4 spôsoby delenia štvorcovými odmocninami

Delenie odmocnín je v podstate zjednodušenie zlomku. Samozrejme, prítomnosť odmocnín tento proces trochu komplikuje, ale určité pravidlá nám umožňujú pracovať so zlomkami pomerne jednoduchým spôsobom. Kľúčovou vecou, ktorú si treba zapamätať, je, že koeficienty musíte deliť koeficientmi a rádikandy rádikandami. V menovateli tiež nikdy nemôže byť odmocnina.

Metóda 1 zo 4:Delenie rádicandov


Nastavte zlomok. Ak váš výraz ešte nie je nastavený ako zlomok, prepíšte ho takto. To uľahčuje dodržiavanie všetkých potrebných krokov pri delení druhou odmocninou. Nezabudnite, že zlomková čiara je zároveň deliacou čiarou.[1]

  • Napríklad, ak počítate
    144÷36{\displaystyle {\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}

    , prepíšte úlohu takto:

    14436{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}}

    .


Použitie jedného radikálneho znamienka. Ak má vaša úloha v čitateli a menovateli odmocninu, môžete oba rádikandy umiestniť pod jedno znamienko radikálu.[2]
(Radikál je číslo pod znamienkom radikálu alebo odmocniny.) Tým sa zjednoduší proces zjednodušovania.

  • Napríklad,
    14436{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}}

    možno prepísať ako

    14436{\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}}

    .


Rozdeľte radikandy. Rozdeľte čísla tak, ako by ste delili celé čísla. Uistite sa, že ste ich kvocient umiestnili pod nové znamienko radikálu.

  • Napríklad,
    14436=4{\displaystyle {\frac {144}{36}}=4}

    , takže

    14436=4{\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}}

    .


Zjednodušte, ak je to potrebné. Ak je radicand dokonalý štvorec alebo ak je jeden z jeho činiteľov dokonalý štvorec, musíte výraz zjednodušiť. Dokonalý štvorec je súčin celého čísla vynásobeného samým sebou.[3]
Napríklad 25 je dokonalý štvorec, pretože

5×5=25{\displaystyle 5\times 5=25}

.

  • Napríklad 4 je dokonalý štvorec, pretože
    2×2=4{\displaystyle 2\times 2=4}

    . Teda:

    4{\displaystyle {\sqrt {4}}}

    =2×2{\displaystyle ={\sqrt {2\times 2}}

    =2{\displaystyle =2}

    Takže,

    14436=4=2{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}={\sqrt {4}}=2}

    .

Metóda 2 zo 4:Faktorovanie radikánov


Vyjadrite úlohu ako zlomok. Pravdepodobne ste už videli výraz zapísaný týmto spôsobom. Ak nie, zmeňte ho. Riešenie úlohy ako zlomku uľahčuje sledovanie všetkých potrebných krokov, najmä pri delení odmocnín. Pripomeňme si, že zlomková čiara je zároveň deliacou čiarou.[4]

  • Ak napríklad počítate
    8÷36{\displaystyle {\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}

    , prepíšte problém takto:

    836{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}}

    .


Faktor každý polomer. Vydeľte číslo tak, ako by ste vydelili akékoľvek celé číslo. Ponechajte faktory pod znamienkami radikálov.[5]

  • Napríklad:
    836=2×2×26×6{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}}


Zjednodušte čitateľ a menovateľ zlomku. Ak chcete zjednodušiť odmocninu, vytiahnite všetky činitele, ktoré tvoria dokonalý štvorec. Dokonalý štvorec je výsledok násobenia celého čísla samým sebou.[6]
Faktor sa teraz stane koeficientom mimo odmocniny.

  • Napríklad:
    2×2×26×6{\displaystyle {\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}}

    226{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}}

    Takže,

    836=226{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}}


V prípade potreby racionalizujte menovateľa. Výraz spravidla nemôže mať v menovateli druhú odmocninu. Ak má váš zlomok v menovateli odmocninu, musíte ho racionalizovať. To znamená, že sa zruší odmocnina v menovateli. Ak to chcete urobiť, vynásobte čitateľ a menovateľ zlomku odmocninou, ktorú potrebujete zrušiť.[7]

  • Ak je napríklad váš výraz
    623{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}}

    , musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa

    3{\displaystyle {\sqrt {3}}}

    zrušiť odmocninu v menovateli:

    623×33{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}}

    =62×33×3{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}}

    =669{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}{\sqrt {9}}}}

    =663{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}}

    .


V prípade potreby zjednodušte ďalej. Niekedy vám zostanú koeficienty, ktoré sa dajú zjednodušiť alebo zredukovať. Zjednodušte celé čísla v čitateli a menovateli tak, ako by ste zjednodušili akýkoľvek zlomok.

  • Napríklad,
    26{\displaystyle {\frac {2}{6}}}

    sa redukuje na

    13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}

    , takže

    226{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}}

    sa redukuje na

    123{\displaystyle {\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}}

    , alebo jednoducho

    23{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}}

    .

Metóda 3 zo 4:Delenie štvorcových koreňov koeficientmi


Zjednodušte koeficienty. Sú to čísla mimo znamienka radikálu. Ak ich chcete zjednodušiť, vydeľte alebo znížte, pričom odmocniny zatiaľ ignorujte.

  • Ak napríklad počítate
    432616{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {32}}{6{\sqrt {16}}}}}

    , najprv by ste zjednodušili

    46{\displaystyle {\frac {4}{6}}}

    . Čitateľ aj menovateľ sa dajú deliť násobkom 2. Takže môžete redukovať:

    46=23{\displaystyle {\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}

    .


Zjednodušte odmocniny. Ak je čitateľ rovnomerne deliteľný menovateľom, jednoducho vydeľte rádikandy. Ak nie, zjednodušte každú druhú odmocninu ako každú druhú odmocninu.

  • Napríklad, keďže 32 je rovnomerne deliteľné 16, môžete vydeliť odmocniny:
    3216=2{\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}}

    .


Zjednodušený(é) koeficient(y) vynásobte zjednodušenou druhou odmocninou. Nezabudnite, že odmocnina nemôže byť v menovateli, preto pri násobení zlomku odmocninou umiestnite odmocninu do čitateľa.

  • Napríklad,
    23×2=223{\displaystyle {\frac {2}{3}}krát {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}}

    .


V prípade potreby zrušte druhú odmocninu v menovateli. Toto sa nazýva racionalizácia menovateľa. Výraz spravidla nemôže mať v menovateli druhú odmocninu. Ak chcete racionalizovať menovateľa, vynásobte čitateľa a menovateľa odmocninou, ktorú potrebujete zrušiť.[8]

  • Napríklad, ak je váš výraz
    4327{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}{2{\sqrt {7}}}}}

    , musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa

    7{\displaystyle {\sqrt {7}}}

    na zrušenie odmocniny v menovateli:

    437×77{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}}

    =43×77×7{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}}

    =42149{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}{\sqrt {49}}}}

    =4217{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}}

Metóda 4 zo 4:Delenie binómu so štvorcovým koreňom


Určite, že v menovateli máte binomický počet. V menovateli bude číslo v úlohe, ktorým delíte. Dvojčlen je dvojčlenný polynóm.[9]
Táto metóda sa vzťahuje len na delenie odmocnín, ktoré zahŕňa binomické číslo.

  • Ak napríklad počítate
    15+2{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}}

    , máte v menovateli binomický počet, pretože

    5+2{\displaystyle 5+{\sqrt {2}}

    je dvojčlenný polynóm.


Nájdite konjugát binómu. Konjugované dvojice sú dvojčleny, ktoré majú rovnaké členy, ale opačné operácie.[10]
Použitie konjugovanej dvojice vám umožní zrušiť odmocninu v menovateli.

  • Napríklad,
    5+2{\displaystyle 5+{\sqrt {2}}}

    a

    52{\displaystyle 5-{\sqrt {2}}}

    sú konjugované dvojice, pretože majú rovnaké výrazy, ale opačné operácie.


  • Vynásobte čitateľa a menovateľa konjugovaným menovateľom. Ak to urobíte, budete môcť zrušiť odmocninu, pretože súčin konjugovanej dvojice je rozdielom štvorcov jednotlivých členov v dvojčlene.[11]
    To znamená,

    (ab)(a+b)=a2b2{\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}

    .

    • Napríklad:
      15+2{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}}

      =1(52)(5+2)(52){\displaystyle ={\frac {1(5-{\sqrt {2}})}{(5+{\sqrt {2}})(5-{\sqrt {2}})}}}

      =52(52(2)2{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {2}}{(5^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}}

      =52252{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {2}}}{25-2}}}

      =5223{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {2}}}{23}}}

      Teda,

      15+2=5223{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}={\frac {5-{\sqrt {2}}}{23}}}

      .

  • Odkazy