4 spôsoby, ako nájsť rozsah funkcie

Rozsah funkcie je množina čísel, ktoré môže funkcia vytvoriť. Inými slovami, je to množina hodnôt y, ktorú dostanete, keď do funkcie dosadíte všetky možné hodnoty x. Táto množina možných hodnôt x sa nazýva doména. Ak chcete vedieť, ako nájsť rozsah funkcie, stačí postupovať podľa týchto krokov.

Metóda 1 zo 4:Zistenie rozsahu funkcie vzhľadom na vzorec


Napíšte vzorec. Povedzme, že vzorec, s ktorým pracujete, je nasledujúci: f(x) = 3×2 + 6x -2. To znamená, že keď umiestnite akýkoľvek x do rovnice, získate y hodnota. Toto je funkcia paraboly.


Nájdite vrchol funkcie, ak je kvadratická. Ak pracujete s priamkou alebo akoukoľvek funkciou s polynómom nepárneho čísla, ako napríklad f(x) = 6×3+2x + 7, môžete tento krok preskočiť. Ak však pracujete s parabolou alebo s akoukoľvek rovnicou, v ktorej je súradnica x štvorcová alebo zvýšená na párnu mocninu, budete musieť vrchol zakresliť. Na tento účel stačí použiť vzorec -b/2a získať x súradnicu funkcie 3×2 + 6x -2, kde 3 = a, 6 = b a -2 = c. V tomto prípade -b je -6 a 2a je 6, takže súradnica x je -6/6 alebo -1.

  • Teraz do funkcie vložte -1, aby ste získali súradnicu y. f(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = 3 – 6 -2 = -5.
  • Vrchol je (-1,-5). Zostrojte graf tak, že nakreslíte bod, ktorého súradnica x je -1 a súradnica y je -5. Mal by sa nachádzať v treťom kvadrante grafu.


Nájdite niekoľko ďalších bodov vo funkcii. Aby ste získali predstavu o funkcii, mali by ste zapojiť niekoľko ďalších x-ových súradníc, aby ste získali predstavu o tom, ako funkcia vyzerá, skôr ako začnete hľadať rozsah. Keďže je to parabola a súradnica x2 je kladná, bude smerovať nahor. Ale aby sme si pokryli základ, vložme do grafu niekoľko súradníc x, aby sme zistili, aké súradnice y z nich vyplývajú:

  • f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Jeden bod na grafe je (-2, -2)
  • f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Ďalší bod na grafe je (0,-2)
  • f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Tretí bod na grafe je (1, 7).


Nájdite rozsah na grafe. Teraz sa pozrite na y-ové súradnice na grafe a nájdite najnižší bod, v ktorom sa graf dotýka y-ovej súradnice. V tomto prípade je najnižšia y-ová súradnica vo vrchole -5 a graf sa tiahne nekonečne dlho nad tento bod. To znamená, že rozsah funkcie je y = všetky reálne čísla ≥ -5.

Metóda 2 zo 4:Zistenie rozsahu funkcie na grafe


Nájdite minimum funkcie. Nájdite najnižšiu y-ovú súradnicu funkcie. Povedzme, že funkcia dosiahne svoj najnižší bod pri -3. Táto funkcia by sa tiež mohla nekonečne zmenšovať a zmenšovať, takže nemá stanovený najnižší bod – len nekonečno.


Nájdite maximum funkcie. Povedzme, že najvyššia y-ová súradnica, ktorú funkcia dosahuje, je 10. Táto funkcia sa môže zväčšovať a zväčšovať aj donekonečna, takže nemá stanovený najvyšší bod — len nekonečno.


Uveďte rozsah. To znamená, že rozsah funkcie alebo rozsah súradníc y sa pohybuje od -3 do 10. Takže -3 ≤ f(x) ≤ 10. To je rozsah funkcie.

  • Ale povedzme, že graf dosiahne najnižší bod pri y = -3, ale bude stúpať donekonečna. Potom je rozsah f(x) ≥ -3 a to je všetko.
  • Povedzme, že graf dosahuje najvyšší bod pri 10, ale klesá donekonečna. Potom je rozsah f(x) ≤ 10.

Metóda 3 zo 4:Určenie rozsahu funkcie vzťahu


Zapíšte vzťah. Vzťah je množina usporiadaných dvojíc so súradnicami x a y. Môžete sa pozrieť na vzťah a určiť jeho oblasť a rozsah. Povedzme, že pracujete s nasledujúcim vzťahom: {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}.[1]


Vypíšte y-ové súradnice vzťahu. Ak chcete nájsť rozsah vzťahu, jednoducho zapíšte všetky y-ové súradnice každej usporiadanej dvojice: {-3, 6, -1, 6, 3}.[2]


Odstráňte všetky duplicitné súradnice tak, aby ste mali len jednu z každej y-ovej súradnice. Všimnite si, že číslo „6“ ste uviedli dvakrát. Odstráňte ju tak, aby vám zostalo {-3, -1, 6, 3}.[3]


Napíšte rozsah vzťahu vo vzostupnom poradí. Teraz zmeňte poradie čísel v množine tak, aby ste sa pohybovali od najmenšieho po najväčšie, a máte svoj rozsah. Oblasť vzťahu {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)} je {-3,-1, 3, 6}. Všetko je hotové.[4]


Uistite sa, že vzťah je funkcia. Aby bol vzťah funkciou, vždy, keď dosadíte jedno číslo súradnice x, musí byť súradnica y rovnaká. Napríklad vzťah {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} je nie funkcie, pretože keď ste prvýkrát vložili 2 ako x, dostali ste 3, ale keď ste druhýkrát vložili 2, dostali ste štvorku. Aby bol vzťah funkciou, ak vložíte rovnaký vstup, mali by ste vždy dostať rovnaký výstup. Ak do grafu vložíte -7, mali by ste zakaždým dostať rovnakú súradnicu y (nech je akákoľvek).[5]

Metóda 4 zo 4:Zistenie rozsahu funkcie v slovnej úlohe


Prečítajte si problém. Povedzme, že pracujete s nasledujúcim problémom: „Becky predáva lístky na školskú prehliadku talentov za 5 dolárov za kus. Suma peňazí, ktorú vyberie, je funkciou toho, koľko lístkov predá. Aký je rozsah funkcie?“


Napíšte tento problém ako funkciu. V tomto prípade, M predstavuje sumu peňazí, ktorú vyberie, a t predstavuje množstvo lístkov, ktoré predá. Keďže však každý lístok bude stáť 5 dolárov, budete musieť vynásobiť počet predaných lístkov číslom 5, aby ste zistili sumu peňazí. Funkciu teda môžeme zapísať ako M(t) = 5t.

  • Ak napríklad predá 2 lístky, budete musieť vynásobiť 2 číslom 5, aby ste dostali 10, čo je suma dolárov, ktorú získa.


Určte doménu. Aby ste určili rozsah, musíte najprv nájsť doménu. Oblasť sú všetky možné hodnoty t, ktoré v rovnici fungujú. V tomto prípade môže Becky predať 0 alebo viac lístkov – nemôže predať záporné lístky. Keďže nepoznáme počet miest v jej školskej posluchárni, môžeme predpokladať, že teoreticky môže predať nekonečný počet lístkov. A môže predávať len celé lístky; nemôže predať napríklad 1/2 lístka. Oblasť funkcie je teda t = akékoľvek nezáporné celé číslo.


  • Určte rozsah. Rozsah je možná suma peňazí, ktorú môže Becky zarobiť zo svojho predaja. Na zistenie rozsahu musíte pracovať s doménou. Ak viete, že doménou je ľubovoľné nezáporné celé číslo a že vzorec je M(t) = 5t, potom viete, že do tejto funkcie môžete vložiť ľubovoľné nezáporné celé číslo a získať tak výstup alebo rozsah. Ak napríklad predá 5 lístkov, potom M(5) = 5 x 5, teda 25 dolárov. Ak predá 100, potom M(100) = 5 x 100 alebo 500 dolárov. Preto je rozsah funkcie akékoľvek nezáporné celé číslo, ktoré je násobkom piatich.

    • To znamená, že akékoľvek nezáporné celé číslo, ktoré je násobkom piatich, je možným výstupom pre vstup funkcie.
  • Odkazy