4 spôsoby použitia zákonov sínusov a kosínusov

Keď vám chýbajú dĺžky strán alebo rozmery uhlov ľubovoľného trojuholníka, môžete použiť zákon sínusov alebo zákon kosínusov, ktorý vám pomôže nájsť to, čo hľadáte. Zákon sínusov je

asinA=bsinB=csinC{\displaystyle {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}}

. Zákon kosínusu je

c2=a2+b22abpretožeC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

. V každom vzorci

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

sú dĺžky strán trojuholníka. Uhol oproti každej strane má príslušnú veľkú premennú. V závislosti od toho, aké informácie viete o vašom trojuholníku, môžete použiť tieto dva zákony na riešenie chýbajúcich informácií.

Metóda 1 zo 4:Použitie sínusového zákona na nájdenie chýbajúcej dĺžky strany


Zhodnoťte, čo viete. Ak chcete použiť zákon sínusov na nájdenie chýbajúcej strany, musíte poznať aspoň dva uhly trojuholníka a dĺžku jednej strany.[1]

  • Napríklad môžete mať trojuholník s dvoma uhlami s rozmermi 39 a 52 stupňov a viete, že strana oproti uhlu 39 stupňov je dlhá 4 cm. Na nájdenie oboch chýbajúcich dĺžok strán môžete použiť zákon sínusov.


Určte a označte strany a protiľahlé uhly. Konvencia je taká, že dĺžky strán sú označené

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

. Uhol oproti každej strane je označený veľkým písmenom premennej tejto strany. Napríklad uhol protiľahlej strany

a{\displaystyle a}

je

A{\displaystyle A}

, uhol protiľahlej strany

b{\displaystyle b}

je

B{\displaystyle B}

, a uhol protiľahlý strane

c{\displaystyle c}

je

C{\displaystyle C}

.[2]

  • Napríklad vo vašom trojuholníku:
    a=4cm{\displaystyle a=4cm}

    ;

    A=39stupňov{\displaystyle A=39\;{\text{degrees}}}

    b=?{\displaystyle b=?}

    ;

    B=52stupňov{\displaystyle B=52\;{\text{degrees}}}

    c=?{\displaystyle c=?}

    ;

    C=?{\displaystyle C=?}


Nájdite chýbajúci uhol. Súčet všetkých uhlov v trojuholníku je 180 stupňov.[3]
Ak teda poznáte dva uhly trojuholníka, môžete nájsť tretí uhol tak, že od 180 odčítate oba uhly.

  • Napríklad, keďže
    A=39stupňov{\displaystyle A=39\;{\text{degrees}}}

    a

    B=52stupňov{\displaystyle B=52\;{\text{degrees}}}

    ,

    C=1803952=89stupňov{\displaystyle C=180-39-52=89\;{\text{degrees}}}

    .


Vytvorte vzorec pre zákon sínusov. Vzorec je

asinA=bsinB=csinC{\displaystyle {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}}

. Vzorec ukazuje, že pomer jednej strany trojuholníka k sínusu protiľahlého uhla sa rovná pomeru všetkých ostatných strán k ich protiľahlým uhlom.[4]


Dosadíme všetky známe hodnoty do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili dĺžky strán za premenné s malými písmenami a uhly za premenné s veľkými písmenami. Nezabudnite tiež, že protiľahlé strany a uhly by mali mať rovnaké písmeno.

  • Napríklad,
    4sin39=bsin52=csin89{\displaystyle {\frac {4}{\sin {39}}}={\frac {b}{\sin {52}}}={\frac {c}{\sin {89}}}}

    .


Pomocou kalkulačky nájdite sínusy uhlov. Môžete tiež použiť trigonometrickú tabuľku.[5]
Nahraďte sínusy do menovateľov pomerov.

  • Napríklad,
    sin39=0.6293{\displaystyle \sin {39}=0.6293}

    ,

    sin52=0.788{\displaystyle \sin {52}=0.788}

    , a

    sin89=0.9998{\displaystyle \sin {89}=0.9998}

    . Takže vaše pomery budú teraz vyzerať takto:

    40.6293=b0.788=c0.9998{\displaystyle {\frac {4}{0.6293}}={\frac {b}{0.788}}={\frac {c}{0.9998}}}

    .


Zjednodušte úplný pomer. Máte jeden úplný pomer s uhlom a stranou. Pre zjednodušenie vydeľte čitateľa menovateľom.

  • Napríklad,
    40.6293=6.3562{\displaystyle {\frac {4}{0.6293}}=6.3562}

    .


Nastavte neúplné pomery rovné úplnému pomeru. Ak chcete vyriešiť chýbajúcu premennú, vynásobte úplný pomer menovateľom niektorého z neúplných pomerov.

  • Napríklad:
    6.3562=b0.788{\displaystyle 6.3562={\frac {b}{0.788}}}

    (6.3562)(0.788)=(b0.788)(0.788){\displaystyle (6.3562)(0.788)=({\frac {b}{0.788}})(0.788)}

    5.0087=b{\displaystyle 5.0087=b}

    A

    6.3562=c0.9998{\displaystyle 6.3562={\frac {c}{0.9998}}}

    (6.3562)(0.9998)=(c0.9998)(0.9998){\displayystyle (6.3562)(0.9998)=({\frac {c}{0.9998}})(0.9998)}

    6.3549=c{\displaystyle 6.3549=c}

    Teda strana

    b{\displaystyle b}

    je dlhý približne 5 cm a strana

    c{\displaystyle c}

    je približne 6.35 cm dlhý.

Metóda 2 zo 4:Použitie sínusového zákona na nájdenie chýbajúceho uhla


Zhodnoťte, čo viete. Ak chcete použiť zákon sínusov na nájdenie chýbajúceho uhla, musíte poznať aspoň dve dĺžky strán a jeden uhol.[6]

  • Môžete mať napríklad trojuholník, ktorého jedna strana je dlhá 10 cm. Ďalšia strana je dlhá 8 cm a protiľahlý uhol je 50 stupňov. Musíte nájsť uhol oproti strane, ktorá je dlhá 10 cm.


Určte a označte strany a protiľahlé uhly. Konvencia je taká, že dĺžky strán sú označené

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

. Uhol oproti každej strane sa označuje veľkým písmenom premennej tejto strany. Napríklad uhol protiľahlej strany

a{\displaystyle a}

je

A{\displaystyle A}

, uhol protiľahlej strany

b{\displaystyle b}

je

B{\displaystyle B}

, a uhol protiľahlej strany

c{\displaystyle c}

je

C{\displaystyle C}

.[7]

  • Napríklad vo vašom trojuholníku:
    a=8cm{\displaystyle a=8cm}

    ;

    A=50stupňov{\displaystyle A=50\;{\text{degrees}}}

    b=10cm{\displaystyle b=10cm}

    ;

    B=?{\displaystyle B=?}

    c=?{\displaystyle c=?}

    ;

    C=?{\displaystyle C=?}
    • Keďže chcete nájsť uhol protiľahlý strane 10 cm, hľadáte uhol B.


Zostavte vzorec pre zákon sínusov. Vzorec je

asinA=bsinB=csinC{\displaystyle {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}}

. Zo vzorca vyplýva, že pomer jednej strany trojuholníka k sínusu protiľahlého uhla sa rovná pomeru všetkých ostatných strán k ich protiľahlým uhlom.[8]


Dosadíme všetky známe hodnoty do vzorca. Dbajte na správne dosadenie hodnôt tak, aby dĺžky strán boli v čitateľoch vzorca a ich protiľahlé uhly v príslušných menovateľoch.

  • Napríklad,
    8sin50=10sinB=csinC{\displaystyle {\frac {8}{\sin {50}}}={\frac {10}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}}

    .


Vytvorte rovnicu na nájdenie chýbajúceho uhla. Ak to chcete urobiť, nastavte úplný pomer rovný pomeru s uhlom, ktorý riešite. Vezmite recipročnú hodnotu každého pomeru tak, aby dĺžka strany bola v menovateli a sínus uhla v čitateli.[9]

  • Napríklad, keďže poznáte stranu
    a{\displaystyle a}

    a uhol

    A{\displaystyle A}

    , a riešime uhol

    B{\displaystyle B}

    , by ste stanovili pomer

    8sin50=10sinB{\displaystyle {\frac {8}{\sin {50}}}={\frac {10}{\sin {B}}}}

    . Ak vezmeme recipročné hodnoty, dostaneme

    sin508=sinB10{\displaystyle {\frac {\sin {50}}{8}}={\frac {\sin {B}}{10}}}

    .


Nájdite sínus známeho uhla. Použite na to kalkulačku alebo trigonometrickú tabuľku. Do rovnice dosadíme desatinné číslo.

  • Napríklad,
    sin50=0.766{\displaystyle \sin {50}=0.766}

    . Rovnica by teraz mala vyzerať takto:

    0.7668=sinB10{\displaystyle {\frac {0.766}{8}}={\frac {\sin {B}}{10}}}


Vyizolujte chýbajúci sínus a zjednodušte rovnicu. Ak to chcete urobiť, vynásobte každú stranu rovnice menovateľom neznámeho uhla a potom zjednodušte zvyšný pomer.

  • Napríklad:
    sin508=sinB10{\displaystyle {\frac {\sin {50}}{8}}={\frac {\sin {B}}{10}}}

    (0.7668)(10)=(sinB10)(10){\displaystyle ({\frac {0.766}{8}})(10)=({\frac {\sin {B}}{10}})(10)}

    0.766×108=sinB{\displaystyle {\frac {0.766\krát 10}{8}}=\sin {B}}

    7.668=sinB{\displaystyle {\frac {7.66}{8}}=\sin {B}}

    0.9575=sinB{\displaystyle 0.9575=\sin {B}}


Nájdite inverzný sínus. Inverzný sínus je znázornený symbolom

SIN1{\displaystyle SIN^{-1}}

tlačidlo na kalkulačke. Inverzný sínus vám poskytne meranie chýbajúceho uhla.[10]

  • Napríklad inverzný sínus 0.9575 je 73.2358. Takže uhol
    B{\displaystyle B}

    je približne 73.24 stupňov.

Metóda 3 zo 4:Použitie kosínusového zákona na nájdenie chýbajúcej dĺžky strany


Zhodnoťte, čo viete. Ak chcete nájsť chýbajúcu dĺžku strany pomocou zákona kosínusov, musíte poznať dĺžky ďalších dvoch strán trojuholníka a meranie uhla medzi nimi.[11]

  • Napríklad môžete mať trojuholník so stranami dlhými 5 a 9 cm, medzi ktorými je uhol 85 stupňov. Musíte nájsť dĺžku chýbajúcej strany.


Určte a označte strany a protiľahlé uhly. Konvencia je taká, že dĺžky strán sú označené

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

. Uhol oproti každej strane sa označuje veľkým písmenom premennej tejto strany. Napríklad uhol protiľahlej strany

a{\displaystyle a}

je

A{\displaystyle A}

, uhol protiľahlej strany

b{\displaystyle b}

je

B{\displaystyle B}

, a uhol oproti strane

c{\displaystyle c}

je

C{\displaystyle C}

.[12]

  • Napríklad vo vašom trojuholníku:
    a=5cm{\displaystyle a=5cm}

    ;

    A=?{\displaystyle A=?}

    b=9cm{\displaystyle b=9cm}

    ;

    B=?{\displaystyle B=?}

    c=?{\displaystyle c=?}

    ;

    C=85{\displaystyle C=85}
    • Keďže chcete nájsť stranu protiľahlú uhlu 85 stupňov, hľadáte stranu
      c{\displaystyle c}

      .


Vytvorte vzorec pre zákon kosínusov. Vzorec je

c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

. V tomto vzorci,

c{\displaystyle c}

je chýbajúca dĺžka strany.[13]


Dosadíme všetky známe hodnoty do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili správne hodnoty za správne premenné. Strana, ktorú sa snažíte nájsť, by mala byť

c{\displaystyle c}

, a uhol, ktorý poznáte, by mal byť

C{\displaystyle C}

.

  • Napríklad,
    c2=52+922(5)(9)cos85{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)\cos {85}}

    .


Pomocou kalkulačky nájdite kosínus uhla. Túto hodnotu dosadíme do rovnice a vynásobíme.

  • Napríklad,
    cos85=0.0872{\displaystyle \cos {85}=0.0872}

    . Vaša rovnica by teraz mala vyzerať takto:

    c2=52+922(5)(9)(0.0872){\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5)(9)(0.0872)}

    .
    Vynásobením dostanete

    c2=52+927.844{\displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-7.844}

    .


Odpočítajte známe dĺžky strán. Nezabudnite, že odmocniť číslo znamená vynásobiť číslo samým sebou. Odpočítajte čísla a potom ich spočítajte.

  • Napríklad:
    c2=25+817.844{\displaystyle c^{2}=25+81-7.844}

    c2=1067.844{\displaystyle c^{2}=106-7.844}


Nájdite rozdiel. Takto získate hodnotu

c2{\displaystyle c^{2}}

. Potom môžete zobrať druhú odmocninu z oboch strán rovnice a nájsť

c{\displaystyle c}

.[14]

  • Napríklad:
    c2=1067.844{\displaystyle c^{2}=106-7.844}

    c2=98.156{\displaystyle c^{2}=98.156}

    c2=98.156{\displaystyle {\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {98.156}}}

    c=9.9074{\displaystyle c=9.9074}

    Teda strana

    c{\displaystyle c}

    je približne 9.dĺžka 91 cm.

Metóda 4 zo 4:Použitie kosínusového zákona na nájdenie chýbajúceho uhla


Zhodnoťte, čo viete. Na nájdenie chýbajúceho uhla pomocou zákona kosínusov potrebujete poznať dĺžky všetkých troch strán trojuholníka.[15]

  • Napríklad môžete mať trojuholník so stranami s rozmermi 14, 17 a 20 cm. Musíte nájsť uhol protiľahlý strane 20 cm.


Určte a označte strany a protiľahlé uhly. Konvencia je taká, že dĺžky strán sú označené

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

. Uhol oproti každej strane je označený veľkým písmenom premennej tejto strany. Napríklad uhol protiľahlej strany

a{\displaystyle a}

je

A{\displaystyle A}

, uhol protiľahlej strany

b{\displaystyle b}

je

B{\displaystyle B}

, a uhol protiľahlej strany

c{\displaystyle c}

je

C{\displaystyle C}

.[16]

  • Napríklad vo vašom trojuholníku:
    a=14cm{\displaystyle a=14cm}

    ;

    A=?{\displaystyle A=?}

    b=17cm{\displaystyle b=17cm}

    ;

    B=?{\displaystyle B=?}

    c=20cm{\displaystyle c=20cm}

    ;

    C=?{\displaystyle C=?}
    • Keďže chcete nájsť stranu oproti strane 20 cm, hľadáte stranu
      c{\displaystyle c}

      .


Nastavte vzorec pre zákon kosínusov. Vzorec je

c2=a2+b22abcosC{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}}

. V tomto vzorci,

C{\displaystyle C}

je uhol, ktorý sa snažíte nájsť.[17]


Dosadíme všetky známe hodnoty do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili správne hodnoty za správne premenné. Uhol, ktorý sa snažíte nájsť, by mal byť

C{\displaystyle C}

. To znamená, že

c{\displaystyle c}

by mala byť strana protiľahlá k uhlu, ktorý sa snažíte vyriešiť.

  • Napríklad,
    202=142+1722(14)(17)cosC{\displaystyle 20^{2}=14^{2}+17^{2}-2(14)(17)\cos {C}}

    .


Zjednodušte výraz pomocou poradia operácií. Najprv nájdite štvorce dĺžok strán. Potom vykonajte príslušné násobenie. Potom pripočítajte.

  • Napríklad:
    202=142+1722(14)(17)cosC{\displaystyle 20^{2}=14^{2}+17^{2}-2(14)(17)\cos {C}}

    400=196+2892(14)(17)cosC{\displaystyle 400=196+289-2(14)(17)\cos {C}}

    400=196+289(476)cosC{\displaystyle 400=196+289-(476)\cos {C}}

    400=485(476)cosC{\displaystyle 400=485-(476)\cos {C}}


Izolujte kosínus. Ak to chcete urobiť, odčítajte súčet štvorcov strán

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

z každej strany rovnice. Potom každú stranu vydeľte koeficientom kosínusu.

  • Napríklad:
    400=485(476)cosC{\displaystyle 400=485-(476)\cos {C}}

    400485=485485(476)cosC{\displaystyle 400-485=485-485-(476)\cos {C}}

    85=(476)cosC{\displaystyle -85=(-476)\cos {C}}

    85476=(476)cosC476{\displaystyle {\frac {-85}{-476}}={\frac {(-476)\cos {C}}{-476}}}

    0.1786=cosC{\displaystyle 0.1786=\cos {C}}

  • Nájdite inverzný kosínus. Použite

    COS1{\displaystyle COS^{-1}}

    kláves na kalkulačke, aby ste to urobili. Inverzný kosínus vám poskytne meranie chýbajúceho uhla.[18]

    • Napríklad inverzný kosínus 0.1786 je 79.7134. Takže uhol
      C{\displaystyle C}

      je približne 79.71 stupňov.

  • Odkazy