4 spôsoby riešenia otázok z Pytagorovej vety

Pytagorova veta je vzorec, ktorý môžete použiť na zistenie neznámej dĺžky strany pravouhlého trojuholníka. Je to jeden z najzákladnejších geometrických nástrojov v matematike.[1]
V škole a v reálnom živote sa pravdepodobne stretnete s mnohými problémami, ktoré si vyžadujú použitie vety na riešenie. V týchto úlohách možno budete musieť priamo vypočítať dĺžku strany trojuholníka alebo použiť pravouhlé trojuholníky na výpočet rozmerov iných typov mnohouholníkov.

Metóda 1 zo 4:Výpočet hypotenzie


Nájdite pravý alebo 90-stupňový uhol. Keďže táto veta platí len pre pravouhlé trojuholníky, musíte určiť, ktorý uhol je pravý uhol. Ak trojuholník nemá pravý uhol, nemôžete použiť vetu.

  • Zvyčajne sa pravý uhol označuje malým rámčekom.


Určte, že chýbajúca dĺžka je hypotenzia. Hypotenzia je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka a bude protiľahlá pravému uhlu.[2]


Napíšte vzorec pre Pytagorovu vetu. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

c{\displaystyle c}

je dĺžka hypotenzy a

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sú dĺžky ostatných strán trojuholníka.[3]


Dosadíme hodnoty dĺžok strán do vety. Nezabudnite, že tieto sú reprezentované premennými

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

.

  • Ak má napríklad trojuholník dĺžky strán 3 a 4 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}

    .


Dĺžky strán oddeľte do štvorca. Tieto nové hodnoty dosaďte do vzorca.

  • Napríklad:
    32+42=c2{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}

    9+16=c2{\displaystyle 9+16=c^{2}}


Súčet štvorcových dĺžok strán. Tento súčet sa rovná štvorcu dĺžky prepony (

c2{\displaystyle c^{2}}

).

  • Napríklad:
    9+16=c2{\displaystyle 9+16=c^{2}}

    25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}


Nájdite druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Tým získate dĺžku vašej hypotezy.

  • Napríklad:
    25=c2{\displaystyle 25=c^{2}}

    25=c2{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}

    5=c{\displaystyle 5=c}

    Takže dĺžka hypotenzy trojuholníka s dĺžkami strán 3 a 4 cm je 5 cm.


Použite vetu na zistenie strán trojuholníkov. Ak poznáte preponou a jednu stranu trojuholníka, môžete vetu použiť aj tak, že nahradíte príslušné hodnoty.

  • Ak napríklad viete, že pravouhlý trojuholník má preponou dĺžku 5 cm a jednu stranu dĺžky 3 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
    a2+32=52{\displaystyle a^{2}+3^{2}=5^{2}}

    . Potom by ste mali vyriešiť rovnicu pre

    a{\displaystyle a}

    namiesto

    c{\displaystyle c}

    :

    a2+32=52{\displaystyle a^{2}+3^{2}=5^{2}}

    a2+9=25{\displaystyle a^{2}+9=25}

    a2=16{\displaystyle a^{2}=16}

    a2=16{\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}={\sqrt {16}}}

    a=4{\displaystyle a=4}

Metóda 2 zo 4:Určenie pravouhlých trojuholníkov z troch dĺžok strán


Uistite sa, že máte k dispozícii rozmery všetkých troch strán trojuholníka. Ak nemáte k dispozícii všetky tri dĺžky strán, nemôžete použiť Pytagorovu vetu na určenie, či je trojuholník pravouhlý.

  • Môžete napríklad dostať trojuholník s dĺžkami strán 8, 9 a 12 cm a potrebujete určiť, či je trojuholník pravouhlý.


Napíšte vzorec pre Pytagorovu vetu. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

c{\displaystyle c}

je dĺžka hypotezy a

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sú dĺžky ostatných strán trojuholníka.[4]


Dosadíme dĺžku potenciálnej prepony do vzorca. Hypotenzia je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka, takže akákoľvek miera je najväčšia, bude znamenať premennú

c{\displaystyle c}

.

  • Ak sú napríklad dĺžky strán trojuholníka 8, 9 a 12 cm, pre potenciálnu hypotenziu použijete dĺžku 12, pretože je to najdlhšia strana. Takže váš vzorec bude vyzerať takto:
    a2+b2=122{\displaystyle a^{2}+b^{2}=12^{2}}

    .


Do vzorca dosadíme hodnoty zvyšných dvoch strán. Nezáleží na tom, ktorá hodnota je

a{\displaystyle a}

a ktorej hodnota je

b{\displaystyle b}

.

  • Ak sú napríklad ďalšie dve dĺžky strán 8 a 9 centimetrov, váš vzorec bude vyzerať takto:
    82+92=122{\displaystyle 8^{2}+9^{2}=12^{2}}

    .


Odpočítajte všetky čísla. Nezabudnite, že vynásobenie čísla štvorcom znamená, že ho vynásobíte samým sebou.

  • Napríklad:
    82+92=122{\displaystyle 8^{2}+9^{2}=12^{2}}

    64+81=144{\displaystyle 64+81=144}


Sčítaj štvorce dvoch strán. Ak sa tento súčet rovná štvorcu prepony, trojuholník je pravouhlý. Ak sa dve strany rovnice nerovnajú, trojuholník nie je pravouhlý.[5]

  • Napríklad:
    64+81=144{\displaystyle 64+81=144}

    145=144{\displaystyle 145=144}

    Keďže rovnica nie je pravdivá, trojuholník nie je pravouhlý.

Metóda 3 zo 4:Hľadanie uhlopriečky obdĺžnika


Uistite sa, že mnohouholník je obdĺžnik. Obdĺžnik je štvoruholník so štyrmi 90-stupňovými uhlami.[6]


Uistite sa, že máte dĺžku a šírku obdĺžnika. Ak nemáte tieto rozmery, nemôžete použiť túto metódu.

  • Napríklad vás môžeme požiadať, aby ste použili Pytagorovu vetu na zistenie dĺžky uhlopriečky obdĺžnika s rozmermi 6 x 4 palce.


Nájdite alebo nakreslite uhlopriečku obdĺžnika. Keďže uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje útvar na dva zhodné pravouhlé trojuholníky, môžete na zistenie jej dĺžky použiť Pytagorovu vetu.

  • Dĺžka uhlopriečky sa bude rovnať dĺžke prepony pravouhlého trojuholníka.


Vytvorte vzorec pre Pytagorovu vetu. Vzorec je

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

, kde

c{\displaystyle c}

je dĺžka prepony a

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

sú dĺžky ostatných strán trojuholníka.[7]


Dosadíme hodnoty dĺžky a šírky obdĺžnika do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili premenné

a{\displaystyle a}

a

b{\displaystyle b}

. Nezáleží na tom, ktorá premenná je dĺžka a ktorá šírka.

  • Napríklad pre obdĺžnik s rozmermi 6 x 4 palce bude vzorec vyzerať takto:
    62+42=c2{\displaystyle 6^{2}+4^{2}=c^{2}}

    .


Odpočítajte dĺžku a šírku. Nezabudnite, že odmocňovanie znamená násobenie čísla samým sebou.

  • Napríklad:
    62+42=c2{\displaystyle 6^{2}+4^{2}=c^{2}}

    36+16=c2{\displaystyle 36+16=c^{2}}


Súčet štvorcových dĺžok strán. Tento súčet vám dá hodnotu hypotenzy alebo uhlopriečky vo štvorci.

  • Napríklad:
    36+16=c2{\displaystyle 36+16=c^{2}}

    52=c2{\displaystyle 52=c^{2}}


Nájdite druhú odmocninu z oboch strán. Takto dostaneme hodnotu

c{\displaystyle c}

, čo je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka a tiež dĺžka uhlopriečky obdĺžnika.

  • Napríklad:
    52=c2{\displaystyle 52=c^{2}}

    52=c2{\displaystyle {\sqrt {52}}={\sqrt {c^{2}}}}

    7.21=c{\displaystyle 7.21=c}

    Takže uhlopriečka obdĺžnika s rozmermi 6 × 4 palce je 7.21 palcov.

Metóda 4 zo 4:Riešenie vzorových testových otázok


Nájdite najkratšiu vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Napríklad Luis sa prechádza po parku. Začne pri fontáne a prejde 80 stôp na juh a 60 stôp na západ. Aká je najkratšia vzdialenosť späť k fontáne?

  • Najkratšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi je priamka. Táto priamka vytvára preponou pravouhlého trojuholníka, ktorého jedna strana má dĺžku 80 stôp a druhá strana 60 stôp.
  • Vzorec pre Pytagorovu vetu je
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    , kde

    c{\displaystyle c}

    sa rovná dĺžke hypotenzy a

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    sa rovnajú dĺžkam ostatných dvoch strán.

  • Keďže poznáte dĺžky oboch strán, pripojte hodnoty
    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    do vzorca:

    802+602=c2{\displaystyle 80^{2}+60^{2}=c^{2}}

    .

  • Dĺžky strán vynásobíme štvorcom:
    6400+3600=c2{\displaystyle 6400+3600=c^{2}}

    .

  • Súčet štvorcových dĺžok strán:
    10,000=c2{\displaystyle 10,000=c^{2}}

    .

  • Nájdite druhú odmocninu z oboch strán rovnice:
    10,000=c2{\displaystyle {\sqrt {10 000}}={\sqrt {c^{2}}}}

    100=c{\displaystyle 100=c}

    .

  • Dĺžka prepony a najkratšia vzdialenosť späť k fontáne je 100 stôp.


Nájdite chýbajúcu dĺžku. Nájdite napríklad dĺžku

x{\displaystyle x}

, ak je daný pravouhlý trojuholník s preponou merajúcou 10 cm a jednou stranou merajúcou 6 cm.

  • Vzorec pre Pytagorovu vetu je
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    , kde

    c{\displaystyle c}

    sa rovná dĺžke hypotenzy a

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    sa rovnajú dĺžkam ostatných dvoch strán.

  • Keďže poznáte dĺžky hypotenzy a jednej strany, doplňte hodnoty
    a{\displaystyle a}

    a

    c{\displaystyle c}

    do vzorca:

    62+b2=102{\displaystyle 6^{2}+b^{2}=10^{2}}

    .

  • Známe rozmery vyčíslite štvorcom:
    36+b2=100{\displaystyle 36+b^{2}=100}

    .

  • Odpočítajte štvorcovú hodnotu
    a{\displaystyle a}

    z oboch strán rovnice:

    b2=64{\displaystyle b^{2}=64}

    .

  • Nájdite druhú odmocninu z oboch strán rovnice:
    b2=64{\displaystyle {\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {64}}}

    b=8{\displaystyle b=8}
  • Dĺžka
    x{\displaystyle x}

    je 8 cm.


Určte pravouhlý trojuholník. Určte napríklad, či je trojuholník pravouhlý, ak sú dané dĺžky strán 9, 12 a 15 cm.

  • Vzorec pre Pytagorovu vetu je
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    , kde

    c{\displaystyle c}

    sa rovná dĺžke hypotezy a

    a{\displaystyle a}

    a

    b{\displaystyle b}

    sa rovnajú dĺžkam ostatných dvoch strán.

  • Najdlhšia dĺžka strany je potenciálna hypoteza. Zapojte túto hodnotu pre
    c{\displaystyle c}

    :

    a2+b2=152{\displaystyle a^{2}+b^{2}=15^{2}}

    .

  • Do rovnice dosadíme hodnoty ostatných dvoch strán:
    92+122=152{\displaystyle 9^{2}+12^{2}=15^{2}}

    .

  • Všetky čísla vyčíslite štvorcom:
    81+144=225{\displaystyle 81+144=225}

    .

  • Pripočítaj štvorce oboch strán:
    225=225{\displaystyle 225=225}

    .

  • Keďže rovnica je pravdivá, trojuholník je pravouhlý.

  • Použite uhlopriečku obdĺžnika ako preponou pravouhlého trojuholníka. Napríklad Sherrie kupuje novú obrazovku počítača. Musí byť menej ako 12 palcov vysoká, aby sa zmestila pod policu nad jej pracovným stolom. Nájde obrazovku počítača s uhlopriečkou 27 palcov a šírkou 24 palcov. Zmestí sa táto obrazovka na jej stôl?

    • Vzorec pre Pytagorovu vetu je
      a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

      , kde

      c{\displaystyle c}

      sa rovná dĺžke hypotenzy a

      a{\displaystyle a}

      a

      b{\displaystyle b}

      sa rovnajú dĺžkam ostatných dvoch strán.

    • Keďže poznáte šírku a uhlopriečku obdĺžnika, zapíšte hodnoty
      a{\displaystyle a}

      a

      c{\displaystyle c}

      do vzorca:

      242+b2=272{\displaystyle 24^{2}+b^{2}=27^{2}}

      .

    • Známe merania oddeľte štvorcom:
      576+b2=729{\displaystyle 576+b^{2}=729}

      .

    • Odpočítajte štvorcovú hodnotu
      a{\displaystyle a}

      z oboch strán rovnice:

      b2=153{\displaystyle b^{2}=153}

      .

    • Nájdite druhú odmocninu z oboch strán rovnice:
      b2=153{\displaystyle {\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {153}}}

      b=12.37{\displaystyle b=12.37}
    • Výška obrazovky počítača je približne 12.37 palcov. Sherrie má miesto len pre obrazovku vysokú 12 palcov, takže táto obrazovka sa na jej stôl nezmestí.
  • Odkazy