4 spôsoby, ako určiť, či sú dve premenné priamo úmerné

Keď sú dve premenné priamo úmerné, menia sa rovnakou rýchlosťou. Rýchlosť je znázornená konštantou

k{\displaystyle k}

v rovnici

y=kx{\displaystyle y=kx}

. Priamo úmerné veličiny sú graficky vyznačené priamkou prechádzajúcou počiatkom súradnicovej roviny. Keď pochopíte tieto základné pojmy, je ľahké určiť priamo úmerné veličiny pomocou rovnice ich priamky alebo ich hodnôt.

Metóda 1 zo 4:Prepis rovnice priamky


Pochopte priamu úmeru. Dve premenné sú v priamej úmernosti, ak sa každá premenná mení rovnakou rýchlosťou.[1]
Inými slovami, ak

x{\displaystyle x}

sa mení o určitý faktor alebo konštantu (

k{\displaystyle k}

), potom

y{\displaystyle y}

sa mení o tú istú konštantu (

k{\displaystyle k}

).


Zapíšte rovnicu priamky. Rovnica bude mať dve premenné a konštantu. Ak nemáte danú rovnicu, nemôžete použiť túto metódu.

  • Napríklad môžete dostať rovnicu
    yx=32{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {3}{2}}}

    .


Prepíšte rovnicu v tvare priamej úmernosti alebo variácie. Rovnica je

y=kx{\displaystyle y=kx}

, kde

y{\displaystyle y}

sa rovná y-ovej súradnici bodu na priamke,

x{\displaystyle x}

sa rovná x-ovej súradnici toho istého bodu a

k{\displaystyle k}

je konštanta alebo sklon priamky. Použite algebru na zmenu usporiadania rovnice v tvare

y=kx{\displaystyle y=kx}

. Ak nemôžete rovnicu prepísať v tomto tvare, premenné nie sú priamo úmerné. Ak to dokážete, dokazuje to, že sú priamo úmerné.[2]

  • Napríklad, ak vynásobíte obe strany rovnice
    yx=32{\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {3}{2}}}

    podľa

    x{\displaystyle x}

    , sa rovnica stáva

    y=32x{\displaystyle y={\frac {3}{2}}x}

    , ktorá je v tvare

    y=kx{\displaystyle y=kx}

    , s

    32{\displaystyle {\frac {3}{2}}}

    je konštantou.

Metóda 2 zo 4: Použitie množiny bodov


Určite x-ové súradnice prvých dvoch bodov. Mali by ste mať k dispozícii zoznam súradníc alebo graf, z ktorého môžete určiť súradnice bodov. Ak nemáte súradnice bodov na priamke, nemôžete túto metódu použiť.

  • Môžete napríklad dostať množinu bodov
    xy214263{\displaystyle {\begin{matrix}x&y\\\\hline \\2&1\\4&2\\6&3\end{matrix}}
  • Súradnica x prvého bodu je 2 a súradnica x druhého bodu je 4.


Určte koeficient, ktorým sa

x{\displaystyle x}

premenná narastie. Na tento účel určte, ktorým faktorom alebo konštantou sa vynásobí prvá súradnica x, aby sa získala druhá súradnica.

  • Ak je napríklad prvá x-ová súradnica 2 a druhá x-ová súradnica je 4, musíte určiť, čím vynásobíte 2, aby ste dostali 4:
    2k=4{\displaystyle 2k=4}

    2k2=42{\displaystyle {\frac {2k}{2}}={\frac {4}{2}}}

    k=2{\displaystyle k=2}

    Takže

    x{\displaystyle x}

    premenná rastie o konštantu 2.


Určte koeficient, ktorým sa

y{\displaystyle y}

premenná rastie. Použite tie isté dva body, ktoré ste použili na určenie rastu

x{\displaystyle x}

. Pomocou algebry určte faktor, o ktorý sa tieto dve súradnice líšia.

  • Ak je napríklad prvá y-ová súradnica 1 a druhá y-ová súradnica je 2, musíte určiť, čím vynásobíte 1, aby ste dostali 2:
    1k=2{\displaystyle 1k=2}

    1k1=21{\displaystyle {\frac {1k}{1}}={\frac {2}{1}}}

    k=2{\displaystyle k=2}

    Takže premenná

    y{\displaystyle y}

    rastie o konštantu 2.


Porovnajte konštanty oboch premenných. Ak

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

sa mení rovnakou rýchlosťou alebo rovnakým faktorom, potom sú priamo úmerné.[3]

  • Keďže sa napríklad súradnice x zmenili o faktor 2 a zároveň sa zmenili aj súradnice y o faktor 2, sú tieto dve premenné priamo úmerné.

Metóda 3 zo 4:Použitie grafu


Všimnite si, či je priamka rovná. Ak sú dve premenné v pomere, priamka, ktorá ich reprezentuje, bude priama.[4]
To znamená, že sklon priamky je konštantný alebo sa riadi rovnicou

y=kx{\displaystyle y=kx}

.


Určte y-intercept. Intercept y je bod, v ktorom priamka pretína os y. Ak sú dve premenné priamo úmerné, ich priamka sa pri grafickom znázornení pretne cez počiatok. Počiatok je v bode

(0,0){\displaystyle (0,0)}

, takže y-priamka by mala byť

0{\displaystyle 0}

. Ak nie je, premenné nie sú priamo úmerné.[5]

  • Os y je zvislá os.


Nájdite súradnice dvoch bodov na priamke. Porovnajte súradnice navzájom a určte, či sa každá súradnica zmenila o rovnaký faktor.[6]
To znamená, určiť, či konštanta (

k{\displaystyle k}

) je rovnaká pre obe

x{\displaystyle x}

a

y{\displaystyle y}

hodnoty.

  • Ak je napríklad prvý bod
    (1,3){\displaystyle (1,3)}

    , a druhý bod je

    (2,6){\displaystyle (2,6)}

    , súradnica x sa zmenila o faktor 2, pretože

    1(2)=2{\displaystyle 1(2)=2}

    . Súradnica y sa tiež zmenila o faktor 2, pretože

    3(2)=6{\displaystyle 3(2)=6}

    . Takto môžete potvrdiť, že priamka predstavuje dve premenné, ktoré sú priamo úmerné.

Metóda 4 zo 4:Dokončenie vzorových úloh


Pozrite sa na rovnicu. Určte, či sú tieto dve veličiny priamo úmerné:

xy=6{\displaystyle xy=6}

.

  • Nezabudnite, že ak sú premenné priamo úmerné, budú sa riadiť vzorom
    y=kx{\displaystyle y=kx}

    .

  • Použite algebru na prepísanie rovnice.
    • Izolujte
      y{\displaystyle y}

      premennej tak, že každú stranu vydelíte

      x{\displaystyle x}

      :

      xyx=6x{\displaystyle {\frac {xy}{x}}={\frac {6}{x}}}

      y=61x{\displaystyle y=6{\frac {1}{x}}}
  • Posúďte, či sa prepísaná rovnica riadi vzorom
    y=kx{\displaystyle y=kx}

    . V tomto prípade rovnica nie je, takže premenné nie sú priamo úmerné. V skutočnosti sú nepriamo úmerné.[7]


Uvažujme nasledujúcu množinu bodov. Sú premenné priamo úmerné?

xy1339927{\displaystyle {\begin{matrix}x&y\\\priamka \\1&3\\3&9\\9&27\end{matrix}}
  • Určte rast
    x{\displaystyle x}

    . Urobte to tak, že nájdete faktor, ktorým vynásobíte prvú súradnicu x, aby ste dosiahli druhú súradnicu:

    1k=3{\displaystyle 1k=3}

    1k1=31{\displaystyle {\frac {1k}{1}}={\frac {3}{1}}}

    k=3{\displaystyle k=3}

    Takže x-ová súradnica narastie o faktor 3.

  • Určte rast
    y{\displaystyle y}

    :

    3k=9{\displaystyle 3k=9}

    3k3=93{\displaystyle {\frac {3k}{3}}={\frac {9}{3}}}

    k=3{\displaystyle k=3}

    Takže y-ová súradnica narastie o faktor 3.

  • Porovnajte koeficient alebo konštantu dvoch premenných. Obe rastú o faktor 3. Preto sú premenné priamo úmerné.

  • Uvažujme graf priamky

    y=4x+3{\displaystyle y=4x+3}

    . Vyjadruje graf priamu úmeru medzi premennými?

    • Všimnite si, či je priamka priama. Keďže rovnica priamky je v tvare sklon-intercept, má konštantný sklon, čo znamená, že priamka je priama. Takže potenciálne sú premenné priamo úmerné.
    • Určte y-intercept. Ak sú premenné priamo úmerné, priamka bude prechádzať bodom
      (0,0){\displaystyle (0,0)}

      . y-priechodom tejto priamky je bod

      (0,3){\displaystyle (0,3)}

      . Premenné teda nie sú priamo úmerné.

  • Odkazy