3 spôsoby zjednodušenia pomeru

Zjednodušenie pomeru uľahčuje prácu s ním a proces zjednodušovania je pomerne jednoduchý. Nájdite najväčší faktor spoločný pre oba členy pomeru a potom vydeľte oba členy týmto faktorom. Je to tak jednoduché. Tu je ďalšie vysvetlenie.

Metóda 1 z 3:Základné pomery


Pozrite sa na pomer. Pomer je výraz, ktorý sa používa na porovnanie dvoch veličín. Zjednodušený pomer môžete brať tak, ako je, ale ak pomer ešte nebol zjednodušený, mali by ste tak urobiť, aby ste množstvá ľahšie porovnali a pochopili. Ak chcete zjednodušiť pomer, vydelíte oba členy (obe strany pomeru) rovnakým číslom. Tento proces sa rovná zníženiu zlomku.

  • Príklad:

    15:21{\displaystyle 15:21}
    • Všimnite si, že ani jedno z čísel v tomto príklade nie je prvočíslo. Keďže ide o tento prípad, budete musieť vynásobiť obe čísla, aby ste zistili, či oba výrazy majú alebo nemajú zhodné činitele, ktoré sa môžu v procese zjednodušovania navzájom vyrušiť.


Prvý člen je faktorom. Činiteľ je celé číslo (alebo výraz), ktoré sa môže rovnomerne rozdeliť na člen, pričom ako kvocient zostáva iné celé číslo (alebo výraz). Oba výrazy v pomere musia mať spoločný aspoň jeden faktor (iný ako počet 1) alebo sa pomer nedá zjednodušiť. Skôr ako zistíte, či majú výrazy spoločný faktor, musíte zistiť, aké sú faktory jednotlivých výrazov.[1]

  • Príklad: Číslo 15 má štyri činitele:

    1,3,5,15{\displaystyle 1,3,5,15}
    • 151=15{\displaystyle {\frac {15}{1}}=15}
    • 153=5{\displaystyle {\frac {15}{3}}=5}


Vynásobte druhý člen. Na samostatnom mieste vypíš všetky činitele druhého člena pomeru. V tejto chvíli neberte do úvahy činitele prvého člena; sústreďte sa len na vynásobenie tohto druhého člena.

  • Príklad: Číslo 21 má štyri činitele: 1, 3, 7, 21

    • 211=21{\displaystyle {\frac {21}{1}}=21}
    • 213=7{\displaystyle {\frac {21}{3}}=7}


Nájdite najväčší spoločný činiteľ. Pozrite sa na činitele oboch členov pomeru. Zakrúžkujte, vypíšte alebo inak identifikujte všetky činitele, ktoré sa vyskytujú v oboch zoznamoch. Ak je jediným spoločným činiteľom 1, potom je pomer už v najjednoduchšom tvare a nie je potrebné vykonávať ďalšie práce. Ak však majú oba členy pomeru ďalšie spoločné činitele, roztrieďte ich a určte najväčší spoločný činiteľ pre oba zoznamy. Toto číslo je najväčší spoločný deliteľ (GCF).[2]

  • Príklad: Čísla 15 aj 21 majú dva spoločné činitele: 1 a 3

    • GCF oboch členov pôvodného pomeru je 3.


Oba výrazy vydeľte najväčším spoločným deliteľom. Keďže oba členy pôvodného pomeru obsahujú GCF, môžete každý člen vydeliť týmto číslom a ako výsledok dostanete celé čísla. Oba výrazy sa musia vydeliť GCF.

  • Príklad: 15 aj 21 sú delené 3.

    • 153=5{\displaystyle {\frac {15}{3}}=5}
    • 213=7{\displaystyle {\frac {21}{3}}=7}


Zapíšte nový zjednodušený pomer. Zostanú vám dva nové výrazy. Nový pomer má rovnakú hodnotu ako pôvodný pomer, čo znamená, že členy jedného pomeru sú v rovnakom pomere ako členy druhého pomeru. Všimnite si, že členy nového pomeru by nemali mať medzi sebou žiadne spoločné činitele (okrem 1). Ak áno, pomer ešte nie je v najjednoduchšom tvare.

  • Príklad:

    5:7{\displaystyle 5:7}

    Pointa toho všetkého je, že so zjednodušeným pomerom 5:7 sa pracuje ľahšie ako s pôvodným pomerom 15:21.

Metóda 2 z 3:Jednoduché algebraické pomery


Pozrite sa na pomer. Ako pri každom pomere, aj pri algebraickom pomere sa porovnávajú dve veličiny, hoci v tomto prípade boli do jedného alebo oboch členov zavedené premenné (písmená). Pri hľadaní zjednodušeného tvaru pomeru budete musieť zjednodušiť číselné členy (ako je uvedené vyššie), ako aj všetky premenné.

  • Príklad:

    18x2:72x{\displaystyle 18x^{2}:72x}


Vynásobte oba členy faktorom. Nezabudnite, že činiteľmi môžu byť celé čísla, ktoré sa rovnomerne delia s danou veličinou. Pozrite sa na číselné hodnoty v oboch členoch pomeru. Vypíšte všetky činitele oboch číselných členov do samostatných zoznamov.[3]

  • Príklad: Na vyriešenie tohto problému budete musieť nájsť činitele 18 a 72.

    • Činitele čísla 18 sú: 1, 2, 3, 6, 9, 18
    • Činitele 72 sú: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72


Nájdite najväčší spoločný činiteľ. Prejdite oba zoznamy faktorov a zakrúžkujte, podčiarknite alebo inak identifikujte všetky faktory, ktoré sú spoločné pre oba zoznamy. Z tohto nového výberu čísel určte najväčšie číslo. Táto hodnota je najväčším spoločným činiteľom oboch číselných členov. Všimnite si však, že táto hodnota predstavuje len časť najväčšieho spoločného činiteľa v rámci pomeru. (Stále máme premenné, s ktorými sa musíme vysporiadať.)[4]

  • Príklad: 18 aj 72 majú niekoľko spoločných činiteľov: 1, 2, 3, 6, 9 a 18. Z týchto činiteľov je 18 najväčší.


Obe strany vydeľte najväčším spoločným činiteľom. Mali by ste byť schopní rovnomerne vydeliť oba číselné členy GCF. Urobte tak teraz a zapíšte celé čísla, ktoré dostanete ako výsledok. Tieto čísla budú súčasťou konečného zjednodušeného pomeru.

  • Príklad: Obe čísla 18 a 72 sú teraz delené činiteľom 18.

    • 1818=1{\displaystyle {\frac {18}{18}}=1}
    • 7218=4{\displaystyle {\frac {72}{18}}=4}


Ak je to možné, vydeľte premennú faktorom. Pozrite sa na premennú v oboch členoch pomeru. Ak sa v oboch členoch vyskytuje tá istá premenná, možno ju vydeliť.

  • Ak sú v oboch členoch použité exponenty (mocniny) premennej, vysporiadajte sa s nimi teraz. Ak sú exponenty v oboch výrazoch rovnaké, úplne sa rušia. Ak exponenty nie sú rovnaké, odčítajte menší exponent od väčšieho. Tým sa úplne zruší premenná s menším exponentom a druhá premenná zostane so zmenšeným exponentom. Pochopte, že odčítaním jednej mocniny od druhej v podstate delíte väčšiu veličinu menšou.
  • Príklad: Pri samostatnom skúmaní bol pomer premenných:

    x2:x{\displaystyle x^{2}:x}
    • Môžete vynásobiť faktor
      x{\displaystyle x}

      z oboch výrazov. Mocnina prvého člena

      x{\displaystyle x}

      je 2 a mocnina druhého

      x{\displaystyle x}

      je 1. Ako taký je jeden

      x{\displaystyle x}

      možno vyčísliť z oboch výrazov. Prvý termín bude ponechaný s jedným

      x{\displaystyle x}

      , a druhý člen zostane bez

      x{\displaystyle x}

      .

    • x(x:1){\displaystyle x(x:1)}
    • x:1{\displaystyle x:1}


Všimnite si všetky najväčšie spoločné činitele. Spojte GCF číselných hodnôt s GCF premenných, aby ste našli úplný GCF. Tento GCF je člen, ktorý sa musí vyčísliť z oboch členov pomeru.

  • Príklad: Najväčší spoločný činiteľ v tomto príklade je

    18x{\displaystyle 18x}

    .

    • 18x(x:4){\displaystyle 18x\cdot (x:4)}


Napíšte zjednodušený pomer. Po odstránení GCF je zostávajúci pomer zjednodušenou formou pôvodného pomeru. Tento nový pomer je proporcionálne ekvivalentný pôvodnému pomeru. Opäť si všimnite, že dva členy výsledného pomeru nesmú mať žiadne spoločné činitele (okrem 1).

  • Príklad:

    x:4{\displaystyle x:4}

Metóda 3 z 3:Polynomické pomery


Pozrite sa na pomer. Polynomické pomery sú zložitejšie ako iné typy pomerov. Stále sa porovnávajú dve veličiny, ale faktory týchto veličín nie sú tak zrejmé a zjednodušenie môže trvať o niečo dlhšie. Napriek tomu základný princíp a kroky zostávajú rovnaké.

  • Príklad:

    (x28x+15):(x23x10){\displaystyle (x^{2}-8x+15):(x^{2}-3x-10)}


Rozdeľte prvý člen na činitele. Z prvého člena budete musieť vynásobiť polynóm. Na dokončenie tohto kroku môžete použiť rôzne metódy, takže budete musieť využiť svoje znalosti o kvadratických rovniciach a iných komplexných polynómoch, aby ste určili najlepšiu metódu, ktorú použijete.[5]

  • Príklad: Pre tento pomer môžete použiť rozkladovú metódu faktorizácie.

    • x28x+15{\displaystyle x^{2}-8x+15}
    • Vynásobte a a c výrazov spolu:
      115=15{\displaystyle 1\cdot 15=15}
    • Nájdite dve čísla, ktoré sa po vynásobení rovnajú tomuto číslu a sčítajú sa do hodnoty b termín:
      5,3[53=15;5+3=8]{\displaystyle -5,-3[-5\cdot -3=15;-5+-3=-8]}
    • Nahraďte tieto dve čísla do pôvodného výrazu:
      x25x3x+15{\displaystyle x^{2}-5x-3x+15}
    • Faktor zoskupením:
      (x3)(x5){\displaystyle (x-3)\cdot (x-5)}


Rozdeľte druhý člen na činitele. Aj druhý člen pomeru sa musí rozdeliť na činitele.

  • Príklad: Použite ľubovoľnú metódu na rozloženie druhého výrazu na činitele:
  • x23x10{\displaystyle x^{2}-3x-10}
  • (x5)(x+2){\displaystyle (x-5)\cdot (x+2)}


Zrušte spoločné činitele. Porovnajte dva faktorové tvary pôvodných výrazov. Všimnite si, že činiteľ v tejto aplikácii je akýkoľvek výraz uvedený v zátvorkách. Ak je niektorý z faktorov v zátvorke spoločný pre oba členy pomeru, možno tieto faktory anulovať.[6]

  • Príklad: Fakturovaný tvar pomeru sa zapíše ako:

    [(x3)(x5)]:[(x5)(x+2)]{\displaystyle [(x-3)(x-5)]:[(x-5)(x+2)]}
    • Spoločný činiteľ v oboch členoch je:
      (x5){\displaystyle (x-5)}
    • Po odstránení spoločného faktora možno potom pomer zapísať ako:
      [(x3):(x+2)]{\displaystyle [(x-3):(x+2)]}

  • Napíšte zjednodušený pomer. Dva členy v konečnom pomere by nemali mať žiadne spoločné činitele. Tento nový pomer bude v pomere k pôvodnému pomeru rovnocenný.

    • Príklad:

      (x3):(x+2){\displaystyle (x-3):(x+2)}
  • Odkazy