4 spôsoby zjednodušenia algebraických výrazov

Naučiť sa zjednodušovať algebraické výrazy je kľúčovou súčasťou zvládnutia základov algebry a mimoriadne cenným nástrojom, ktorý by mali mať všetci matematici za sebou. Zjednodušenie umožňuje matematikovi zmeniť zložitý, dlhý a/alebo nešikovný výraz na jednoduchší alebo vhodnejší, ktorý je ekvivalentný. Základné zručnosti v oblasti zjednodušovania sa dajú pomerne ľahko naučiť – dokonca aj pre tých, ktorí sa matematiky neboja. Podľa niekoľkých jednoduchých krokov je možné zjednodušiť mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov bez akýchkoľvek špeciálnych matematických znalostí. Ak chcete začať, pozrite si krok 1 nižšie!

Metóda 1 zo 4:Pochopenie dôležitých pojmov


Definujte „podobné výrazy“ pomocou ich premenných a mocnín. V algebre majú „podobné výrazy“ rovnakú konfiguráciu premenných zvýšenú na rovnaké mocniny. Inými slovami, aby boli dva výrazy „podobné“, musia mať rovnakú premennú alebo premenné, alebo žiadnu, a každá premenná musí byť zvýšená na rovnakú mocninu, alebo žiadnu mocninu. Na poradí premenných v rámci pojmu nezáleží.[1]

  • Napríklad 3×2 a 4×2 sú podobné výrazy, pretože každý z nich obsahuje premennú x zvýšenú na druhú mocninu. Výrazy x a x2 však nie sú podobné, pretože každý výraz má x zvýšené na inú mocninu. Podobne, -3yx a 5xz nie sú podobné výrazy, pretože každý výraz má inú množinu premenných.


Faktor zapísaním čísla ako súčinu dvoch činiteľov. Faktorovanie je pojem, ktorý predstavuje dané číslo ako súčin dvoch násobkov. Čísla môžu mať viac ako jeden súbor činiteľov – napríklad číslo 12 môže byť tvorené 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú všetky činitele čísla 12. Iný spôsob uvažovania je, že činitele čísla sú čísla, ktorými je číslo rovnomerne deliteľné.[2]

  • Napríklad, ak by sme chceli vynásobiť 20, mohli by sme to zapísať takto 4 × 5.
  • Všimnite si, že premenné členy možno tiež faktorovať – napríklad 20x možno zapísať ako 4(5x).
  • Prvočísla sa nedajú faktorovať, pretože sú rovnomerne deliteľné len samými sebou a 1.


Na zapamätanie si poradia operácií použite skratku PEMDAS. Niekedy zjednodušenie výrazu neznamená nič iné ako vykonávanie operácií vo výraze, kým sa už nedá urobiť viac. V týchto prípadoch je dôležité zapamätať si poradie operácií, aby nedošlo k aritmetickým chybám. Skratka PEMDAS vám pomôže zapamätať si poradie operácií – písmená zodpovedajú typom operácií, ktoré by ste mali vykonať, a to v poradí. Ak sa v tom istom probléme vyskytuje násobenie a delenie, musíte tieto operácie dokončiť zľava doprava, keď sa dostanete k tomuto bodu. To isté platí pre sčítanie a odčítanie. Na obrázku vyššie je uvedená nesprávna odpoveď. V poslednom kroku nefungovalo sčítanie a odčítanie zľava doprava. Najskôr vykonal sčítanie. Malo by sa ukázať 25-20 = 5 a potom 5 + 6 = 11.

  • Parentheses
  • Ex-komponentov
  • Multiplikácia
  • Division
  • Addition
  • Subtrakcia

Metóda 2 zo 4:Kombinovanie podobných výrazov


Napíšte si rovnicu. Najjednoduchšie algebraické rovnice, ktoré obsahujú len niekoľko premenných členov s celočíselnými koeficientmi a bez zlomkov, radikálov atď., sa dá často vyriešiť len v niekoľkých krokoch. Ako pri väčšine matematických úloh, prvým krokom k zjednodušeniu rovnice je jej zápis![3]

  • Ako príklad problému pre ďalších niekoľko krokov uvažujme výraz 1 + 2x – 3 + 4x.


Identifikujte podobné výrazy. Ďalej vyhľadajte v rovnici podobné výrazy. Nezabudnite, že podobné členy majú rovnakú premennú (premenné) aj exponent (exponenty).

  • Napríklad identifikujme podobné výrazy v našej rovnici 1 + 2x – 3 + 4x. 2x aj 4x majú rovnakú premennú zvýšenú na rovnaký exponent (v tomto prípade x nie sú vôbec zvýšené na žiadny exponent). Okrem toho 1 a -3 sú podobné výrazy, pretože ani jeden z nich nemá žiadne premenné. Takže v našej rovnici, 2x a 4x a 1 a -3 sú podobné výrazy.


Spojte podobné výrazy. Teraz, keď ste identifikovali podobné členy, môžete ich spojiť a zjednodušiť rovnicu. Sčítaním členov (alebo odčítaním v prípade záporných členov) zredukujeme každý súbor členov s rovnakými premennými a exponentmi na jeden jediný člen.[4]

  • Doplňme podobné výrazy v našom príklade.
    • 2x + 4x = 6x
    • 1 + -3 = -2


Vytvorte zjednodušený výraz zo zjednodušených výrazov. Po skombinovaní podobných výrazov zostrojte výraz z novej, menšej množiny výrazov. Mali by ste dostať jednoduchší výraz, ktorý má jeden člen pre každú rôznu sadu premenných a exponentov v pôvodnom výraze. Tento nový výraz sa rovná prvému.

  • V našom príklade sú našimi zjednodušenými výrazmi 6x a -2, takže náš nový výraz je 6x – 2. Tento zjednodušený výraz sa rovná pôvodnému výrazu (1 + 2x – 3 + 4x), ale je kratší a ľahšie sa s ním pracuje. Je tiež jednoduchšie faktorizovať, čo je, ako uvidíme ďalej, ďalšia dôležitá zručnosť pri zjednodušovaní.


Pri spájaní podobných členov dodržujte poradie operácií. V extrémne jednoduchých výrazoch, ako je ten, ktorým sa zaoberáme v príkladových úlohách vyššie, je identifikácia podobných členov jednoduchá. V zložitejších výrazoch, napríklad takých, ktoré obsahujú výrazy v zátvorkách, zlomky a radikály, však podobné výrazy, ktoré možno kombinovať, nemusia byť hneď zrejmé. V týchto prípadoch postupujte podľa poradia operácií a vykonávajte operácie s členmi vo výraze podľa potreby, kým nezostanú len operácie sčítania a odčítania.[5]

  • Uvažujme napríklad rovnicu 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 – 3x. Bolo by nesprávne okamžite identifikovať 3x a 2x ako podobné výrazy a spojiť ich, pretože zátvorky vo výraze nám diktujú, že najprv máme vykonať iné operácie. Najprv vykonajme aritmetické operácie vo výraze v súlade s poradím operácií, aby sme získali výrazy, ktoré can použiť. Pozri nižšie:
    • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 – 3x
    • 15x – 5 + x(x) + 8 – 3x
    • 15x – 5 + x2 + 8 – 3x. Teraz, keďže jediné operácie, ktoré nám zostali, sú sčítanie a odčítanie, môžeme podobné výrazy spojiť.
    • x2 + (15x – 3x) + (8 – 5)
    • x2 + 12x + 3

Metóda 3 zo 4: Faktorovanie


Identifikujte najväčší spoločný činiteľ vo výraze. Faktorovanie je spôsob zjednodušenia výrazov odstránením faktorov, ktoré sú spoločné pre všetky výrazy vo výraze. Na začiatok nájdite najväčší spoločný deliteľ, ktorý majú všetky výrazy vo výraze – inými slovami, najväčšie číslo, ktorým sú všetky výrazy vo výraze rovnomerne deliteľné.[6]

  • Použime rovnicu 9×2 + 27x – 3. Všimnite si, že každý člen v tejto rovnici je deliteľný 3. Keďže výrazy nie sú všetky rovnomerne deliteľné ľubovoľným väčším číslom, môžeme povedať, že 3 je najväčším spoločným deliteľom nášho výrazu.


Výrazy vo výraze vydeľte najväčším spoločným deliteľom. Potom vydeľte každý člen rovnice najväčším spoločným činiteľom, ktorý ste práve našli. Všetky výsledné členy budú mať menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.[7]

  • Vynásobme našu rovnicu jej najväčším spoločným deliteľom, teda číslom 3. Za týmto účelom vydelíme každý člen číslom 3.
    • 9×2/3 = 3×2
    • 27x/3 = 9x
    • -3/3 = -1
    • Náš nový výraz je teda 3×2 + 9x – 1.


Predstavte svoj výraz ako súčin najväčšieho spoločného deliteľa a zvyšných členov. Váš nový výraz sa nerovná starému, takže nie je presné povedať, že sa zjednodušil. Aby sa náš nový výraz rovnal pôvodnému, musíme zohľadniť skutočnosť, že bol delený najväčším spoločným deliteľom. Uzavrite svoj nový výraz do zátvoriek a ako koeficient pre výraz v zátvorke nastavte najväčší spoločný činiteľ pôvodnej rovnice.[8]

  • V prípade nášho príkladového výrazu 3×2 + 9x – 1 by sme výraz uzavreli do zátvoriek a vynásobili najväčším spoločným deliteľom pôvodnej rovnice, čím by sme dostali 3(3×2 + 9x – 1). Táto rovnica sa rovná pôvodnej rovnici 9×2 + 27x – 3.


Použite faktoring na zjednodušenie zlomkov. Možno sa teraz pýtate, načo je užitočný faktoring, ak po odstránení najväčšieho spoločného činiteľa treba nový výraz opäť ním vynásobiť. V skutočnosti delenie faktorom umožňuje matematikovi vykonať rôzne triky na zjednodušenie výrazu. Jeden z najjednoduchších postupov zahŕňa využitie skutočnosti, že vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom získame ekvivalentný zlomok. Pozri nižšie:

  • Povedzme, že náš pôvodný príkladový výraz 9×2 + 27x – 3 je čitateľom väčšieho zlomku s koeficientom 3 v menovateli. Tento zlomok by vyzeral takto: (9×2 + 27x – 3)/3. Na zjednodušenie tohto zlomku môžeme použiť faktoring.
    • Nahraďme faktorovaný tvar nášho pôvodného výrazu za výraz v čitateli: (3(3×2 + 9x – 1))/3
    • Všimnite si, že teraz majú čitateľ aj menovateľ spoločný koeficient 3. Ak vydelíme čitateľa a menovateľa číslom 3, dostaneme: (3×2 + 9x – 1)/1.
    • Keďže každý zlomok s „1“ v menovateli sa rovná členom v čitateli, môžeme povedať, že náš pôvodný zlomok môžeme zjednodušiť na 3×2 + 9x – 1.

Metóda 4 zo 4:Uplatnenie ďalších zručností pri zjednodušovaní


Zjednodušenie zlomkov delením spoločnými činiteľmi. Ako je uvedené vyššie, ak čitateľ a menovateľ výrazu majú spoločné činitele, tieto činitele možno zo zlomku úplne odstrániť. Niekedy si to vyžiada vynásobenie čitateľa, menovateľa alebo oboch (ako v prípade vyššie uvedeného problému), zatiaľ čo inokedy sú spoločné činitele okamžite zrejmé. Všimnite si, že je tiež možné jednotlivo vydeliť výrazy v čitateli výrazom v menovateli a získať tak zjednodušený výraz.[9]

  • Poďme riešiť príklad, ktorý si nevyžaduje zdĺhavé delenie. V prípade zlomku (5×2 + 10x + 20)/10 môžeme chcieť každý člen v čitateli vydeliť číslom 10 v menovateli, aby sme ho zjednodušili, hoci koeficient „5“ v 5×2 nie je väčší ako 10, a teda nemôže mať 10 ako činiteľ.
    • Týmto spôsobom získame ((5×2)/10) + x + 2. Ak chceme, môžeme prvý člen prepísať ako (1/2)x2 a dostať (1/2)x2 + x + 2.


Použitie štvorcových činiteľov na zjednodušenie radikálov. Výrazy so znamienkom druhej odmocniny sa nazývajú radikálové výrazy. Tie sa dajú zjednodušiť tak, že určíme štvorcové činitele (činitele, ktoré sú samy štvorcami celého čísla) a vykonáme na nich samostatne operáciu odmocniny, aby sme ich odstránili spod znamienka odmocniny.[10]

  • Riešime jednoduchý príklad – √(90). Ak si číslo 90 predstavíme ako súčin dvoch jeho činiteľov, 9 a 10, môžeme odmocniť z čísla 9, čím dostaneme celé číslo 3 a toto číslo odstránime z radikálu. Inými slovami:
    • √(90)
    • √(9 × 10)
    • (√(9) × √(10))
    • 3 × √(10)
    • 3√(10)

  • Pri násobení dvoch exponenciálnych členov pridajte exponenty; pri delení odoberte. Niektoré algebrické výrazy si vyžadujú násobenie alebo delenie exponenciálnych členov. Namiesto toho, aby ste vypočítali každý exponenciálny člen a ručne ho vynásobili alebo vydelili, stačí pridať exponenty pri násobení a odčítať pri delení, aby sme ušetrili čas. Tento koncept možno použiť aj na zjednodušenie výrazov s premennou.[11]

    • Uvažujme napríklad výraz 6×3 × 8×4 + (x17/x15). V každom prípade, keď je potrebné násobiť alebo deliť exponentmi, budeme exponenty odčítať, resp. sčítať, aby sme rýchlo našli zjednodušený člen. Pozri nižšie:
      • 6×3 × 8×4 + (x17/x15)
      • (6 × 8)x3 + 4 + (x17 – 15)
      • 48×7 + x2
    • Vysvetlenie, prečo to funguje, nájdete nižšie:
      • Násobenie exponenciálnych členov je v podstate ako násobenie dlhých reťazcov neexponenciálnych členov. Napríklad, keďže x3 = x × x × x a x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) alebo x8.
      • Podobne aj delenie exponenciálnych výrazov je ako delenie dlhých reťazcov neexponenciálnych výrazov. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Keďže každý člen v čitateli možno zrušiť zodpovedajúcim členom v menovateli, zostanú nám dve x v čitateli a žiadne v dolnej časti, čo nám dáva odpoveď x2
  • Odkazy