4 spôsoby výpočtu plochy trojuholníka

Najbežnejší spôsob, ako zistiť plochu trojuholníka, je vziať polovicu základne krát výšku. Na zistenie plochy trojuholníka však existuje množstvo ďalších vzorcov v závislosti od toho, aké informácie poznáte. Pomocou informácií o stranách a uhloch trojuholníka je možné vypočítať plochu bez znalosti výšky.

Metóda 1 zo 4:Použitie základne a výšky


Nájdite základňu a výšku trojuholníka. Základňa je jedna strana trojuholníka. Výška je miera najvyššieho bodu trojuholníka. Zistí sa narysovaním kolmice zo základne na protiľahlý vrchol. Túto informáciu by ste mali dostať, alebo by ste mali byť schopní zmerať dĺžky.

  • Napríklad môžete mať trojuholník so základňou dlhou 5 cm a výškou dlhou 3 cm.


Nastavte vzorec pre plochu trojuholníka. Vzorec je

Plocha=12(bh){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(bh)}

, kde

b{\displaystyle b}

je dĺžka základne trojuholníka a

h{\displaystyle h}

je výška trojuholníka.[1]


Doplňte základňu a výšku do vzorca. Vynásobte tieto dve hodnoty spolu a potom ich súčin vynásobte

12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

. Takto získame plochu trojuholníka v štvorcových jednotkách.

  • Napríklad, ak je základňa vášho trojuholníka 5 cm a výška 3 cm, vypočítate:
    Plocha=12(bh){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(bh)}

    Plocha=12(5)(3){\displaystyle {\text{Area}}={\frac {1}{2}}(5)(3)}

    Oblasť=12(15){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(15)}

    Plocha=7.5{\displaystyle {\text{Plocha}}=7.5}

    Takže plocha trojuholníka so základňou 5 cm a výškou 3 cm je 7.5 štvorcových centimetrov.


Nájdite plochu pravouhlého trojuholníka. Keďže dve strany pravouhlého trojuholníka sú kolmé, jednou z kolmých strán bude výška trojuholníka. Druhá strana bude základňa. Takže aj keď výška a/alebo základňa nie sú uvedené, máte ich dané, ak poznáte dĺžky strán. Môžete teda použiť

Plocha=12(bh){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(bh)}

vzorec na zistenie plochy.

  • Tento vzorec môžete použiť aj vtedy, ak poznáte dĺžku jednej strany a dĺžku hypotezy. Hypotenzia je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka a je oproti pravému uhlu. Nezabudnite, že chýbajúcu dĺžku strany pravouhlého trojuholníka môžete nájsť pomocou Pytagorovej vety (
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    ).

  • Napríklad, ak je prepona trojuholníka stranou c, výška a základňa budú zvyšné dve strany (a a b). Ak viete, že prepona je 5 cm a základňa je 4 cm, použite Pytagorovu vetu na zistenie výšky:
    a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    a2+42=52{\displaystyle a^{2}+4^{2}=5^{2}}

    a2+16=25{\displaystyle a^{2}+16=25}

    a2+1616=2516{\displaystyle a^{2}+16-16=25-16}

    a2=9{\displaystyle a^{2}=9}

    a=3{\displaystyle a=3}

    Teraz môžete dosadiť dve kolmé strany (a a b) do vzorca pre plochu a nahradiť ich základňou a výškou:

    Plocha=12(bh){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(bh)}

    Plocha=12(4)(3){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(4)(3)}

    Plocha=12(12){\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {1}{2}}(12)}

    Plocha=6{\displaystyle {\text{Area}}=6}

Metóda 2 zo 4: Použitie dĺžok strán


Vypočítajte polomer trojuholníka. Poloobvod útvaru sa rovná polovici jeho obvodu. Ak chcete zistiť polomer, najprv vypočítajte obvod trojuholníka sčítaním dĺžok jeho troch strán. Potom vynásobte

12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}

.[2]

  • Napríklad, ak má trojuholník tri strany dlhé 5 cm, 4 cm a 3 cm, polomer sa zobrazí takto:
    s=12(3+4+5){\displaystyle s={\frac {1}{2}}(3+4+5)}

    s=12(12)=6{\displaystyle s={\frac {1}{2}}(12)=6}


Nastavte Heronov vzorec. Vzorec je

Plocha=s(sa)(sb)(sc){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

, kde

s{\displaystyle s}

je polomer trojuholníka a

a{\displaystyle a}

,

b{\displaystyle b}

, a

c{\displaystyle c}

sú dĺžky strán trojuholníka.[3]


Do vzorca dosadíme polomer a dĺžky strán. Uistite sa, že ste nahradili polomer za každý prípad

s{\displaystyle s}

vo vzorci.

  • Napríklad:
    Oblasť=s(sa)(sb)(sc){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

    Plocha=6(63)(64)(65){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}}


Vypočítajte hodnoty v zátvorkách. Odpočítajte dĺžku každej strany od polperimetra. Potom tieto tri hodnoty vynásobte.

  • Napríklad:
    Oblasť=6(63)(64)(65){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}}

    Plocha=6(3)(2)(1){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}

    Plocha=6(6){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {6(6)}}}


Vynásobte tieto dve hodnoty pod znamienkom radikálu. Potom nájdite ich druhú odmocninu. Takto získame plochu trojuholníka v štvorcových jednotkách.

  • Napríklad:
    Plocha=6(6){\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {6(6)}}}

    Plocha=36{\displaystyle {\text{Plocha}}={\sqrt {36}}}

    Plocha=6{\displaystyle {\text{Area}}=6}

    Plocha trojuholníka je teda 6 štvorcových centimetrov.

Metóda 3 zo 4:Použitie jednej strany rovnostranného trojuholníka


Nájdite dĺžku jednej strany trojuholníka. Rovnostranný trojuholník má tri rovnaké dĺžky strán a tri rovnaké veľkosti uhlov, takže ak poznáte dĺžku jednej strany, poznáte dĺžku všetkých troch strán.[4]

  • Napríklad môžete mať trojuholník s tromi stranami dlhými 6 cm.


Zostavte vzorec pre plochu rovnostranného trojuholníka. Vzorec je

Plocha=(s2)34{\displaystyle {\text{Plocha}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}}

, kde

s{\displaystyle s}

sa rovná dĺžke jednej strany rovnostranného trojuholníka.[5]


Dĺžku strany dosadíme do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili premennú

s{\displaystyle s}

, a potom túto hodnotu odmocníme.

  • Ak má napríklad rovnostranný trojuholník strany dlhé 6 cm, vypočítate:
    Plocha=(s2)34{\displaystyle {\text{Plocha}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}}

    Plocha=(62)34{\displaystyle {\text{Plocha}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}}

    Oblasť=(36)34{\displaystyle {\text{Plocha}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}}


Vynásobte štvorec číslom

3{\displaystyle {\sqrt {3}}}

. Pre presnejšiu odpoveď je najlepšie použiť funkciu odmocniny na kalkulačke. V opačnom prípade môžete použiť 1.732 pre zaokrúhlenú hodnotu

3{\displaystyle {\sqrt {3}}}

.

  • Napríklad:
    Plocha=(36)34{\displaystyle {\text{Plocha}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}}

    Plocha=62.3524{\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {62.352}{4}}}


Súčin vydeľte číslom 4. Získate tak plochu trojuholníka v štvorcových jednotkách.

  • Napríklad:
    Plocha=62.3524{\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {62.352}{4}}}

    Plocha=15.588{\displaystyle {\text{Area}}=15.588}

    Takže plocha rovnostranného trojuholníka so stranami dlhými 6 cm je približne 15.59 štvorcových centimetrov.

Metóda 4 zo 4:Použitie trigonometrie


Nájdite dĺžku dvoch susedných strán a zahrnutý uhol. Priľahlé strany sú dve strany trojuholníka, ktoré sa stretávajú vo vrchole.[6]
Zahrnutý uhol je uhol medzi týmito dvoma stranami.

  • Napríklad môžete mať trojuholník s dvoma susednými stranami s dĺžkou 150 cm a 231 cm. Uhol medzi nimi je 123 stupňov.


Nastavte trigonometrický vzorec pre plochu trojuholníka. Vzorec je

Plocha=bc2sinA{\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {bc}{2}}\sin A}

, kde

b{\displaystyle b}

a

c{\displaystyle c}

sú susedné strany trojuholníka a

A{\displaystyle A}

je uhol medzi nimi.[7]


Dĺžky strán dosadíme do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili premenné

b{\displaystyle b}

a

c{\displaystyle c}

. Vynásobte ich hodnoty a potom ich vydeľte 2.

  • Napríklad:
    Plocha=bc2sinA{\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {bc}{2}}\sin A}

    Plocha=(150)(231)2sinA{\displaystyle {\text{Area}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A}

    Plocha=(34,650)2sinA{\displaystyle {\text{Plocha}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A}

    Plocha=17,325sinA{\displaystyle {\text{Plocha}}=17,325\sin A}


Do vzorca dosaďte sínus uhla. Sínus môžete zistiť pomocou vedeckej kalkulačky tak, že zadáte meranie uhla a potom stlačíte tlačidlo „SIN“.

  • Napríklad sínus uhla 123 stupňov je .83867, takže vzorec bude vyzerať takto:
    Plocha=17,325sinA{\displaystyle {\text{Plocha}}=17,325\sin A}

    Plocha=17,325(.83867){\displaystyle {\text{Area}}=17,325(.83867)}

  • Vynásobte tieto dve hodnoty. Takto získate plochu trojuholníka v štvorcových jednotkách.

    • Napríklad:
      Plocha=17,325(.83867){\displaystyle {\text{Area}}=17,325(.83867)}

      Plocha=14,529.96{\displaystyle {\text{Area}}=14,529.96}

      .
      Plocha trojuholníka je teda približne 14 530 cm2.

  • Odkazy