5 spôsobov, ako nájsť ekvivalentné zlomky

Dva zlomky sú ekvivalentné, ak majú rovnakú hodnotu. Vedieť previesť zlomok na ekvivalentný zlomok je základná matematická zručnosť, ktorá je potrebná na všetko od základov algebry až po pokročilé výpočty. Tento článok sa zaoberá niekoľkými spôsobmi výpočtu ekvivalentných zlomkov od základného násobenia a delenia až po zložitejšie metódy riešenia rovníc ekvivalentných zlomkov.

Metóda 1 z 5:Tvorba ekvivalentných zlomkov


Vynásobte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Dva zlomky, ktoré sú rôzne, ale ekvivalentné, majú podľa definície čitateľov a menovateľov, ktorí sú navzájom násobkami. Inými slovami, ak vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom, dostaneme ekvivalentný zlomok. Hoci čísla v novom zlomku budú odlišné, zlomky budú mať rovnakú hodnotu.

  • Ak napríklad vezmeme zlomok 4/8 a vynásobíme čitateľa aj menovateľa číslom 2, dostaneme (4×2)/(8×2) = 8/16. Tieto dva zlomky sú ekvivalentné.
  • (4 × 2)/(8 × 2) je v podstate to isté ako 4/8 × 2/2. Nezabudnite, že pri násobení dvoch zlomkov násobíme naprieč, teda čitateľa k čitateľovi a menovateľa k menovateľovi.
  • Všimnite si, že 2/2 sa po vykonaní delenia rovná 1. Je teda ľahké zistiť, prečo sú 4/8 a 8/16 ekvivalentné, pretože násobenie 4/8 × (2/2) = 4/8 je stále. Rovnako je možné povedať, že 4/8 = 8/16.
  • Každý daný zlomok má nekonečný počet ekvivalentných zlomkov. Čitateľ a menovateľ sa dajú vynásobiť ľubovoľným celým číslom, bez ohľadu na to, ako veľkým alebo malým, aby sa získal ekvivalentný zlomok.


Vydelte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Podobne ako násobenie, aj delenie možno použiť na nájdenie nového zlomku, ktorý je ekvivalentný východiskovému zlomku. Čitateľ a menovateľ zlomku sa jednoducho vydelia tým istým číslom, čím sa získa ekvivalentný zlomok. Tento postup má jednu výhradu – výsledný zlomok musí mať v čitateli aj menovateli celé čísla, aby bol platný.

  • Pozrime sa napríklad opäť na 4/8. Ak namiesto násobenia vydelíme čitateľa aj menovateľa číslom 2, dostaneme (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 a 4 sú celé čísla, takže tento ekvivalentný zlomok je platný.

Metóda 2 z 5:Použitie základného násobenia na určenie ekvivalentu


Nájdite číslo, ktorým treba vynásobiť menšieho menovateľa, aby vznikol väčší menovateľ. Mnoho úloh týkajúcich sa zlomkov zahŕňa určenie, či sú dva zlomky ekvivalentné. Výpočtom tohto čísla môžete začať dávať zlomky do rovnakých podmienok, aby ste určili ekvivalenciu.

  • Vezmite si napríklad opäť zlomky 4/8 a 8/16. Menší menovateľ je 8 a toto číslo by sme museli vynásobiť x2, aby sme získali väčšieho menovateľa, ktorý je 16. Preto je v tomto prípade číslo 2.[1]
    Odborný zdroj
    David Jia
    Akademický tútor
    Rozhovor s odborníkom. 23. februára 2021
  • V prípade zložitejších čísel môžete jednoducho vydeliť väčší menovateľ menším menovateľom. V tomto prípade 16 delíme 8, čo nám stále dáva 2.
  • Číslo nemusí byť vždy celé číslo. Ak by menovateľmi boli napríklad 2 a 7, potom by číslo bolo 3.5.


Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku vyjadreného v menších číslach číslom z prvého kroku. Dva zlomky, ktoré sú rôzne, ale ekvivalentné, majú podľa definície, čitateľov a menovateľov, ktorí sú vzájomnými násobkami. Inými slovami, vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom získame ekvivalentný zlomok. Hoci čísla v tomto novom zlomku budú odlišné, zlomky budú mať rovnakú hodnotu.[2]

  • Ak napríklad zoberieme zlomok 4/8 z prvého kroku a vynásobíme čitateľa aj menovateľa naším predtým určeným číslom 2, dostaneme (4×2)/(8×2) = 8/16. Takto dokážeme, že tieto dva zlomky sú ekvivalentné.

Metóda 3 z 5:Použitie základného delenia na určenie ekvivalentu


Vypočítajte každý zlomok ako desatinné číslo. V prípade jednoduchých zlomkov bez premenných môžete jednoducho vyjadriť každý zlomok ako desatinné číslo, aby ste určili ekvivalenciu. Keďže každý zlomok je na začiatku vlastne problémom delenia, je to najjednoduchší spôsob určenia ekvivalencie.

  • Vezmime si napríklad našu predtým použitú hodnotu 4/8. Zlomok 4/8 je ekvivalentný, ak povieme, že 4 je delené 8, čo 4/8 = 0.5. Môžete vyriešiť aj druhý príklad, ktorý je 8/16 = 0.5. Bez ohľadu na členy zlomku sú tieto čísla ekvivalentné, ak sú tieto dve čísla presne rovnaké, keď sú vyjadrené desatinným číslom.
  • Nezabudnite, že desatinný výraz môže mať niekoľko číslic, kým sa nedostatok ekvivalencie prejaví. Základný príklad: 1/3 = 0.333 opakovanie, pričom 3/10 = 0.3. Pri použití viac ako jednej číslice vidíme, že tieto dva zlomky nie sú ekvivalentné.


Ak vydelíte čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom, získate ekvivalentný zlomok. Pri zložitejších zlomkoch si metóda delenia vyžaduje ďalšie kroky. Podobne ako pri metóde násobenia môžete čitateľ a menovateľ zlomku vydeliť rovnakým číslom, aby ste získali ekvivalentný zlomok. Tento postup má jednu výhradu. Výsledný zlomok musí mať v čitateli aj menovateli celé čísla, aby bol platný.

  • Pozrime sa napríklad opäť na 4/8. Ak namiesto násobenia vydeľte čitateľa aj menovateľa číslom 2, dostaneme (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 a 4 sú obe celé čísla, takže tento ekvivalentný zlomok je platný.


Znížte zlomky na ich najnižšie členy. Väčšina zlomkov by sa mala zvyčajne vyjadrovať v ich najnižších členoch a zlomky môžete previesť na ich najjednoduchšie členy delením ich najväčším spoločným deliteľom (GCF).[3]
Odborný zdroj
David Jia
Akademický tútor
Rozhovor s odborníkom. 23. februára 2021
Tento krok pracuje s rovnakou logikou vyjadrenia ekvivalentných zlomkov ich prevodom tak, aby mali rovnakého menovateľa, ale táto metóda sa snaží každý zlomok zredukovať na jeho najnižšie vyjadriteľné členy.

  • Keď je zlomok v najjednoduchšom vyjadrení, jeho čitateľ aj menovateľ sú tak malí, ako len môžu byť. Ani jedno z týchto čísel nemôžeme deliť ľubovoľným celým číslom, aby sme dostali niečo menšie. Ak chcete previesť zlomok, ktorý je nie v najjednoduchších výrazoch na ekvivalentný tvar, ktorý je, vydelíme čitateľa a menovateľa ich najväčší spoločný deliteľ.
  • Najväčší spoločný deliteľ (GCF) čitateľa a menovateľa je najväčšie číslo, ktoré sa delí oboma a dáva celočíselný výsledok. Takže v našom príklade 4/8, keďže 4 je najväčšie číslo, ktoré sa rovnomerne delí na 4 aj 8, vydelili by sme čitateľa aj menovateľa nášho zlomku číslom 4, aby sme ho dostali čo najjednoduchšie. (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. V prípade nášho ďalšieho príkladu 8/16 je GCF 8, čo tiež vedie k 1/2 ako najjednoduchšiemu vyjadreniu zlomku.

Metóda 4 z 5:Použitie krížového násobenia na riešenie premennej


Nastavte oba zlomky tak, aby sa navzájom rovnali. Krížové násobenie používame pri matematických úlohách, pri ktorých vieme, že zlomky sú ekvivalentné, ale jedno z čísel bolo nahradené premennou (zvyčajne x), ktorú musíme vyriešiť. V prípadoch, ako je tento, vieme, že tieto zlomky sú ekvivalentné, pretože sú to jediné členy na opačných stranách znamienka rovnosti, ale často nie je zrejmé, ako vyriešiť premennú. Našťastie, s krížovým násobením je riešenie týchto typov problémov jednoduché.[4]


Vezmite dva rovnocenné zlomky a vynásobte ich cez znamienko rovnosti v tvare „X“. Inými slovami, vynásobíte čitateľa jedného zlomku menovateľom druhého zlomku a naopak, potom tieto dve odpovede nastavíte tak, aby sa navzájom rovnali, a vyriešite.[5]

  • Vezmime si naše dva príklady 4/8 a 8/16. Tieto dve premenné neobsahujú premennú, ale môžeme tento koncept dokázať, keďže už vieme, že sú ekvivalentné. Krížovým násobením dostaneme 4 x 16 = 8 x 8, teda 64 = 64, čo je samozrejme pravda. Ak tieto dve čísla nie sú rovnaké, potom zlomky nie sú ekvivalentné.


Zavedenie premennej. Keďže krížové násobenie je najjednoduchší spôsob určenia ekvivalentných zlomkov, keď treba riešiť premennú, pridajme premennú.

  • Uvažujme napríklad rovnicu 2/x = 10/13. Pri krížovom násobení vynásobíme 2 číslom 13 a 10 číslom x, potom naše odpovede navzájom porovnáme:
    • 2 × 13 = 26
    • 10 × x = 10x
    • 10x = 26. Odtiaľto je získanie odpovede pre našu premennú otázkou jednoduchej algebry. x = 26/10 = 2.6, pričom pôvodné ekvivalentné zlomky sú 2/2.6 = 10/13.


Použite krížové násobenie pre rovnice s viacerými premennými alebo výrazy s premennými. Jednou z najlepších vecí na krížovom násobení je, že funguje v podstate rovnako, či už ide o dva jednoduché zlomky (ako je uvedené vyššie), alebo o zložitejšie zlomky. Ak napríklad oba zlomky obsahujú premenné, stačí tieto premenné na konci počas riešenia eliminovať. Podobne, ak čitatelia alebo menovatelia vašich zlomkov obsahujú výrazy premennej (napríklad x + 1), jednoducho „vynásobte cez“ pomocou distribučnej vlastnosti a vyriešte to ako zvyčajne.[6]

  • Uvažujme napríklad rovnicu ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). V tomto prípade, rovnako ako vyššie, budeme riešiť krížovým násobením:
    • (x + 3) × 4 = 4x + 12
    • (x + 1) × 2 = 2x + 2
    • 2x + 2 = 4x + 12, potom môžeme rovnicu zjednodušiť odčítaním 2x od oboch strán
    • 2 = 2x + 12, potom by sme mali premennú izolovať tak, že od oboch strán odčítame 12
    • -10 = 2x, a vydelíme 2, aby sme vyriešili x
    • -5 = x

Metóda 5 z 5:Použitie kvadratického vzorca na riešenie premenných


Krížovo vynásobte tieto dva zlomky. Pri riešení rovnostárskych úloh, ktoré si vyžadujú kvadratický vzorec, stále začíname použitím krížového násobenia. Každé krížové násobenie, ktoré zahŕňa násobenie premenných členov inými premennými členmi, však pravdepodobne vyústi do výrazu, ktorý sa nedá ľahko vyriešiť pomocou algebry. V takýchto prípadoch môže byť potrebné použiť techniky ako faktoring a/alebo kvadratický vzorec.[7]

  • Pozrime sa napríklad na rovnicu ((x +1)/3) = (4/(2x – 2)). Najskôr krížovo vynásobíme:
    • (x + 1) × (2x – 2) = 2×2 + 2x -2x – 2 = 2×2 – 2
    • 4 × 3 = 12
    • 2×2 – 2 = 12.


Vyjadrite rovnicu ako kvadratickú rovnicu. V tomto bode chceme túto rovnicu vyjadriť v kvadratickom tvare (ax2 + bx + c = 0), čo urobíme tak, že rovnicu nastavíme na nulu. V tomto prípade odčítame 12 od oboch strán a dostaneme 2×2 – 14 = 0.

  • Niektoré hodnoty sa môžu rovnať 0. Hoci 2×2 – 14 = 0 je najjednoduchší tvar našej rovnice, skutočná kvadratická rovnica je 2×2 + 0x + (-14) = 0. Pravdepodobne vám pomôže už na začiatku riešenia zrkadliť tvar kvadratickej rovnice, aj keď niektoré hodnoty sú 0.


Riešte dosadením čísel z kvadratickej rovnice do kvadratického vzorca. Kvadratický vzorec (x = (-b +/- √(b2 – 4ac))/2a) nám pomôže vyriešiť našu hodnotu x v tomto bode.[8]
Nenechajte sa zastrašiť dĺžkou vzorca. Pred riešením jednoducho vezmete hodnoty z kvadratickej rovnice v druhom kroku a dosadíte ich na príslušné miesta.

  • x = (-b +/- √(b2 – 4ac))/2a. V našej rovnici je 2×2 – 14 = 0, a = 2, b = 0 a c = -14.
  • x = (-0 +/- √(02 – 4(2)(-14)))/2(2)
  • x = (+/- √( 0 – -112))/2(2)
  • x = (+/- √(112))/2(2)
  • x = (+/- 10.58/4)
  • x = +/- 2.64

  • Svoju odpoveď skontrolujte tak, že hodnotu x dosadíte späť do kvadratickej rovnice. Dosadením vypočítanej hodnoty x späť do kvadratickej rovnice z druhého kroku môžete ľahko zistiť, či ste dospeli k správnej odpovedi.[9]
    V tomto príklade by ste zapojili obidve čísla 2.64 a -2.64 do pôvodnej kvadratickej rovnice.
  • Odkazy