4 spôsoby, ako rozložiť vektor na zložky

Vektor je grafické znázornenie nejakej fyzikálnej sily. Môže predstavovať pohyb, napríklad lietadlo letiace severovýchodným smerom rýchlosťou 400 mph (640 km/h). Môže tiež predstavovať silu, napríklad loptičku, ktorá sa kotúľa zo stola a padá šikmo nadol v dôsledku gravitačnej sily a jej počiatočnej rýchlosti mimo stola. Často je užitočné vedieť vypočítať zložky akéhokoľvek vektora. To znamená, aká veľká sila (alebo rýchlosť, alebo čokoľvek iné, čo váš vektor meria) pôsobí v horizontálnom smere a aká veľká sila pôsobí vo vertikálnom smere. Môžete to urobiť graficky pomocou jednoduchej geometrie. Na presnejšie výpočty môžete použiť trigonometriu.

Metóda 1 zo 4:Identifikácia zložiek pomocou grafov


Vyberte vhodnú mierku. Ak chcete vykresliť vektor a jeho zložky, musíte sa rozhodnúť pre mierku grafu. Musíte si vybrať dostatočne veľkú mierku, aby sa s ňou dalo pohodlne a presne pracovať, ale dostatočne malú, aby sa váš vektor dal nakresliť v mierke.[1]

  • Predpokladajme napríklad, že začínate s vektorom, ktorý predstavuje rýchlosť 200 mph (320 km/h) v severovýchodnom smere. Ak používate grafický papier so 4 štvorčekmi na palec, môžete sa rozhodnúť, že každý štvorček bude predstavovať 20 míľ za hodinu (32.2 km/h). To predstavuje mierku 1 palec (2.5 cm) = 80 mph.
  • Umiestnenie vektora vzhľadom na počiatok je irelevantné, takže nie je potrebné kresliť os x a os y. Meriate len samotný vektor, nie jeho umiestnenie v dvojrozmernom alebo trojrozmernom priestore. Grafický papier je len merací nástroj, takže na mieste nezáleží.


Nakreslite vektor v mierke. Je dôležité, aby ste vektor načrtli čo najpresnejšie. Na výkrese musíte znázorniť správny smer aj dĺžku vektora.[2]

  • Používajte presné pravítko. Ak ste si napríklad zvolili mierku jedného štvorca na grafickom papieri, ktorý predstavuje rýchlosť 20 mph (32.2 km/h) a každý štvorec je 1⁄4 palec (0.6 cm), potom vektor rýchlosti 200 mph (320 km/h) bude úsečka, ktorá má dĺžku 10 štvorcov alebo 2 1/2 palca.
  • Ak je to potrebné, použite uhlomer, aby ste ukázali uhol alebo smer vektora. Ak napríklad vektor ukazuje pohyb v severovýchodnom smere, nakreslite čiaru pod uhlom 45 stupňov od horizontály.
  • Vektor môže označovať mnoho rôznych druhov meraní smeru. Ak diskutujete o cestovaní, môže znamenať smer na mape. Ak chcete znázorniť dráhu hodeného alebo zasiahnutého predmetu, uhol vektora môže znamenať uhol pohybu od zeme. V jadrovej fyzike môže vektor označovať smer elektrónu.


Nakreslite pravouhlý trojuholník s vektorom ako preponou. Pomocou pravítka začnite na chvoste vektora a nakreslite vodorovnú čiaru takú širokú, aby sa zhodovala s hlavou vektora. Označte hrot šípky na konci tejto čiary, aby ste naznačili, že ide tiež o zložkový vektor. Potom nakreslite zvislú čiaru z tohto bodu do hlavy pôvodného vektora. V tomto bode vyznačte aj hrot šípky.[3]

  • Mali by ste vytvoriť pravouhlý trojuholník, ktorý pozostáva z 3 vektorov. Pôvodný vektor je prepona pravouhlého trojuholníka. Základňa pravouhlého trojuholníka je vodorovný vektor a výška pravouhlého trojuholníka je zvislý vektor.
  • Existujú 2 výnimky, keď nemôžete zostrojiť pravouhlý trojuholník. K tomu dôjde vtedy, keď je pôvodný vektor presne vodorovný alebo zvislý. Pre horizontálny vektor je vertikálna zložka nulová a pre vertikálny vektor je horizontálna zložka nulová.


Označte dva zložkové vektory. V závislosti od toho, čo predstavuje váš pôvodný vektor, by ste mali označiť dva zložkové vektory, ktoré ste práve nakreslili. Napríklad pri použití vektora, ktorý predstavuje cestu severovýchodným smerom, vodorovný vektor predstavuje „východ“ a zvislý vektor predstavuje „sever.“[4]

  • Ďalšie ukážky zložiek môžu byť „hore/dole“ alebo „vľavo/vpravo.“


Zmerajte zložkové vektory. Veľkosti vašich 2 zložkových vektorov môžete určiť buď len pomocou grafického papiera, alebo pomocou pravítka. Ak použijete pravítko, zmerajte dĺžku každej zložky vektora a prepočítajte ju pomocou zvolenej mierky. Napríklad vodorovná čiara, ktorá je 1 1⁄4 palcov (3.2 cm), pričom by ste použili mierku 1 palec (2.5 cm) = 80 mph., by predstavoval východnú zložku 100 mph (160 km/h).[5]

  • Ak sa rozhodnete spoliehať na grafický papier namiesto pravítka, možno budete musieť trochu odhadnúť. Ak vaša priamka pretína 3 plné štvorce na grafickom papieri a spadá do stredu štvrtého štvorca, museli by ste odhadnúť podiel tohto posledného štvorca a vynásobiť ho svojou mierkou. Napríklad ak 1 štvorec = 20 mph (32.2 km/h) a odhadnete, že zložkový vektor má veľkosť 3 1/2 štvorca, potom tento vektor predstavuje rýchlosť 70 km/h.
  • Zopakujte meranie pre horizontálnu aj vertikálnu zložku vektora a výsledky označte.

Metóda 2 zo 4:Výpočet zložiek pomocou trigonometrie


Zostrojte hrubý náčrt pôvodného vektora. Keďže sa spoliehate na matematické výpočty, váš graf nemusí byť tak úhľadne nakreslený. Nemusíte určovať žiadnu stupnicu merania. Stačí načrtnúť lúč vo všeobecnom smere vášho vektora. Označte nakreslený vektor jeho veľkosťou a uhlom, ktorý zviera s vodorovnou rovinou.[6]

  • Uvažujte napríklad o rakete, ktorá je vystrelená smerom nahor pod uhlom 60 stupňov rýchlosťou 1 500 metrov za sekundu. Nakreslili by ste lúč, ktorý smeruje šikmo nahor. Označte jej dĺžku „1500 m/s“ a základný uhol „60°“.“
  • Na uvedenom grafe je znázornený vektor sily 5 newtonov pod uhlom 37 stupňov od vodorovnej roviny.


Nakreslite a označte zložkové vektory. Nakreslite vodorovný lúč začínajúci v základni vášho pôvodného vektora a smerujúci rovnakým smerom (doľava alebo doprava) ako pôvodný vektor. Predstavuje horizontálnu zložku pôvodného vektora. Nakreslite zvislý lúč, ktorý spája hlavu vášho vodorovného vektora s hlavou vášho pôvodného uhlového vektora. Toto predstavuje vertikálnu zložku pôvodného vektora.[7]

  • Horizontálna a vertikálna zložka vektora predstavujú teoretický, matematický spôsob rozdelenia sily na 2 časti. Predstavte si detskú hračku Etch-a-Sketch s oddelenými gombíkmi na kreslenie „vertikálne“ a „horizontálne“. Ak by ste nakreslili čiaru len pomocou gombíka „Vertikálne“ a potom by nasledovala čiara len pomocou gombíka „Horizontálne“, skončili by ste na rovnakom mieste, ako keby ste otáčali oboma gombíkmi spolu presne rovnakou rýchlosťou. Toto znázorňuje, ako môže na objekt pôsobiť súčasne horizontálna a vertikálna sila.


Na výpočet vertikálnej zložky použite funkciu sínus. Keďže zložky vektora vytvárajú pravouhlý trojuholník, môžete použiť trigonometrické výpočty na získanie presných mier zložiek. Použite rovnicu:[8]

  • sinθ=vertikálneHypotéza{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{vertikálne}}{\text{hypotenuse}}}}
  • V prípade príkladu s raketou môžete vertikálnu zložku vypočítať nahradením hodnôt, ktoré poznáte, a následným zjednodušením takto:
    • sinθ=vertikálnehypotenuse{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{vertikálne}}{\text{hypotenuse}}}}
    • sin(60)=vertikálne1500{\displaystyle \sin(60)={\frac {\text{vertikálna}}{1500}}}
    • 1500sin(60)=vertikálne{\displaystyle 1500\sin(60)={\text{vertical}}}
    • 15000.866=vertikálne{\displaystyle 1500*0.866={\text{vertical}}}
    • 1,299{\displaystyle 1,299}
  • Výsledok označte príslušnými jednotkami. V tomto prípade vertikálna zložka predstavuje rýchlosť 1 299 metrov za sekundu.
  • Uvedený diagram ukazuje alternatívny príklad výpočtu zložiek sily 5 newtonov pod uhlom 37 stupňov. Pomocou funkcie sínus sa vypočíta zvislá sila 3 newtony.


Na výpočet horizontálnej zložky použite funkciu kosínus. Rovnakým spôsobom, ako ste použili sínus na výpočet vertikálnej zložky, môžete použiť kosínus na zistenie veľkosti horizontálnej zložky. Použite rovnicu:[9]

  • cosθ=horizontálnehypotenuse{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{horizontálne}}{\text{hypotenuse}}}}
  • Použite údaje z príkladu strely na zistenie jej horizontálnej zložky takto:
    • cosθ=horizontálnehypotenuse{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{horizontálny}}{\text{hypotenuse}}}}
    • cos(60)=horizontálne1500{\displaystyle \cos(60)={\frac {\text{horizontal}}{1500}}}
    • 1500cos(60)=horizontálna{\displaystyle 1500\cos(60)={\text{horizontal}}}
    • 15000.5=horizontálne{\displaystyle 1500*0.5={\text{horizontal}}}
    • 750{\displaystyle 750}
  • Výsledok označte príslušnými jednotkami. V tomto prípade predstavuje horizontálna zložka rýchlosť dopredu (alebo doľava, doprava, dozadu) 750 metrov za sekundu.
  • Uvedený diagram zobrazuje alternatívny príklad výpočtu zložiek sily 5 newtonov pod uhlom 37 stupňov. Pomocou funkcie kosínus sa vypočíta horizontálna sila 4 newtony.

Metóda 3 zo 4:Použitie vektorových zložiek na sčítanie vektorov


Pochopte, čo znamená „sčítanie“ vektorov. Sčítanie je vo všeobecnosti pomerne jednoduchý pojem, ale pri práci s vektormi nadobúda osobitný význam. Jeden vektor predstavuje pohyb, silu alebo iný fyzikálny prvok pôsobiaci na objekt. Ak na objekt pôsobia súčasne dve alebo viac síl, môžete ich „sčítať“ a zistiť výslednú silu pôsobiacu na objekt.

  • Predstavte si napríklad golfovú loptičku, ktorá je odpálená do vzduchu. Jedna sila pôsobiaca na loptičku je sila počiatočného úderu a pozostáva z uhla a veľkosti. Ďalšou silou môže byť vietor, ktorý má svoj vlastný uhol a veľkosť. Sčítaním týchto dvoch síl môžeme opísať výslednú dráhu loptičky.


Rozdeľte každý vektor na jeho zložky. Predtým, ako budete môcť vektory sčítať, musíte určiť zložky každého z nich. Pomocou niektorého z postupov opísaných v tomto článku nájdite horizontálnu a vertikálnu zložku každej sily.

  • Napríklad predpokladajme, že golfová loptička je odpálená pod uhlom 30 stupňov smerom nahor rýchlosťou 130 mph (210 km/h). Pomocou trigonometrie sú teda 2 zložky vektorov:
    • Vertikálna=130sin(30)=65mph{\displaystyle {\text{Vertical}}=130\sin(30)=65{\text{mph}}}
    • Horizontálne=130cos(30)=112.6mph{\displaystyle {\text{Horizontal}}=130\cos(30)=112.6{\text{mph}}
  • Potom uvažujme vektor, ktorý predstavuje silu vetra. Predpokladajme, že vietor fúka na loptu smerom nadol pod uhlom 10 stupňov rýchlosťou 10 míľ za hodinu (16.1 km/h). (Pre jednoduchosť výpočtu ignorujeme ľavé a pravé sily). Dve zložky vetra sa dajú vypočítať podobne:
    • Vertikálne=10sin(10)=1.74mph{\displaystyle {\text{Vertical}}=10\sin(-10)=-1.74{\text{mph}}
    • Horizontálne=10cos(10)=9.85mph{\displaystyle {\text{Horizontal}}=10\cos(-10)=9.85{\text{mph}}
    • Všimnite si, že sme použili uhol -10 stupňov, pretože vietor fúka smerom nadol a pôsobí proti sile nárazu.


Súčet zložiek. Keďže zložkové vektory sú vždy merané pod pravým uhlom, môžete ich priamo sčítať. Dávajte pozor na porovnanie horizontálnej zložky 1 vektora s horizontálnou zložkou druhého vektora a to isté platí pre vertikálne zložky.

  • Pre túto ukážku je výsledný vertikálny vektor súčtom oboch zložiek:
    • Vertikálne=65+(1.74)=63.26{\displaystyle {\text{Vertical}}=65+(-1.74)=63.26}
    • Horizontálne=112.6+9.85=122.45{\displaystyle {\text{Horizontal}}=112.6+9.85=122.45}
  • Interpretujte význam týchto výsledkov. Čistá sila pôsobiaca na golfovú loptičku v dôsledku úderu aj vetra je ekvivalentná jednej sile so zložkami 63.26 mph (101.81 km/h) vertikálne a 122.45 míľ za hodinu horizontálne.


Použite Pytagorovu vetu na nájdenie veľkosti výsledného vektora. Nakoniec by ste chceli zistiť čistý účinok golfového švihu aj vetra, ktoré spoločne pôsobia na loptičku. Ak poznáte tieto dve zložky, môžete ich spojiť pomocou Pytagorovej vety a nájsť veľkosť výsledného vektora.

  • Pripomeňme si, že zložkové vektory predstavujú ramená pravouhlého trojuholníka. Výsledný vektor je prepona tohto pravouhlého trojuholníka. Použitie Pytagorovej vety,
    c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

    , môžete ju vypočítať takto:

    • Výsledná2=63.262+122.452{\displaystyle {\text{Resultant}}^{2}=63.26^{2}+122.45^{2}}
    • Výsledný2=18,995.83{\displaystyle {\text{Resultant}}^{2}=18,995.83}
    • Výsledná hodnota=18,995.83{\displaystyle {\text{Výsledok}}={\sqrt {18,995.83}}}
    • Výsledná hodnota=137.83{\displaystyle {\text{Resultant}}=137.83}
  • Výsledný vektor teda predstavuje jedinú silu pôsobiacu na guľôčku s veľkosťou 137.83 mph (221.82 km/h). Všimnite si, že táto sila je o niečo väčšia ako sila počiatočného úderu, pretože vietor tlačí loptičku dopredu a zároveň ju tlačí nadol.


Pomocou trigonometrie nájdite uhol výsledného vektora. Znalosť sily výsledného vektora je polovicou riešenia. Druhou polovicou je nájsť čistý uhol výsledného vektora. V tomto príklade, keďže golfový švih pôsobí silou smerom nahor a vietor pôsobí silou smerom nadol, hoci menšou, musíte nájsť výsledný uhol.

  • Nakreslite pravouhlý trojuholník a označte jeho časti. Vodorovná základňa trojuholníka predstavuje zložku vektora vpred 122.45. Zvislá časť predstavuje zložku vektora smerom nahor 63.26. Hypotenzia predstavuje výsledný vektor s veľkosťou 137.83.
  • Na nájdenie uhla môžete zvoliť buď funkciu sínus so zvislou zložkou, alebo funkciu kosínus s vodorovnou zložkou. Výsledok bude rovnaký.
    • sinθ=63.26137.83{\displaystyle \sin \theta ={\frac {63.26}{137.83}}}
    • sinθ=0.459{\displaystyle \sin \theta =0.459}
    • θ=arcsin(0.459){\displaystyle \theta =\arcsin(0.459)}
    • θ=27.32{\displaystyle \theta =27.32}
  • Výsledný vektor teda predstavuje jedinú silu pôsobiacu na loptu pod uhlom 27.32 stupňov. Má to zmysel, pretože je o niečo nižší ako uhol hojdačky, 30 stupňov, kvôli sile vetra smerom nadol. Golfový švih je však v tomto príklade oveľa silnejšia sila ako vietor, takže uhol je stále blízky 30.


Zhrňte svoj výsledný vektor. Ak chcete oznámiť výsledný vektor, uveďte jeho uhol aj veľkosť. V príklade s golfovou loptičkou má výsledný vektor veľkosť 137.83 mph (221.82 km/h) pod uhlom 27.32 stupňov nad vodorovnou rovinou.

Metóda 4 zo 4:Prehľad vektorov a ich zložiek


Pripomeňte si definíciu vektora. Vektor je matematický nástroj, ktorý sa používa vo fyzike na znázornenie spôsobu, akým sily pôsobia na objekt. Hovorí sa, že vektor predstavuje dva prvky sily, jej smer a veľkosť.[10]

  • Pohybujúci sa objekt môžete opísať napríklad tak, že uvediete smer jeho pohybu a rýchlosť. Dá sa povedať, že lietadlo sa pohybuje severozápadným smerom rýchlosťou 500 mph (800 km/h). Severozápad je smer a 500 mph (800 km/h) je veľkosť.
  • Na psa držaného na vodítku pôsobí vektorová sila. Vodítko, ktoré drží majiteľ, je ťahané šikmo nahor s určitou mierou sily. Uhol uhlopriečky je smer vektora a sila je veľkosť.


Pochopte terminológiu grafického znázorňovania vektorov. Pri kreslení vektora, či už pomocou presne nakresleného znázornenia na grafickom papieri, alebo len hrubého náčrtu, sa používajú určité geometrické pojmy.[11]

  • Vektor sa graficky znázorňuje pomocou
    ray{\displaystyle {\text{ray}}

    . Lúč je v geometrii úsečka, ktorá sa začína v jednom bode a teoreticky pokračuje nekonečne dlhým smerom. Lúč sa nakreslí tak, že sa označí bod, potom úsečka príslušnej dĺžky a na opačnom konci úsečky sa označí hrot šípky.

  • chvost{\displaystyle {\text{tail}}

    vektora je jeho východiskový bod. Z geometrického hľadiska je to koncový bod lúča.

  • hlava{\displaystyle {\text{head}}

    vektora je poloha hrotu šípky. Rozdiel medzi geometrickým lúčom a vektorom spočíva v tom, že hrot lúča predstavuje teoretickú cestu nekonečnej vzdialenosti v danom smere. Vektor však používa hrot šípky na označenie smeru, ale dĺžka vektora končí na konci úsečky, aby sa zmerala jeho veľkosť. Inými slovami, ak načrtnete lúč v geometrii, dĺžka je irelevantná. Ak však kreslíte vektor, dĺžka je veľmi dôležitá.


  • Pripomeňte si niektoré základné trigonometrické úkony. Súčiastky vektora sa opierajú o trigonometriu pravouhlého trojuholníka. Z ľubovoľnej uhlopriečky sa môže stať prepona pravouhlého trojuholníka tak, že z jedného konca načrtneme vodorovnú úsečku a z druhého konca zvislú úsečku. Keď sa tieto dve priamky stretnú, definujete pravouhlý trojuholník.[12]

    • Referenčný uhol je uhol, ktorý vznikne meraním od vodorovnej základne pravouhlého trojuholníka k jeho prepone.
    • Sínus referenčného uhla možno určiť vydelením dĺžky protiľahlého ramena dĺžkou hypotenzie.
    • Kosínus referenčného uhla možno určiť vydelením dĺžky základne trojuholníka (alebo susednej odvesny) dĺžkou prepony.
  • Odkazy