3 spôsoby zjednodušenia racionálnych výrazov

Racionálne výrazy sú výrazy v tvare pomeru (alebo zlomku) dvoch mnohočlenov.[1]
Rovnako ako bežné zlomky, aj racionálny výraz je potrebné zjednodušiť. Je to pomerne jednoduchý postup, ak je podobný činiteľ jednočlenný alebo jednočlenný, ale môže byť trochu podrobnejší, ak činiteľ obsahuje viacero členov.

Metóda 1 z 3:Faktorovanie jednočlenov


Vyhodnoťte výraz. Ak chcete použiť túto metódu, mali by ste v čitateli a menovateli svojho racionálneho výrazu vidieť monomium. Monomický člen je polynóm s jedným členom.[2]

  • Napríklad výraz
    4x16x2{\displaystyle {\frac {4x}{16x^{2}}}}

    má jeden člen v čitateli a jeden člen v menovateli. Každý z nich je teda monomický.

  • Výraz
    4x+416x22{\displaystyle {\frac {4x+4}{16x^{2}-2}}}

    má dva dvojčleny, a preto sa nedá vyriešiť touto metódou.


Vynásobte čitateľa. Na tento účel vypíšte činitele, ktoré by ste spolu vynásobili, aby ste získali monomický počet, vrátane premennej. Viac informácií o tom, ako vynásobiť, nájdete v článku Vynásobenie čísla. Prepíšte výraz pomocou činiteľov v čitateli a menovateli. [3]

  • Napríklad,
    4x{\displaystyle 4x}

    by sa vynásobil ako

    2×2×x{\displaystyle 2\times 2\times x}

    a

    16x2{\displaystyle 16x^{2}}

    by sa vynásobil ako

    2×2×2×2×x×x{\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times x\times x}

    . Po vynásobení bude váš výraz vyzerať takto:

    2×2×x2×2×2×2×x×x{\displaystyle {\frac {2\times 2\times x}{2\times 2\times 2\times 2\times x\times x}}


Zrušiť spoločné činitele. Ak to chcete urobiť, prečiarknite v čitateli a menovateli činitele, ktoré sa zhodujú. Tie sa zrušia, pretože delíte činiteľ sám sebou, čo sa rovná 1.[4]

  • Môžete napríklad prečiarknuť dve dvojky a jedno x v čitateli a menovateli:
    2×2×x2×2×2×2×x×x{\displaystyle {\frac {{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times {\cancel {x}}}{{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times 2\times 2\times {\cancel {x}}\times x}}}


Prepíšte výraz so zvyšnými činiteľmi. Nezabudnite, že členy sa anulujú do 1. Ak ste teda zrušili všetky výrazy v čitateli alebo menovateli, stále vám zostane 1.

  • Napríklad:
    2×2×x2×2×2×2×x×x{\displaystyle {\frac {{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times {\cancel {x}}{{\cancel {2}}\times {\cancel {2}}\times 2\times 2\times {\cancel {x}}\times x}}}

    12×2×x{\displaystyle {\frac {1}{2\times 2\times x}}


Doplňte akékoľvek násobenie v čitateli alebo menovateli. Takto získate konečný, zjednodušený racionálny výraz.

  • Napríklad:
    12×2×x{\displaystyle {\frac {1}{2\times 2\times x}}

    14x{\displaystyle {\frac {1}{4x}}}

Metóda 2 z 3:Faktorovanie jednočlenných faktorov


Posúďte racionálny výraz. Ak chcete použiť túto metódu, mali by ste vo výraze vidieť aspoň jeden dvojčlen. Môže byť v čitateli, menovateli alebo v oboch. Dvojčlen je polynóm s dvoma členmi.[5]

  • Napríklad výraz
    4x16x22x{\displaystyle {\frac {4x}{16x^{2}-2x}}}

    má v menovateli dva členy. Menovateľ teda obsahuje binóm.


Nájdite monomický faktor spoločný pre čitateľa a menovateľa. Činiteľ musí byť spoločný pre všetky výrazy vo výraze. Vypočítajte tento člen a prepíšte výraz.[6]

  • Napríklad monomický
    2x{\displaystyle 2x}

    je spoločný pre každý výraz vo výraze

    4x16x22x{\displaystyle {\frac {4x}{16x^{2}-2x}}

    . Takže po vynásobení tohto člena z čitateľa a menovateľa bude váš výraz vyzerať takto:

    2x(2)2x(8x1){\displaystyle {\frac {2x(2)}{2x(8x-1)}}}

    .


Zrušte spoločný činiteľ. Jednočlen vylúčený z čitateľa a menovateľa sa zruší na 1, pretože tento člen delíte samým sebou.[7]

  • Napríklad:
    2x(2)2x(8x1){\displaystyle {\frac {2x(2)}{2x(8x-1)}}}

    2x(2)2x(8x1){\displaystyle {\frac {{\cancel {2x}}(2)}{{\cancel {2x}}(8x-1)}}}


Prepíšte výraz po zrušení jednočlenu. Získate tak zjednodušený racionálny výraz. Ak ste faktorovali správne, v čitateli a menovateli už nebudú žiadne spoločné činitele jednotlivých členov.

  • Napríklad:
    2x(2)2x(8x1){\displaystyle {\frac {{\cancel {2x}}(2)}{{\cancel {2x}}(8x-1)}}}

    28x1{\displaystyle {\frac {2}{8x-1}}}

Metóda 3 z 3:Odčítanie binomických činiteľov


Vyhodnoťte svoj výraz. Táto metóda funguje pre výrazy, ktoré majú v čitateli a menovateli polynómy druhého stupňa. Mnohočlen druhého stupňa je mnohočlen s jedným členom zvýšeným na mocninu 2.[8]

  • Napríklad výraz
    x24x22x8{\displaystyle {\frac {x^{2}-4}{x^{2}-2x-8}}}

    má v čitateli a menovateli polynóm druhého stupňa, takže na jeho zjednodušenie môžete použiť túto metódu.


Vynásobte polynóm čitateľa na dva dvojčleny. Hľadáte dva dvojčleny, ktorých vynásobením metódou FOIL vznikne pôvodný polynóm. Viac informácií o tom, ako vynásobiť polynóm druhého stupňa, nájdete v článku Vynásobenie polynómu druhého stupňa (kvadratické rovnice). Prepíšte svoj výraz s faktorom čitateľa.

  • Napríklad,
    x24{\displaystyle x^{2}-4}

    sa dá vyčísliť ako

    (x2)(x+2){\displaystyle (x-2)(x+2)}

    . Takže váš výraz teraz vyzerá takto:

    (x2)(x+2)x22x8{\displaystyle {\frac {(x-2)(x+2)}{x^{2}-2x-8}}}

    .


Vynásobte polynóm menovateľa na dva binómy. Opäť hľadáte dva binómy, ktoré môžete vynásobiť, aby ste získali pôvodný mnohočlen. Prepíšte svoj výraz s vyfakturovaným menovateľom.

  • Napríklad,
    x22x8{\displaystyle x^{2}-2x-8}

    možno vyložiť ako

    (x+2)(x4){\displaystyle (x+2)(x-4)}

    . Takže váš výraz teraz vyzerá takto:

    (x2)(x+2)(x+2)(x4){\displaystyle {\frac {(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-4)}}}

    .


Zrušte binomické faktory spoločné pre čitateľa a menovateľa.[9]
Binomický činiteľ je výraz v zátvorkách.[10]
Môžete ich vydeliť, pretože delenie činiteľa samým sebou sa rovná 1.

  • Napríklad:
    (x2)(x+2)(x+2)(x4){\displaystyle {\frac {(x-2)(x+2)}{(x+2)(x-4)}}}

    (x2)(x+2)(x+2)(x4){\displaystyle {\frac {(x-2){\cancel {(x+2)}}}{{\cancel {(x+2)}}(x-4)}}}

  • Prepíšte svoj výraz so zvyšnými faktormi. Nezabudnite, že ak ste zrušili všetky faktory, zostal vám 1. Takto získate konečný zjednodušený výraz.

    • Napríklad:
      (x2)(x+2)(x+2)(x4){\displaystyle {\frac {(x-2){\cancel {(x+2)}}}{{\cancel {(x+2)}}(x-4)}}}

      x2x4{\displaystyle {\frac {x-2}{x-4}}}
  • Odkazy