodušiť viac ako raz. Ak sa tak stane, vynásobte celé čísla a dostanete konečný problém. Tu je príklad:

  • √180 = √(2 x 90)
  • √180 = √(2 x 2 x 45)
  • √180 = 2√45, ale to sa dá ešte ďalej zjednodušiť.
  • √180 = 2√(3 x 15)
  • √180 = 2√(3 x 3 x 5)
  • √180 = (2)(3√5)
  • √180 = 6√5


Napíšte „nemožno zjednodušiť“, ak neexistujú dva rovnaké činitele. Niektoré odmocniny sú už v najjednoduchšom tvare. Ak budete faktorizovať dovtedy, kým každý člen pod odmocninou nebude prvočíslo (uvedené v jednom z vyššie uvedených krokov) a žiadne dva nebudú rovnaké, potom sa nedá nič robiť. Mohli ste dostať záludnú otázku! Skúsme napríklad zjednodušiť √70:[5]

  • 70 = 35 x 2, takže √70 = √(35 x 2)
  • 35 = 7 x 5, takže √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
  • Všetky tieto tri čísla sú prvočísla, takže ich nemožno ďalej vydeliť. Všetky sú rôzne, takže neexistuje spôsob, ako „vytiahnuť“ celé číslo. √70 sa nedá zjednodušiť.

Metóda 2 z 3:Poznanie dokonalých štvorcov


Zapamätajte si niekoľko dokonalých štvorcov. Ak číslo odmocníme alebo vynásobíme samým sebou, vznikne dokonalý štvorec. Napríklad 25 je dokonalý štvorec, pretože 5 x 5 alebo 52 sa rovná 25. Zapamätanie si aspoň prvých desiatich dokonalých štvorcov vám pomôže rozpoznať a rýchlo zjednodušiť dokonalé odmocniny. Tu je prvých desať dokonalých štvorcov:

  • 12 = 1
  • 22 = 4
  • 32 = 9
  • 42 = 16
  • 52 = 25
  • 62 = 36
  • 72 = 49
  • 82 = 64
  • 92 = 81
  • 102 = 100


Nájdite druhú odmocninu z dokonalého štvorca. Ak pod symbolom odmocniny rozpoznáte dokonalý štvorec, môžete ho okamžite premeniť na jeho druhú odmocninu a zbaviť sa znamienka radikálu (√). Ak napríklad vidíte číslo 25 pod znakom odmocniny, viete, že odpoveď je 5, pretože 25 je dokonalý štvorec. Tu je ten istý zoznam ako vyššie, postupujúci od odmocniny k odpovedi:

  • √1 = 1
  • √4 = 2
  • √9 = 3
  • √16 = 4
  • √25 = 5
  • √36 = 6
  • √49 = 7
  • √64 = 8
  • √81 = 9
  • √100 = 10


Faktorujte čísla na dokonalé štvorce. Využite dokonalé štvorce vo svoj prospech, keď postupujete pri zjednodušovaní odmocnín faktorovou metódou. Ak si všimnete spôsob, ako vynásobiť dokonalý štvorec, môže vám to ušetriť čas a námahu. Tu je niekoľko tipov: [6]

  • √50 = √(25 x 2) = 5√2. Ak posledné dve číslice čísla končia číslom 25, 50 alebo 75, vždy môžete vynásobiť číslom 25.
  • √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Ak posledné dve číslice končia číslicou 00, vždy môžete vynásobiť číslom 100.
  • √72 = √(9 x 8) = 3√8. Rozpoznanie násobkov deviatich je často užitočné. Je v tom jeden trik: ak všetky číslice v čísle sa sčítajú do deväť, potom je deväť vždy činiteľom.
  • √12 = √(4 x 3) = 2√3. Neexistuje tu žiadny špeciálny trik, ale zvyčajne je ľahké skontrolovať, či je malé číslo deliteľné 4. Majte to na pamäti, keď hľadáte činitele.


Faktor čísla s viac ako jedným dokonalým štvorcom. Ak faktory čísla obsahujú viac ako jeden dokonalý štvorec, všetky ich premiestnite mimo radikálový symbol. Ak ste počas zjednodušovania našli viacero dokonalých štvorcov, všetky ich odmocniny presuňte na vonkajšiu stranu symbolu √ a vynásobte ich spolu. Zjednodušme napríklad √72:

  • √72 = √(9 x 8)
  • √72 = √(9 x 4 x 2)
  • √72 = √(9) x √(4) x √(2)
  • √72 = 3 x 2 x √2
  • √72 = 6√2

Metóda 3 z 3:Poznanie terminológie


Vedzte, že symbol radikálu (√) je symbol druhej odmocniny. Napríklad v úlohe √25 je „√“ symbol radikálu.[7]


Vedzte, že rádikand je číslo vnútri symbolu radikálu. Budete musieť nájsť druhú odmocninu tohto čísla. Napríklad v úlohe √25 je „25“ rádicand.[8]


Vedzte, že koeficient je číslo mimo symbolu radikálu. Toto je číslo, ktorým sa odmocnina násobí; nachádza sa naľavo od symbolu √. Napríklad v úlohe 7√2 je „7“ koeficientom.


Vedieť, že činiteľ je číslo, ktoré sa dá rovnomerne vydeliť z iného čísla. Napríklad 2 je činiteľom 8, pretože 8 ÷ 4 = 2, ale 3 nie je činiteľom 8, pretože 8÷3 nedáva celé číslo. Ďalší príklad: 5 je násobok 25, pretože 5 x 5 = 25.


  • Pochopiť význam zjednodušenia druhej odmocniny. Zjednodušenie odmocniny znamená, že z radikálu vyčleníte všetky dokonalé štvorce, presuniete ich doľava od symbolu radikálu a druhý činiteľ ponecháte vo vnútri symbolu radikálu. Ak je číslo dokonalý štvorec, potom znamienko radikálu zmizne, keď zapíšete jeho koreň. Napríklad číslo √98 možno zjednodušiť na 7√2.
  • Odkazy