3 spôsoby zjednodušenia zložených čísel

Komplexné číslo je číslo, ktoré kombinuje reálnu časť s imaginárnou časťou. Imaginárny je termín používaný pre druhú odmocninu záporného čísla, konkrétne pomocou zápisu

i=1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

. Komplexné číslo je teda zložené z reálneho čísla a nejakého násobku i. Niektoré vzorové komplexné čísla sú 3+2i, 4-i alebo 18+5i. Zložené čísla, rovnako ako akékoľvek iné čísla, možno sčítať, odčítať, násobiť alebo deliť a potom tieto výrazy zjednodušiť. Na zjednodušenie týchto výrazov s komplexnými číslami musíte použiť špeciálne pravidlá.

Metóda 1 z 3:Sčítanie alebo odčítanie komplexných čísel


Sčítajte reálne časti dohromady. Uvedomte si, že sčítanie a odčítanie je v skutočnosti rovnaký proces. Odčítanie nie je nič iné ako pridanie záporného čísla. Preto sa sčítanie a odčítanie považujú za verzie toho istého procesu. Ak chcete sčítať dve alebo viac komplexných čísel, najprv jednoducho sčítajte reálne časti čísel.[1]

  • Ak chcete napríklad zjednodušiť súčet (a+bi) a (c+di), najprv identifikujte, že a a c sú časti reálnych čísel, a sčítajte ich. Symbolicky to bude (a+c).
  • Použitie skutočných čísel namiesto premenných, zvážte príklad (3+3i) + (5-2i). Reálna časť prvého čísla je 3 a reálna časť druhého komplexného čísla je 5. Sčítajte ich a dostanete 3+5=8. Reálna časť zjednodušeného komplexného čísla bude 8.


Sčítajte imaginárne časti dohromady. V samostatnej operácii určte imaginárne časti každého komplexného čísla a sčítajte ich.[2]

  • V algebraickom príklade (a+bi) plus (c+di) sú imaginárne časti b a d. Ich algebraickým sčítaním dostaneme výsledok (b+d)i.
  • Ak použijeme číselný príklad (3+3i) + (5-2i), imaginárne časti dvoch komplexných čísel sú 3i a -2i. Ich sčítaním dostaneme výsledok 1i, ktorý sa dá zapísať aj jednoducho ako i.


Spojením oboch častí vytvorte zjednodušenú odpoveď. Ak chcete nájsť konečnú zjednodušenú verziu súčtu, spojte reálnu a imaginárnu časť. Výsledkom je zjednodušený súčet komplexných čísel.[3]

  • Súčet (a+bi) a (c+di) sa zapíše ako (a+c) + (b+d)i.
  • Ak použijete číselný príklad, súčet (3+3i) + (5-2i) je 8+i.

Metóda 2 z 3:Násobenie komplexných čísel


Zapamätajte si pravidlo F-O-I-L. Pohľad na komplexné číslo (a+bi) by vám mal pripomínať binómy z algebry alebo algebry 2. Zapamätajte si, že na vynásobenie dvojciferných čísel musíte vynásobiť každý člen prvého dvojciferného čísla každým členom druhého. Skrátenou verziou na tento postup je pravidlo F-O-I-L, čo znamená „Prvý, Vonkajší, Vnútorný, Posledný.“ Na príklad (a+b)(c+d) použite toto pravidlo takto: [4]

  • Prvý. F v slove FOIL znamená, že prvý člen prvého binómu vynásobíte prvým členom druhého binómu. Pre vzorku by to bolo a*c.
  • Vonkajšie. O v FOIL vám hovorí, aby ste vynásobili „vonkajšie“ členy. Ide o prvý člen prvého binómu a druhý člen druhého binómu. Pre vzorku by to bolo a*d.
  • Vnútorná stránka. I vo FOIL znamená násobenie „vnútorných“ členov. Boli by to dva členy, ktoré sa objavia uprostred, a to druhý člen prvého binómu a prvý člen druhého binómu. V danom príklade sú vnútorné členy b*c.
  • Posledný. L v FOIL predstavuje posledné členy každého binómu. Pre vzorový výraz by to bolo b*d.
  • Nakoniec všetky štyri produkty sčítajte dohromady. Výsledok vzorkového binomického násobenia (a+b)(c+d) je ac+ad+bc+bd.


Aplikujte pravidlo FOIL na násobenie komplexných čísel. Ak chcete vynásobiť dve komplexné čísla, stanovte ich ako súčin dvoch dvojčlenov a použite pravidlo FOIL. Napríklad súčin dvoch komplexných čísel (3+2i)*(5-3i) funguje takto:[5]

  • Najprv. Súčin prvých členov je 3*5=15.
  • Vonkajšie. Súčin vonkajších členov je 3*(-3i). Tento súčin je -9i.
  • Vnútorný. Súčin dvoch vnútorných členov je 2i*5. Tento produkt je 10i.
  • Posledná stránka. Súčin posledných členov je (2i)*(-3i). Tento súčin je -6i2. Uvedomte si, že i2 sa rovná -1, takže hodnota -6i2 je -6*-1, čo je 6.


Kombinujte výrazy. Po uplatnení pravidla FOIL a nájdení štyroch nezávislých súčinov ich spojte dohromady a nájdite výsledok násobenia. V prípade vzorky (3+2i)*(5-3i) sa časti spoja tak, aby vzniklo 15-9i+10i+6.[6]


Zjednodušte kombináciou podobných výrazov. Výsledkom násobenia podľa pravidla FOIL by mali byť dva členy reálneho čísla a dva členy imaginárneho čísla. Zjednodušte výsledok spojením podobných výrazov.[7]

  • Pre vzorku 15-9i+10i+6 môžete sčítať 15 a 6 spolu a sčítať -9i a 10i spolu. Výsledok bude 21+i.


Spracujte ešte jeden príklad. Nájdite súčin dvoch komplexných čísel (3+4i)(-2-5i). Kroky tohto násobenia sú: [8]

  • (3)(-2)=-6 (prvý)
  • (3)(-5i)=-15i (Vonkajšie)
  • (4i)(-2)=-8i (Vnútorné)
  • (4i)(-5i)=-20i2=(-20)(-1)=20 (Lasts)
  • -6-15i-8i+20 = 14-23i (Spojte členy a zjednodušte)

Metóda 3 z 3:Delenie komplexných čísel


Napíšte delenie dvoch komplexných čísel ako zlomok. Keď chcete deliť dve komplexné čísla, zadajte úlohu ako zlomok. Ak chcete napríklad nájsť kvocient (4+3i) delený (2-2i), stanovte úlohu takto:[9]

  • (4+3i)(22i){\displaystyle {\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}}


Nájdite konjugát menovateľa. Konjugát komplexného čísla je užitočný nástroj. Jednoducho sa vytvorí zmenou znamienka v strede komplexného čísla. Konjugát (a+bi) je teda (a-bi). Konjugát (2-3i) je (2+3i).


Vynásobte čitateľa a menovateľa konjugovaným menovateľom. Vždy, keď násobíte zlomkom, ktorého čitateľ a menovateľ sú rovnaké, hodnota je práve 1. Toto je užitočný nástroj na zjednodušenie komplexných čísel, najmä pri úlohách na delenie. Takto nastavte príklad

(4+3i)(22i){\displaystyle {\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}}

nasledovne:[10]

  • (4+3i)(22i)(2+2i)(2+2i){\displaystyle {\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}*{\frac {(2+2i)}{(2+2i)}}}
  • Potom vynásobte čitateľa a menovateľa a zjednodušte takto:
    • (4+3i)(22i)(2+2i)(2+2i){\displaystyle {\frac {(4+3i)}{(2-2i)}}*{\frac {(2+2i)}{(2+2i)}}}
    • 8+8i+6i+6i24+4i4i4i2{\displaystyle {\frac {8+8i+6i+6i^{2}}{4+4i-4i-4i^{2}}}}
    • 8+14i+6(1)44(1){\displaystyle {\frac {8+14i+6(-1)}{4-4(-1)}}}
    • 8+14i64+4{\displaystyle {\frac {8+14i-6}{4+4}}}
    • 2+14i8{\displaystyle {\frac {2+14i}{8}}}
  • Všimnite si, že v druhom kroku vyššie menovateľ obsahuje výrazy
    +4i{\displaystyle +4i}

    a

    4i{\displaystyle -4i}

    . Tie sa navzájom vyrušia. K tomu dôjde vždy v dôsledku násobenia konjugovaným. Imaginárne členy menovateľa by sa mali vždy zrušiť a zmiznúť.


  • Návrat do formátu komplexného čísla. Uvedomte si, že jediný menovateľ platí rovnako pre obe časti čitateľa. Rozdeľte čitateľa na dve časti a vytvorte štandardné komplexné číslo.[11]

    • 2+14i8=28+14i8=14+7i4{\displaystyle {\frac {2+14i}{8}}={\frac {2}{8}}+{\frac {14i}{8}}={\frac {1}{4}}+{\frac {7i}{4}}}
  • Odkazy