4 spôsoby výpočtu presnosti

Presnosť znamená, že meranie pomocou konkrétneho nástroja alebo pomôcky poskytuje podobné výsledky pri každom použití. Ak napríklad päťkrát za sebou stúpite na váhu, presná váha by vám zakaždým ukázala rovnakú hmotnosť. V matematike a vede je výpočet presnosti nevyhnutný na určenie, či vaše nástroje a merania fungujú dostatočne dobre na to, aby ste získali dobré údaje. Presnosť ľubovoľného súboru údajov môžete uviesť pomocou rozsahu hodnôt, priemernej odchýlky alebo smerodajnej odchýlky.

Metóda 1 zo 4: Výpočet rozsahu


Určite najvyššiu nameranú hodnotu. Pomôže vám, ak údaje začnete zoraďovať v číselnom poradí od najnižšej po najvyššiu hodnotu. Tým sa zabezpečí, že nevynecháte žiadne hodnoty. Potom vyberte hodnotu na konci zoznamu.

  • Predpokladajme napríklad, že testujete presnosť váhy a pozorujete päť meraní: 11, 13, 12, 14, 12. Po zoradení sú tieto hodnoty uvedené ako 11, 12, 12, 13, 14. Najvyššia nameraná hodnota je 14.


Nájdite najnižšiu nameranú hodnotu. Po zoradení údajov je nájdenie najnižšej hodnoty rovnako jednoduché ako pohľad na začiatok zoznamu.

  • Pre údaje merania stupnice je najnižšia hodnota 11.


Odpočítajte najnižšiu hodnotu od najvyššej. Rozsah súboru údajov je rozdiel medzi najvyšším a najnižším meraním. Stačí odčítať jedno od druhého. Algebraicky možno rozsah vyjadriť ako:

  • Rozsah=x(max)x(min){\displaystyle {\text{Range}}=x(max)-x(min)}
  • Pre údaje vzorky je rozsah:
    • Rozsah=x(max)x(min)=1411=3{\displaystyle {\text{Range}}=x(max)-x(min)=14-11=3}


Rozsah uvádzajte ako presnosť. Pri uvádzaní údajov je dôležité, aby čitatelia vedeli, čo ste namerali. Keďže existujú rôzne miery presnosti, mali by ste špecifikovať, čo uvádzate. Pre tieto údaje by ste uviedli Mean=12.4, Range=3, alebo jednoducho, že Mean=12.4±3.[1]

  • Priemer v skutočnosti nie je súčasťou výpočtu rozsahu alebo presnosti, ale vo všeobecnosti je to primárny výpočet na vykazovanie nameranej hodnoty. Priemer sa zistí tak, že sa sčíta súčet nameraných hodnôt a potom sa vydelí počtom položiek v skupine. Pre tento súbor údajov je priemer (11+13+12+14+12)/5=12.4.

Metóda 2 zo 4:Výpočet priemernej odchýlky


Nájdite strednú hodnotu údajov. Priemerná odchýlka je podrobnejšia miera presnosti skupiny meraní alebo hodnôt experimentu. Prvým krokom pri zisťovaní priemernej odchýlky je výpočet priemeru nameraných hodnôt. Priemer je súčet hodnôt vydelený počtom vykonaných meraní.

  • V tomto príklade použite rovnakú vzorku údajov ako predtým. Predpokladajme, že bolo vykonaných päť meraní, 11, 13, 12, 14 a 12. Priemer týchto hodnôt je (11+13+12+14+12)/5=12.4.


Vypočítajte absolútnu odchýlku každej hodnoty od priemeru. Pri tomto výpočte presnosti je potrebné určiť, ako blízko je každá hodnota k priemeru. Ak to chcete urobiť, od každého čísla odčítajte priemer. Pri tomto meraní nezáleží na tom, či je hodnota nad alebo pod priemerom. Odčítajte čísla a použite len kladnú hodnotu výsledku. Táto hodnota sa tiež nazýva absolútna hodnota.[2]

  • Algebraicky sa absolútna hodnota zobrazuje umiestnením dvoch zvislých čiarok okolo výpočtu takto:
    • Absolútna odchýlka=|xμ|{\displaystyle {\text{Absolútna odchýlka}}=|x-\mu |}
    • Pre tento výpočet,
      x{\displaystyle x}

      predstavuje každú z experimentálnych hodnôt a

      μ{\displaystyle \mu }

      je vypočítaný priemer.

  • Pre hodnoty tohto vzorového súboru údajov sú absolútne odchýlky:
    • |1212.4|=0.4{\displaystyle |12-12.4|=0.4}
    • |1112.4|=1.4{\displaystyle |11-12.4|=1.4}
    • |1412.4|=1.6{\displaystyle |14-12.4|=1.6}
    • |1312.4|=0.6{\displaystyle |13-12.4|=0.6}
    • |1212.4|=0.4{\displaystyle |12-12.4|=0.4}


Nájdite priemernú odchýlku. Použite absolútne odchýlky a nájdite ich priemer. Rovnako ako v prípade pôvodného súboru údajov ich spočítate a vydelíte počtom hodnôt. Algebraicky sa to znázorní takto: [3]

  • Priemerná odchýlka=Σ|xμ|n{\displaystyle {\text{Priemerná odchýlka}}={\frac {\Sigma |x-\mu |}{n}}}
  • Pre túto vzorku údajov je výpočet nasledovný:
    • Priemerná odchýlka=0.4+1.4+1.6+0.6+0.45{\displaystyle {\text{Priemerná odchýlka}}={\frac {0.4+1.4+1.6+0.6+0.4}{5}}}
    • Priemerná odchýlka=4.45{\displaystyle {\text{Priemerná odchýlka}}={\frac {4.4}{5}}}
    • Priemerná odchýlka=0.88{\displaystyle {\text{Priemerná odchýlka}}=0.88}


Uveďte výsledok presnosti. Tento výsledok sa môže uviesť ako priemer plus alebo mínus priemerná odchýlka. V prípade tohto vzorového súboru údajov by tento výsledok vyzeral takto 12.4±0.88. Všimnite si, že pri uvádzaní presnosti ako priemernej odchýlky sa meranie javí oveľa presnejšie ako pri rozsahu.[4]

Metóda 3 zo 4:Výpočet smerodajnej odchýlky


Použite správny vzorec pre štandardnú odchýlku. Pre súbor údajov akejkoľvek veľkosti je smerodajná odchýlka spoľahlivou štatistikou na vykazovanie presnosti. Existujú dva vzorce na výpočet smerodajnej odchýlky, pričom medzi nimi je veľmi malý rozdiel. Ak vaše namerané údaje predstavujú celú populáciu, použijete jeden vzorec. Druhý vzorec použijete, ak vaše namerané údaje pochádzajú len zo vzorky populácie.[5]

  • Vaše údaje predstavujú celú populáciu, ak ste zozbierali všetky možné merania od všetkých možných subjektov. Napríklad ak vykonávate testy na ľuďoch s nejakou veľmi zriedkavou chorobou a domnievate sa, že ste testovali všetkých s touto chorobou, potom máte celú populáciu. Vzorec pre štandardnú odchýlku v tomto prípade je:
    • σ=Σ(xμ)2n{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\Sigma (x-\mu )^{2}}{n}}}}
  • Výberový súbor je akákoľvek skupina údajov menšia ako celá populácia. Toto sa bude používať častejšie. Vzorec pre štandardnú odchýlku pre súbor vzoriek je:
    • σ=Σ(xμ)2n1{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\Sigma (x-\mu )^{2}}{n-1}}}}
  • Všimnite si, že jediný rozdiel je v menovateli zlomku. Pre celú populáciu budete deliť
    n{\displaystyle n}

    . V prípade výberového súboru budete deliť

    n1{\displaystyle n-1}

    .


Nájdite priemer hodnôt údajov. Rovnako ako pri výpočte priemernej odchýlky začnete zistením priemeru hodnôt údajov.[6]

  • Ak použijeme rovnaký súbor meraní ako vyššie, priemer je 12.4.


Nájdite štvoricu každej variácie. Pre každý údajový bod odčítajte hodnotu údaju od priemeru a tento výsledok vyčíslite na druhú stranu. Keďže tieto odchýlky delíte na štvorce, nezáleží na tom, či je rozdiel kladný alebo záporný. Štvorica rozdielu bude vždy kladná.

  • Pre päť hodnôt údajov v tejto vzorke sú tieto výpočty nasledovné:
    • (1212.4)2=(0.4)2=0.16{\dispozícia (12-12.4)^{2}=(-0.4)^{2}=0.16}
    • (1112.4)2=(1.4)2=1.96(11-12).4)^{2}=(-1.4)^{2}=1.96}
    • (1412.4)2=1.62=2.56{\displaystyle (14-12.4)^{2}=1.6^{2}=2.56}
    • (1312.4)2=0.62=0.36(13-12).4)^{2}=0.6^{2}=0.36}
    • (1212.4)2=(0.4)2=0.16{\displaystyle (12-12.4)^{2}=(-0.4)^{2}=0.16}


Vypočítajte súčet štvorcových rozdielov. Čitateľ zlomku štandardnej odchýlky je súčet štvorcových rozdielov medzi každou hodnotou a strednou hodnotou. Ak chcete zistiť tento súčet, spočítajte údaje z predchádzajúceho výpočtu.[7]

  • Pre vzorový súbor údajov sú to:
    • 0.16+1.96+2.56+0.36+0.16=5.2{\displaystyle 0.16+1.96+2.56+0.36+0.16=5.2}


Vydelíme veľkosťou údajov. Toto je jediný krok, ktorý sa bude líšiť buď pri výpočte populácie, alebo pri výpočte výberového súboru. Pre plnú populáciu sa vydelí

n{\displaystyle n}

, počet hodnôt. Pre výberový súbor budete deliť

n1{\displaystyle n-1}

.[8]

  • Tento príklad má len päť meraní, a preto je len výberovým súborom. Teda pre päť použitých hodnôt vydeľte (5-1) alebo 4. Výsledok je
    5.2/4=1.3{\displaystyle 5.2/4=1.3}

    .


Nájdite druhú odmocninu z výsledku. V tomto bode výpočet predstavuje tzv. rozptyl súboru údajov. Štandardná odchýlka je odmocnina z rozptylu. Použite kalkulačku na nájdenie druhej odmocniny a výsledok je štandardná odchýlka.[9]

  • σ=1.3=1.14{\displaystyle \sigma ={\sqrt {1.3}}=1.14}


Uveďte svoj výsledok. Pomocou tohto výpočtu možno presnosť stupnice vyjadriť uvedením priemeru plus alebo mínus štandardná odchýlka. Pre tieto údaje to bude 12.4±1.14. [10]

  • Štandardná odchýlka je pravdepodobne najbežnejšou mierou presnosti. Napriek tomu je však kvôli prehľadnosti dobré použiť poznámku pod čiarou alebo zátvorku, v ktorej sa uvedie, že hodnota presnosti predstavuje štandardnú odchýlku.

Metóda 4 zo 4:Rozhodovanie o spôsobe vykazovania presnosti


Správne používajte slovo presnosť. Presnosť je pojem, ktorý opisuje úroveň opakovateľnosti meraní. Pri zhromažďovaní skupiny údajov, buď meraním, alebo prostredníctvom nejakého experimentu, presnosť opisuje, ako blízko pri sebe budú výsledky jednotlivých meraní alebo experimentov.[11]

  • Presnosť nie je to isté ako správnosť. Presnosť meria, ako blízko sa experimentálne hodnoty približujú skutočnej alebo teoretickej hodnote, zatiaľ čo precíznosť meria, ako blízko sú namerané hodnoty k sebe navzájom.
  • Je možné, aby údaje boli presné, ale nepresné, alebo aby boli presné, ale nepresné. Presné merania sú blízko cieľovej hodnoty, ale nemusia byť blízko seba. Presné merania sú si navzájom blízke bez ohľadu na to, či sú blízke cieľovej hodnote alebo nie.


Vyberte si najlepšiu mieru presnosti. Slovo „presnosť“ nemá jediný význam. Presnosť môžete reprezentovať pomocou niekoľkých rôznych meraní. Musíte sa rozhodnúť pre ten najlepší.[12]

  • Rozsah. Pri malých súboroch údajov s približne desiatimi alebo menej meraniami je dobrou mierou presnosti rozsah hodnôt.[13]
    To platí najmä vtedy, ak sa hodnoty javia ako pomerne tesne zoskupené. Ak vidíte jednu alebo dve hodnoty, ktoré sa zdajú byť ďaleko od ostatných, možno budete chcieť použiť iný výpočet.
  • Priemerná odchýlka. Priemerná odchýlka je presnejšou mierou presnosti pre malý súbor hodnôt údajov.[14]
  • Štandardná odchýlka. Štandardná odchýlka je pravdepodobne najznámejšou mierou presnosti. Štandardná odchýlka sa môže použiť na výpočet presnosti meraní pre celú populáciu alebo vzorku populácie.[15]

  • Jasne informujte o svojich výsledkoch. Veľmi často riešitelia uvádzajú údaje tak, že uvedú priemer nameranej hodnoty, za ktorým nasleduje vyhlásenie o presnosti. Presnosť sa uvádza so symbolom „±“. Poskytuje údaj o presnosti, ale čitateľovi jasne nevysvetľuje, či číslo nasledujúce za symbolom „±“ je rozsah, štandardná odchýlka alebo nejaké iné meranie. Aby bolo úplne jasné, mali by ste definovať, akú mieru presnosti používate, buď v poznámke pod čiarou, alebo v poznámke v zátvorke.

    • Napríklad pre jednu sériu údajov by sa výsledok mohol uvádzať ako 12.4±3. Vysvetľujúcejší spôsob, ako uviesť tie isté údaje, by však bolo povedať: „Mean=12.4, rozsah = 3.“
  • Odkazy