4 spôsoby, ako nájsť ľubovoľný člen aritmetickej postupnosti

Aritmetická postupnosť je akýkoľvek zoznam čísel, ktoré sa od seba líšia o konštantnú hodnotu. Napríklad zoznam párnych čísel,

0,2,4,6,8{\displaystyle 0,2,4,6,8}

… je aritmetická postupnosť, pretože rozdiel jedného čísla v zozname k ďalšiemu je vždy 2.[1]
Ak viete, že pracujete s aritmetickou postupnosťou, môžete byť požiadaní, aby ste našli práve nasledujúci člen z daného zoznamu. Môžete byť tiež požiadaní, aby ste vyplnili medzeru, v ktorej chýba člen. Nakoniec možno budete chcieť poznať napríklad 100. člen bez toho, aby ste museli vypísať všetkých 100 členov. Niekoľko jednoduchých krokov vám môže pomôcť urobiť niektorý z týchto krokov.

Metóda 1 zo 4:Hľadanie ďalšieho člena v aritmetickej postupnosti


Nájdite spoločný rozdiel pre postupnosť. Keď sa vám predloží zoznam čísel, môže vám byť povedané, že zoznam je aritmetickou postupnosťou, alebo si to budete musieť zistiť sami. Prvý krok je v oboch prípadoch rovnaký. Vyberte prvé dva po sebe idúce výrazy v zozname. Odpočítajte prvý termín od druhého termínu. Výsledkom je spoločný rozdiel vašej postupnosti.[2]

  • Predpokladajme napríklad, že máte zoznam
    1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}

    …. Odpočítajte

    41{\displaystyle 4-1}

    nájsť spoločný rozdiel 3.

  • Predpokladajme, že máte zoznam členov, ktorých počet klesá, napr
    25,21,17,13{\displaystyle 25,21,17,13}

    … Stále odčítate prvý člen od druhého, aby ste našli rozdiel. V tomto prípade vám to dáva

    2125=4{\displaystyle 21-25=-4}

    . Záporný výsledok znamená, že váš zoznam sa pri čítaní zľava doprava zmenšuje. Vždy by ste mali skontrolovať, či znamienko rozdielu zodpovedá smeru, ktorým sa čísla zdajú byť.


Skontrolujte, či je spoločný rozdiel konzistentný. Nájdenie spoločného rozdielu len pre prvé dva členy nezaručuje, že váš zoznam je aritmetickou postupnosťou. Musíte sa uistiť, že rozdiel je konzistentný pre celý zoznam [3]
. Skontrolujte rozdiel odčítaním dvoch rôznych po sebe idúcich výrazov v zozname. Ak je výsledok konzistentný pre jednu alebo dve ďalšie dvojice výrazov, potom máte pravdepodobne aritmetickú postupnosť.

  • Práca s tým istým príkladom,
    1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}

    … vyberte si druhý a tretí termín zo zoznamu. Odčítanie

    74{\displaystyle 7-4}

    , a zistíte, že rozdiel je stále 3. Na potvrdenie skontrolujte ešte jeden príklad a odčítajte

    1310{\displaystyle 13-10}

    , a zistíte, že rozdiel je zhodne 3. Môžete si byť celkom istí, že pracujete s aritmetickou postupnosťou.

  • Je možné, že zoznam čísel sa na základe prvých niekoľkých členov javí ako aritmetická postupnosť, ale potom sa to nepodarí. Uvažujte napríklad o zozname
    1,2,3,6,9{\displayyle 1,2,3,6,9}

    … Rozdiel medzi prvým a druhým výrazom je 1 a rozdiel medzi druhým a tretím výrazom je tiež 1. Rozdiel medzi tretím a štvrtým členom je však 3. Pretože rozdiel nie je spoločný pre celý zoznam, potom to nie je aritmetická postupnosť.


Pridajte spoločný rozdiel k poslednému danému výrazu. Nájsť ďalší člen aritmetickej postupnosti po tom, čo poznáte spoločný rozdiel, je jednoduché. Jednoducho pridajte spoločný rozdiel k poslednému členovi zoznamu a dostanete ďalšie číslo.

  • Napríklad v príklade
    1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}

    …, aby ste našli ďalšie číslo v zozname, pripočítajte k poslednému danému členu spoločný rozdiel 3. Sčítanie

    13+3{\displaystyle 13+3}

    výsledkom je 16, čo je ďalší člen. Môžete pokračovať v pridávaní 3, aby bol váš zoznam tak dlhý, ako chcete. Zoznam by bol napríklad takýto

    1,4,7,10,13,16,19,22,25{\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}

    … Môžete to robiť tak dlho, ako chcete.

Metóda 2 zo 4:Hľadanie chýbajúceho vnútorného výrazu


Overte si, že začínate s aritmetickou postupnosťou. V niektorých prípadoch môžete mať zoznam čísel s chýbajúcim výrazom uprostred. Začnite ako predtým kontrolou, či je váš zoznam aritmetickou postupnosťou. Vyberte ľubovoľné dva po sebe idúce členy a nájdite ich rozdiel. Potom to porovnajte s ďalšími dvoma po sebe nasledujúcimi výrazmi v zozname. Ak sú rozdiely rovnaké, môžete predpokladať, že pracujete s aritmetickou postupnosťou, a pokračovať.

  • Predpokladajme napríklad, že máte zoznam
    0,4{\displaystyle 0,4}

    ,___,

    12,16,20{\displaystyle 12,16,20}

    … Začnite odčítaním

    40{\displaystyle 4-0}

    nájsť rozdiel 4. Overte si to na základe dvoch ďalších po sebe idúcich výrazov, ako napr

    1612{\displaystyle 16-12}

    . Rozdiel je opäť 4. Môžete pokračovať.


Pridajte spoločný rozdiel k výrazu pred medzerou. Je to podobné ako pridanie člena na koniec postupnosti. Nájdite výraz, ktorý bezprostredne predchádza medzeru vo vašej postupnosti. Toto je „posledné“ číslo, ktoré poznáte. Pridajte k tomuto výrazu svoj spoločný rozdiel, aby ste našli číslo, ktoré by malo vyplniť priestor.[4]

  • V našom pracovnom príklade,
    0,4{\displaystyle 0,4}

    ,____,

    12,16,20{\displaystyle 12,16,20}

    …, člen predchádzajúci medzere je 4 a náš spoločný rozdiel pre tento zoznam je tiež 4. Takže pridajte

    4+4{\displaystyle 4+4}

    aby ste dostali 8, čo by malo byť číslo na prázdnom mieste.


Odpočítajte spoločný rozdiel od výrazu, ktorý nasleduje za medzerou. Ak chcete mať istotu, že máte správnu odpoveď, skontrolujte ju z opačného smeru. Aritmetická postupnosť by mala byť konzistentná v oboch smeroch. Ak by ste postupovali zľava doprava a pripočítali 4, potom by ste postupovali opačným smerom, sprava doľava, urobili by ste opačný postup a odčítali by ste 4.

  • V pracovnom príklade,
    0,4{\displaystyle 0,4}

    ,___,

    12,16,20{\displaystyle 12,16,20}

    …, člen bezprostredne nasledujúci za medzerou je 12. Od tohto výrazu odpočítajte spoločný rozdiel 4 a zistíte

    124=8{\displaystyle 12-4=8}

    . Výsledok 8 by mal vyplniť prázdne miesto.


Porovnajte svoje výsledky. Dva výsledky, ktoré dostanete pri sčítaní zdola alebo pri odčítaní zhora, by sa mali zhodovať. Ak áno, potom ste našli hodnotu chýbajúceho člena. Ak to tak nie je, musíte si svoju prácu skontrolovať. Nemusíte mať pravú aritmetickú postupnosť.

  • V pracovnom príklade sú dva výsledky
    4+4{\displaystyle 4+4}

    a

    124{\displaystyle 12-4}

    obidva dali riešenie 8. Chýbajúci člen v tejto aritmetickej postupnosti je teda 8. Úplná postupnosť je

    0,4,8,12,16,20{\displaystyle 0,4,8,12,16,20}

Metóda 3 zo 4:Hľadanie N-tého člena aritmetickej postupnosti


Určite prvý člen postupnosti. Nie každá postupnosť sa začína číslami 0 alebo 1. Pozrite sa na zoznam čísel, ktoré máte, a nájdite prvý člen. Toto je váš východiskový bod, ktorý môžete označiť pomocou premenných ako a(1).

  • Pri práci s aritmetickými postupnosťami je bežné používať premennú a(1) na označenie prvého člena postupnosti. Samozrejme, môžete si zvoliť ľubovoľnú premennú a výsledky by mali byť rovnaké.
  • Napríklad, ak je daná postupnosť
    3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}

    …, prvý člen je

    3{\\displaystyle 3}

    , ktorý možno algebricky označiť ako a(1).


Definujte svoj spoločný rozdiel ako d. Nájdite spoločný rozdiel pre postupnosť ako predtým. V tomto pracovnom príklade je spoločný rozdiel

83{\displaystyle 8-3}

, čo je 5. Kontrola s ostatnými členmi postupnosti poskytuje rovnaký výsledok. Všimneme si tento spoločný rozdiel s algebraickou premennou d.[5]


Použite explicitný vzorec. Explicitný vzorec je algebraická rovnica, ktorú môžete použiť na nájdenie ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti bez toho, aby ste museli vypísať celý zoznam. Explicitný vzorec pre algebraickú postupnosť je

a(n)=a(1)+(n1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}

.

  • Výraz a(n) možno čítať ako „n-tý člen a“, kde n predstavuje číslo v zozname, ktoré chcete nájsť, a a(n) je skutočná hodnota tohto čísla. Napríklad, ak máte nájsť 100. položku v aritmetickej postupnosti, potom n bude 100. Všimnite si, že n je v tomto príklade 100, ale a(n) bude hodnota 100. člena, nie samotné číslo 100.


Doplňte informácie na vyriešenie problému. Pomocou explicitného vzorca pre vašu postupnosť doplňte informácie, ktoré poznáte, aby ste našli člen, ktorý potrebujete.

  • Napríklad v pracovnom príklade
    3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}

    …, vieme, že a(1) je prvý člen 3 a spoločný rozdiel d je 5. Predpokladajme, že máte nájsť stý člen tejto postupnosti. Potom n=100 a (n-1)=99. Úplný explicitný vzorec s doplnenými údajmi je potom

    a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}

    . Zjednoduší sa to na 498, čo je 100. člen tejto postupnosti.

Metóda 4 zo 4:Použitie explicitného vzorca na zistenie ďalších informácií


Preusporiadajte explicitný vzorec na riešenie pre ostatné premenné. Pomocou explicitného vzorca[6]
a základnej algebry môžete zistiť niekoľko informácií o aritmetickej postupnosti. V pôvodnom tvare,

a(n)=a(1)+(n1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}

, explicitný vzorec je určený na riešenie an a dostanete n-ty člen postupnosti. Tento vzorec však môžete algebraicky upraviť a vyriešiť pre ktorúkoľvek z premenných.

  • Predpokladajme napríklad, že máte koniec zoznamu čísel, ale potrebujete vedieť, aký bol začiatok postupnosti. Vzorec môžete preusporiadať tak, aby ste dostali
    a(1)=a(n)(n1)d{\displaystyle a(1)=a(n)-(n-1)d}
  • Ak poznáte počiatočný bod aritmetickej postupnosti a jej koncový bod, ale potrebujete vedieť, koľko členov sa v zozname nachádza, môžete zmeniť explicitný vzorec a vyriešiť n. To by bolo
    n=a(n)a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}

    .

  • Ak si potrebujete zopakovať základné pravidlá algebry na vytvorenie tohto výsledku, pozrite sa na stránku Naučte sa algebru alebo Zjednodušte algebraické výrazy.


Nájdite prvý člen postupnosti. Možno viete, že 50. člen aritmetickej postupnosti je 300, a viete, že členy sa zväčšili o 7 („spoločný rozdiel“), ale chcete zistiť, aký bol prvý člen postupnosti. Na nájdenie odpovede použite upravený explicitný vzorec, ktorý rieši a1.

  • Použite rovnicu
    a(1)=(n1)da(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}

    , a doplňte informácie, ktoré viete. Keďže viete, že 50. člen je 300, potom n=50, n-1=49 a a(n)=300. Taktiež je dané, že spoločný rozdiel d je 7. Vzorec sa teda stáva

    a(1)=(49)(7)300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}

    . To vychádza na

    343300=43{\displaystyle 343-300=43}

    . Postupnosť, ktorú ste začali pri čísle 43, a počítajte nahor po 7. Preto to vyzerá ako 43,50,57,64,71,78…293,300.


  • Zistiť dĺžku postupnosti. Predpokladajme, že viete všetko o začiatku a konci aritmetickej postupnosti, ale potrebujete zistiť, aká je dlhá. Použite upravený vzorec

    n=a(n)a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}

    .

    • Predpokladajme, že viete, že daná aritmetická postupnosť sa začína pri 100 a zvyšuje sa o 13. Tiež ste sa dozvedeli, že posledný termín je 2 856. Ak chcete zistiť dĺžku postupnosti, použite výrazy a1=100, d=13 a a(n)=2856. Dosadením týchto výrazov do vzorca dostanete
      n=285610013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}

      . Ak to vypočítate, dostanete

      n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1}

      , čo sa rovná 212+1, čo je 213. V tejto postupnosti je 213 členov.

    • Táto vzorová postupnosť by vyzerala takto: 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.
  • Odkazy