4 spôsoby výpočtu plochy kruhu

Častou úlohou na hodinách geometrie je, aby ste na základe poskytnutých informácií vypočítali plochu kruhu. Potrebujete poznať vzorec na zistenie plochy kruhu,

A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}

. Vzorec je jednoduchý a na zistenie plochy potrebuje len polomer kruhu. Musíte si však precvičiť aj prevod niektorých ďalších častí poskytnutých údajov na výrazy, ktoré vám môžu pomôcť pri použití tohto vzorca.

Metóda 1 zo 4:Použitie polomeru na zistenie plochy


Určiť polomer kruhu. Polomer je dĺžka od stredu kruhu po okraj kruhu. Môžete ju merať v ľubovoľnom smere a polomer bude rovnaký. Polomer je tiež polovica priemeru kruhu. Priemer je úsečka, ktorá prechádza stredom a spája protiľahlé strany kruhu.[1]

  • Polomer vám bude spravidla poskytnutý. Môže byť ťažké merať presne do stredu kružnice, pokiaľ stred už nie je vyznačený na kružnici nakreslenej na papieri.
  • Pre tento príklad predpokladajte, že vám bolo povedané, že polomer daného kruhu je 6 cm.


Štvorcový polomer. Vzorec na zistenie plochy kruhu je

A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}

, kde

r{\displaystyle r}

premenná predstavuje polomer. Táto premenná je štvorcová.[2]

  • Nenechajte sa zmiasť a celú rovnicu odmocnite.
  • Pre vzorový kruh s polomerom,
    r=6{\displaystyle r=6}

    , potom

    r2=36{\displaystyle r^{2}=36}

    .


Násobte číslom pi. Pí, symbolicky zapísané gréckym písmenom

π{\displaystyle \pi }

, je matematická konštanta, ktorá predstavuje pomer medzi obvodom a priemerom kružnice.[3]
Ako desatinnú aproximáciu,

π{\displaystyle \pi }

je približne 3.14. Skutočná desatinná hodnota pokračuje nekonečne dlho. Pri presnom vyjadrení plochy kruhu sa zvyčajne odpoveď uvádza pomocou symbolu

π{\displaystyle \pi }

sám.[4]

  • Pre daný príklad s polomerom 6 cm sa plocha vypočíta ako:
    • A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}
    • A=π62{\displaystyle A=\pi 6^{2}}
    • A=36π{\displaystyle A=36\pi }

      alebo

      A=36(3.14)=113.04{\displaystyle A=36(3.14)=113.04}


Nahláste svoj výsledok. Nezabudnite, že výpočet plochy sa bude uvádzať v jednotkách „štvorcových“. Ak bol polomer meraný v centimetroch, plocha bude v štvorcových centimetroch. Ak bol polomer meraný v stopách, plocha bude v štvorcových stopách. Mali by ste tiež vedieť, či máte svoj výsledok oznámiť pomocou symbolu

π{\displaystyle \pi }

alebo numerickú aproximáciu. Ak neviete, uveďte obidve hodnoty.[5]

  • Pre vzorový kruh s polomerom 6 cm bude plocha buď 36
    π{\displaystyle \pi }

    cm2 alebo 113.04 cm2.

Metóda 2 zo 4:Výpočet plochy z priemeru


Zmerajte alebo zapíšte priemer. Niektoré úlohy alebo situácie vám neposkytnú polomer. Namiesto toho vám môže byť zadaný priemer kruhu. Ak je priemer zakreslený do vášho diagramu, môžete ho zmerať pravítkom. Prípadne vám môže byť oznámená len hodnota priemeru.

  • Pre tento príklad predpokladajme, že priemer vášho kruhu je 20 palcov.


Rozdeľte priemer na polovicu. Nezabudnite, že priemer sa rovná dvojnásobku polomeru. Preto bez ohľadu na to, akú hodnotu ste dostali pre priemer, rozdeľte ju na polovicu a dostanete polomer.

  • Vzorka kruhu s priemerom 20 palcov bude mať teda polomer 20/2, teda 10 palcov.


Použite pôvodný vzorec pre plochu. Po prepočítaní priemeru na polomer ste pripravení použiť vzorec

A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}

a vypočítať plochu kruhu. Vložte hodnotu polomeru a ostatné výpočty vykonajte nasledovne:

  • A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}
  • A=π102{\displaystyle A=\pi 10^{2}}
  • A=100π{\displaystyle A=100\pi }


Uveďte hodnotu plochy. Pripomeňte si, že plocha sa má uvádzať v štvorcových jednotkách. V tomto príklade bol priemer meraný v palcoch, takže polomer je v palcoch. Preto sa plocha bude uvádzať v štvorcových palcoch. Pre túto vzorku bude plocha

100π{\displaystyle 100\pi }

sq. v.

  • Číselnú aproximáciu môžete uviesť aj vynásobením číslom 3.14 namiesto
    π{\displaystyle \pi }

    . Výsledkom je (100)(3.14) = 314 sq. v.

ODBORNÁ RADA

Grace Imson, MA

Inštruktorka matematiky, City College of San Francisco Grace Imsonová je učiteľka matematiky s viac ako 40-ročnou pedagogickou praxou. Grace v súčasnosti pôsobí ako inštruktorka matematiky na City College of San Francisco a predtým pracovala na katedre matematiky na Saint Louis University. Vyučovala matematiku na základnej, strednej, vysokej a vysokej škole. Získala magisterský titul v oblasti vzdelávania so špecializáciou na administratívu a supervíziu na Saint Louis University. Grace Imson, MA
Inštruktor matematiky, City College of San Francisco

Najčastejšou chybou pri použití priemeru je zabudnutie na odmocnenie menovateľa. Ak pri hľadaní polomeru nedelíte priemer číslom 2, stále môžete nájsť plochu kruhu. Vzorec však musíte zmeniť tak, aby ste do štvorca dali „d“, inak bude vaša odpoveď nesprávna.

Metóda 3 zo 4:Použitie obvodu na výpočet plochy


Naučte sa upravený vzorec. Ak poznáte obvod kruhu, môžete použiť revíziu vzorca pre plochu kruhu. Tento upravený vzorec používa na určenie plochy priamo obvod bez polomeru. Tento nový vzorec je:

  • A=C24π{\displaystyle A={\frac {C^{2}}{4\pi }}}


Zmerajte alebo zapíšte obvod. V niektorých reálnych situáciách nemusíte byť schopní presne zmerať priemer alebo polomer. Ak vám nie je nakreslený priemer alebo nie je určený stred, môže byť ťažké priblížiť stred kružnice. Pri niektorých fyzikálnych kruhoch – napríklad pri panvici na pizzu alebo panvici na vyprážanie – môžete použiť meter a zmerať obvod presnejšie ako priemer.[6]

  • V tomto príklade predpokladajte, že vám bolo povedané alebo ste namerali, že obvod kruhu (alebo kruhového objektu) je 42 cm.


Použite vzťah medzi obvodom a polomerom na opravu vzorca. Obvod kruhu sa rovná pí krát priemer. Toto možno zapísať ako

C=πd{\displaystyle C=\pi d}

. Potom si pripomeňme, že priemer sa rovná dvojnásobku polomeru, alebo

d=2r{\displaystyle d=2r}

. Tieto dve rovnosti môžete spojiť a vytvoriť nasledujúci vzťah:

C=π2r{\displaystyle C=\pi 2r}

. Zmenou usporiadania izolujeme premennú

r{\displaystyle r}

takto:[7]

  • C=π2r{\displaystyle C=\pi 2r}
  • C2π=r{\displaystyle {\frac {C}{2\pi }}=r}

    …. (vydeľte obe strany číslom 2

    π{\displaystyle \pi }

    )


Dosadiť do vzorca pre plochu kruhu. Pomocou tohto vzťahu medzi obvodom a polomerom môžete vytvoriť upravenú verziu vzorca pre plochu kruhu. Túto poslednú rovnosť dosaďte do pôvodného vzorca pre plochu takto: [8]

  • A=πr2{\displaystyle A=\pi r^{2}}

    ….(pôvodný vzorec pre plochu)

  • A=π(C2π)2{\displaystyle A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}}

    …. (nahraďte rovnosť za r)

  • A=π(C24π2){\displaystyle A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})}

    ….(odmocnite zlomok)

  • A=C24π{\displaystyle A={\frac {C^{2}}{4\pi }}}

    ….(zrušiť

    π{\displaystyle \pi }

    v čitateli a menovateli)


Na riešenie plochy použite upravený vzorec. Pomocou tohto upraveného vzorca, zapísaného s obvodom namiesto polomeru, môžete použiť zadané informácie a priamo zistiť plochu. Vložte hodnotu obvodu a vykonajte výpočet takto:[9]

  • Pre túto vzorku ste dostali
    C=42{\displaystyle C=42}

    palcov.

  • A=C24π{\displaystyle A={\frac {C^{2}}{4\pi }}}
  • A=4224π{\displaystyle A={\frac {42^{2}}{4\pi }}}

    ….(vložte hodnotu)

  • A=17644π{\displaystyle A={\frac {1764}{4\pi }}}

    ….(vypočítajte 422)

  • A=441π{\displaystyle A={\frac {441}{\pi }}}

    ….(vydeľte 4)


Nahláste svoj výsledok. Pokiaľ vám nie je povedaný obvod ako násobok

π{\displaystyle \pi }

, potom váš výsledok bude pravdepodobne zlomok s

π{\displaystyle \pi }

v menovateli. Na tom nie je nič zlé. Výpočet plochy by ste mali uviesť v tomto tvare, alebo ho môžete približne vyjadriť delením číslom 3.14.[10]

  • Pre tento vzorový kruh s obvodom 42 cm je plocha
    441π{\displaystyle {\frac {441}{\pi }}}

    sq. cm.

  • Ak aproximujete,
    441π=4413.14=140.4{\displaystyle {\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3.14}}=140.4}

    . Plocha sa približne rovná 140 m2. cm.

Metóda 4 zo 4:Zistenie plochy zo sektora kružnice


Určte známu alebo danú informáciu. V niektorých úlohách vám môžu byť povedané informácie o sektore kruhu a potom budete požiadaní, aby ste našli plochu celého kruhu. Pozorne si prečítajte úlohu a vyhľadajte informácie, ktoré budú znieť napríklad takto: „Sektor kruhu O má plochu 15

π{\displaystyle \pi }

cm2. Nájdite plochu kruhu O.“[11]


Definujte vybraný sektor. Sektor kruhu je časť, ktorá sa niekedy označuje aj ako „klin.“ Sektor je definovaný narysovaním dvoch polomerov od stredu smerom von k okraju kružnice. Priestor medzi týmito dvoma polomermi je sektor.[12]


Zmerajte stredový uhol sektora. Na zmeranie stredového uhla, ktorý zvierajú dva polomery, použite uhlomer. Nastavte základňu uhlomeru pozdĺž jedného z polomerov, pričom stredový bod uhlomeru musí byť zarovnaný so stredom kružnice. Potom odčítajte meranie uhla, ktoré zodpovedá polohe druhého polomeru tvoriaceho sektor.[13]

  • Uistite sa, že viete, či meriate malý uhol medzi dvoma polomermi alebo väčší uhol mimo nich. Problém, na ktorom pracujete, by vám to mal definovať. Súčet malého a veľkého uhla bude 360 stupňov.
  • V niektorých úlohách namiesto toho, aby ste zmerali stredový uhol, vám úloha môže povedať len meranie. Môže vám byť napríklad povedané: „Stredový uhol sektora je 45 stupňov“ alebo sa od vás môže očakávať, že ho zmeriate.


Použite upravený vzorec pre plochu. Keď poznáte plochu sektora a meranie jeho stredového uhla, môžete na zistenie plochy kruhu použiť nasledujúci upravený vzorec: [14]

  • Acir=Asec360C{\displaystyle A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}}
    • Acir{\displaystyle A_{cir}}

      je plocha plného kruhu

    • Asec{\displaystyle A_{sec}}

      je plocha sektora

    • C{\displaystyle C}

      je stredová uhlová miera


Zadajte hodnoty, ktoré poznáte, a vyriešte plochu. V tomto príklade vám bolo povedané, že stredový uhol je 45 stupňov a že sektor má plochu 15

π{\displaystyle \pi }

. Dosadíme ich do tohto vzorca a vyriešime nasledovne: [15]

  • Acir=Asec360C{\displaystyle A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}}
  • Acir=15π36045{\displaystyle A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}}
  • Acir=15π(8){\displaystyle A_{cir}=15\pi (8)}
  • Acir=120π{\displaystyle A_{cir}=120\pi }

  • Výsledok nahláste. V tomto príklade bol sektor jednou osminou celej kružnice. Plocha plného kruhu je teda 120

    π{\displaystyle \pi }

    cm2. Keďže plocha sektora bola daná v tvare

    π{\displaystyle \pi }

    , môžete predpokladať, že vaša plocha pre celý kruh by mala byť uvedená rovnakým spôsobom.[16]

    • Ak chcete uviesť číselnú hodnotu, môžete vynásobiť 120 x 3.14 na získanie hodnoty 376.8 cm2.
  • Odkazy